3.3 二倍角的三角函数 同步练习1（含答案）

3.3
二倍角的三角函数
同步练习
基础巩固
一、选择题
1．设α∈(π，2π)，则等于(　　)
A．sin　　　　　　　
B．cos
C．－sin　
D．－cos
[答案]　D
[解析]　∵α∈(π，2π)，则∈(，π)，
∴＝
＝＝－cos.
2．若tanθ＋＝4，则sin2θ＝(　　)
A．　
B．
C．　
D．
[答案]　D
[解析]　∵tanθ＋＝4，
∴＋＝4.
∴＝4，即＝4.
∴sin2θ＝.
3．若θ∈[，]，sin2θ＝，则sinθ＝(　　)
A．　
B．
C．　
D．
[答案]　D
[解析]　本题考查了三角的恒等变形以及倍半角公式．
由θ∈[，]可得2θ∈[，π]，
cos2θ＝－＝－，
sinθ＝＝.
4．已知α为第三象限角，且sinα＝－，则tan等于(　　)
A．　
B．
C．－　
D．－
[答案]　C
[解析]　∵α为第三象限角，∴cosα＝－，
tan＝＝＝－.
5．(2013·新课标Ⅱ文，6)已知sin2α＝，则cos2(α＋)＝(　　)
A．　　　
B．　　　
C．　　　
D．
[答案]　A
[解析]　本题考查半角公式及诱导公式．
由半角公式可得，cos2(α＋)＝＝＝＝，故选A.
6．函数y＝2cos2－1是(　　)
A．最小正周期为π的奇函数
B．最小正周期为π的偶函数
C．最小正周期为的奇函数
D．最小正周期为的偶函数
[答案]　A
[解析]　考查倍角公式和三角函数的性质．
因为y＝2cos2－1＝cos＝sin2x为奇函数，T＝＝π，所以选A.
二、填空题
7．若sin＝，则cos2θ＝______.
[答案]　－
[解析]　本题主要考查诱导公式及二倍角公式的灵活运用．
∵sin＝cosθ＝，
∴cos2θ＝2cos2θ－1＝2×2－1＝－.
8．若cos2θ＝，则sin4θ＋cos4θ的值为________．
[答案]　
[解析]　因为sin4θ＋cos4θ＝(sin2θ＋cos2θ)2－2sin2θ·cos2θ＝1－sin22θ，又因为cos2θ＝，所以sin22θ＝1－cos22θ＝1－＝，所以sin4θ＋cos4θ＝1－×＝1－＝.
三、解答题
9．已知函数f(x)＝cos(＋x)cos(－x)，g(x)＝sin2x－.
(1)求函数f(x)的最小正周期；
(2)求函数h(x)＝f(x)－g(x)的最大值，并求使h(x)取得最大值的x的集合．
[解析]　(1)f(x)＝coscos
＝
＝cos2x－sin2x＝－
＝cos2x－，
f(x)的最小正周期为＝π.
(2)h(x)＝f(x)－g(x)＝cos2x－sin2x
＝cos，
当2x＋＝2kπ(k∈Z)时，h(x)取得最大值.
h(x)取得最大值时，对应的x的集合为
{x|x＝kπ－，k∈Z}.
能力提升
一、选择题
1．若2sinx＝1＋cosx，则tan的值等于(　　)
A．　
B．或不存在
C．2　
D．2或
[答案]　B
[解析]　tan＝＝，当sinx＝0时，tan不存在．
2．设5π<θ<6π，cos＝a，则sin的值等于(　　)
A．－　
B．－
C．－　
D．－
[答案]　D
[解析]　∵5π<θ<6π，
∴<<3π，<<，
∴sin＝－＝－.
二、填空题
3．已知tan＝3，则＝________.
[答案]　3
[解析]　因为tan＝3，
所以原式＝＝tan＝3.
4．函数f(x)＝－2sin2x＋sin2x＋1，给出下列四个命题：
①在区间上是减函数；
②直线x＝是函数图像的一条对称轴；
③函数f(x)的图像可由函数y＝sin　2x的图像向左平移而得到；
④若x∈，则f(x)的值域是[0，]．
其中正确命题序号是________．
[答案]　①②
[解析]　f(x)＝－2sin2x＋sin2x＋1
＝sin2x＋cos2x＝sin.
f(x)在上是减函数，①正确．
当x＝时，f(x)取最大值，故②正确，y＝sin2x向左平移个单位可得f(x)的图像，故③错．当x∈[0，]时，(2x＋)∈[，π]，则f(x)∈[－1，]，故④错．从而填①②.
三、解答题
5．已知α是第一象限的角，且cosα＝，求的值．
[解析]　＝
＝
＝·.
由已知可得sinα＝，
∴原式＝×＝－.
6．已知cos(x－)＝，x∈(，)．
(1)求sinx的值；
(2)求sin(2x＋)的值．
[解析]　(1)因为x∈(，)，
所以x－∈(，)，
于是sin(x－)＝＝，
sinx＝sin[(x－)＋]
＝sin(x－)cos＋cos(x－)sin
＝×＋×＝.
(2)因为x∈(，)，
故cosx＝－＝－＝－.
sin2x＝2sinxcosx＝－，cos2x＝2cos2x－1＝－，
所以sin(2x＋)＝sin2xcos＋cos2xsin
＝－.
7．已知向量a＝(1＋sin2x，sinx－cosx)，b＝(1，sinx＋cosx)，函数f(x)＝a·b.
(1)求f(x)的最大值及相应的x的值．
(2)若f(θ)＝，求cos2(－2θ)的值．
[解析]　(1)∵a＝(1＋sin2x，sinx－cosx)，b＝(1，sinx＋cosx)，
∴f(x)＝1＋sin2x＋sin2x－cos2x
＝1＋sin2x－cos2x
＝sin(2x－)＋1.
因此，当2x－＝2kπ＋，即x＝kπ＋π(k∈Z)时，f(x)取得最大值＋1.
(2)∵f(θ)＝1＋sin2θ－cos2θ＝，
∴sin2θ－cos2θ＝，
两边平方得1－sin4θ＝，即sin4θ＝.
∴cos2(－2θ)＝cos(－4θ)＝sin4θ＝.