3.2.3 两角和与差的正切函数 同步练习（含答案）

3.2.3 两角和与差的正切函数 同步练习
双基达标　?限时20分钟?
1．已知α∈，sin α＝，则tan 等于(　　)．
A. B．7 C．－ D．－7
解析　由α∈，sin α＝，则tan α＝－，tan＝＝.
答案　A
2．tan 10°tan 20°＋(tan 10°＋tan 20°)的值等于(　　)．
A. B．1 C. D.
解析　原式＝tan 10°tan 20°＋[tan 30°(1－tan 10°·tan 20°)]＝tan 10°tan 20°＋1－tan 10°tan 20°＝1.21cnjy.com
答案　B
3．在△ABC中，tan A＋tan B＋＝tan Atan B，则C等于(　　)．
A. B. C. D.
解析　由题意知tan A＋tan B＝－(1－tan Atan B)，
∴tan C＝－tan(A＋B)＝－＝，
∴C＝.
答案　A
4.的值为________．
解析　原式＝－＝＝＝＝.
答案　
5．已知tan(α＋β)＝3，tan(α－β)＝5，tan 2α和tan 2β的值分别为________和________．21·cn·jy·com
解析　tan 2α＝tan[(α＋β)＋(α－β)]
＝＝＝－.
tan 2β＝tan[(α＋β)－(α－β)]
＝
＝＝－.
答案　－　－
6．已知tan α＝－，cos β＝，α，β∈(0，π)．
(1)求tan(α＋β)的值；
(2)求函数f(x)＝sin(x－α)＋cos(x＋β)的最大值．
解　(1)由cos β＝，β∈(0，π)，得sin β＝，tanβ＝2，
所以tan(α＋β)＝＝1.
(2)因为tan α＝－，α∈(0，π)，
所以sin α＝，cos α＝－.
f(x)＝－sin x－cos x＋cos x－sin x
＝－sin x，所以f(x)的最大值为.
综合提高　?限时25分钟?
7．已知tan＝，tan＝－，则tan等于(　　)．
A．1 B．－1 C. D．－
解析　tan
＝tan
＝＝1.
答案　A
8．已知tan α＝，tan β＝，0＜α＜β＜，则α＋2β等于(　　)．
A. B. C.或 D.
解析　先求α＋2β的某一三角函数值，显然选择正切较简单．
∵tan 2β＝＝，∴tan(α＋2β)＝＝1.
∵tan α＝＜1，∴0＜α＜.∵tan 2β＝＜1，
∴0＜2β＜.∴0＜α＋2β＜.∴α＋2β＝.
答案　B
9．在△ABC中，已知tan A、tan B是方程3x2＋8x－1＝0的两根，tan C的值为________．21世纪教育网版权所有
解析　由已知tan A＋tan B＝－，tan Atan B＝－.
∴tan(A＋B)＝＝＝－2.
∴tan C＝tan[π－(A＋B)]＝－tan(A＋B)＝2.
答案　2
10．若cos(α＋β)＝，cos(α－β)＝，则tan αtan β＝________.
解析　cos(α＋β)＝cos α cos β－sin α sin β＝. ①
cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝. ②
①×3－②得2cos αcos β＝4sin αsin β，
即tan αtan β＝.
答案　
11．已知tan(α－β)＝，tan β＝－，且α、β∈，求2α－β的值．
解　∵α＝(α－β)＋β，
∴tan α＝tan[(α－β)＋β]
　＝
　＝＝.
∴tan(2α－β)＝tan[(α－β)＋α]
＝＝＝1.
又α、β∈且tan α＞0，tan β＜0，
∴π＜α＜，＜β＜π，∴0＜α－β＜π.
而tan(α－β)＞0，∴0＜α－β＜.
∴π＜2α－β＝α＋(α－β)＜2π.
∴2α－β＝.
12．(创新拓展)已知△ABC中，tan B＋tan C＋tan Btan C＝，且tan A＋tan B＝tan Atan B－1，试判断△ABC的形状．21教育网
解　∵tan A＋tan B＝tan Atan B－1，
∴(tan A＋tan B)＝tan Atan B－1，
∴＝－，
∴tan(A＋B)＝－.
又∵0∴A＋B＝，∴C＝.
∵tan B＋tan C＋tan Btan C＝，tan C＝，
∴tan B＋＋tan B＝，tan B＝，
∵B∈∴B＝，∴A＝，
∴△ABC为等腰三角形．