3.3 二倍角的三角函数 同步练习3（含答案）

3.3
二倍角的三角函数
同步练习
基础巩固训练（30分钟
50分）
一、选择题(每小题3分，共18分)
1.
2sin105°cos105°的值为　(　　)
A.
B.-
C.
D.-
【解析】选B.2sin105°cos105°=sin210°=sin(180°+30°)=-sin30°=-.
2.化简:=　(　　)
A.sin4+cos4
B.-sin4-cos4
C.sin4
D.cos4
【解析】选B.=
==|sin4+cos4|，
而4∈，有sin4<0，cos4<0，
故sin4+cos4<0，
即=-sin4-cos4.故选B.
【误区警示】本题易对sin4，cos4的符号判断有误，想当然以为sin4>0，cos4>0，导致错选A.
3.函数y=1-2cos2x的最小正周期是　(　　)
A.
B.
C.π
D.2π
【解析】选C.y=1-2cos2x=-cos2x，所以周期T==π.
4.若=，则tan
2α=　(　　)
A.-　　　
B.　　　
C.-　　　
D.
【解题指南】先由已知条件求得tanα，再用倍角公式求得tan
2α.
【解析】选B.因为=，所以=，解得tanα=-3，
根据倍角公式得tan
2α=，故选B.
5.-的值是　(　　)
A.1
B.2
C.4
D.
【解析】选C.原式=-=
==4·=4.
6.若θ∈，sin2θ=，则sinθ=　(　　)
A.　　　
B.　　　
C.　　　
D.
【解析】选D.由于θ∈，则2θ∈，
所以cos2θ<0，sinθ>0.
因为sin2θ=，
所以cos2θ=-=-=-.
又cos2θ=1-2sin2θ，
所以sinθ===.
二、填空题(每小题4分，共12分)
7.已知tan(2π+α)=-，则tan2α=　　　　　.
【解析】tan(2π+α)=tanα=-，即tanα=-，
所以tan2α===-.
答案:-
8.设sin=，则sin2θ=　　　.
【解析】根据题意，由于sin=，即可知sincosθ+cossinθ=，可知sinθ+cosθ=，两边平方可知，1+2sinθcosθ=，可知sin2θ=-.
答案:-
9.计算:8sincoscoscos=　　　　.
【解析】原式=4sincoscos=2sincos=sin=.
答案:
三、解答题(每小题10分，共20分)
10.已知函数f(x)=cos，x∈R.
(1)求f的值.
(2)若cosθ=，θ∈，求f.
【解析】(1)f=cos
=cos=cos=1.
(2)f=cos
=cos=cos2θ-sin2θ，
若cosθ=，θ∈，
则sinθ=-，cos2θ=2cos2θ-1=-，
sin2θ=2sinθcosθ=-，
所以f=cos2θ-sin2θ=.
11.已知tan2θ=-2，π<2θ<2π，求的值.
【解题指南】根据题意需要将待求式子利用二倍角公式等整理化简，并需要将正弦、余弦转化为正切，然后根据已知条件进行求解.
【解析】因为π<2θ<2π，所以<θ<π，
所以tanθ<0，
因为tan2θ==-2，
所以tanθ=-(正值舍去).
所以原式==
==tan
===3+2.
能力提升训练（30分钟
50分）
一、选择题(每小题4分，共16分)
1.在△ABC中，cos=，则cos2A=　(　　)
A.
B.-
C.
D.
【解析】选A.△ABC中，cos=，
则sin=，sin
=2sincos=，
cos2A=sin=.
2.函数y=sin4x+cos2x的最小正周期为　(　　)
A.
B.
C.π
D.2π
【解题指南】将y降幂化简为一个角的三角函数后再求周期.
【解析】选B.y=sin4x+cos2x=sin2x(1-cos2x)+cos2x=1-sin2xcos2x=1-sin22x=1-×=+cos4x，所以T==.
3.已知α∈R，sinα+2cosα=，则tan2α=　(　　)
A.
B.
C.
-
D.-
【解题指南】由已知条件和sin2α+cos2α=1，联立方程组可求得sinα与cosα的值，从而求得tanα，再利用倍角公式求tan2α.
【解析】选C.由
解得或
所以tanα=-或tanα=3，
当tanα=-时，
tan2α===-，
当tanα=3时，tan2α===-.
故选C.
4.
4cos
50°-tan
40°=　(　　)
A.
B.
C.
D.2-1
【解题指南】先切化弦，然后通分化简求解即可.
【解析】选C.4cos
50°-tan
40°=4cos
50°-==
====
===.
二、填空题(每小题5分，共10分)
5.已知sin+sin=，则的值为　　　　.
【解析】因为sin+sin=.
所以sinαcos+cosαsin+sinαcos-cosαsin
=sinα=，所以sinα=.
从而=
==
===.
答案:
6.如图所示的会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计的.弦图是由四个全等直角三角形与一个小正方形接成的一个大正方形(如图).如果小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较小的锐角为θ，那么cos
2θ的值等于　　　　.
【解析】设直角三角形的两直角边长分别为a，b，
则有4×+1=25，
所以ab=12.
又a2+b2=25，即直角三角形的斜边c=5.
解方程组
得或
所以cosθ=.
所以cos
2θ=2cos2θ-1=.
答案:
三、解答题(每小题12分，共24分)
7.已知cosα=，cos(α-β)=，且0<β<α<.
(1)求tan2α的值.
(2)求β.
【解析】(1)由cosα=，0<α<得sinα===，
所以tanα==×=4.
于是tan2α===-.
(2)由0<β<α<，得0<α-β<.
又因为cos(α-β)=，
所以sin(α-β)===.
由β=α-(α-β)，得cosβ=cos[α-(α-β)]
=cosαcos(α-β)+sinαsin(α-β)
=×+×=，所以β=.
8.已知函数f(x)=cos为奇函数，且f=0，其中a∈R，θ∈.
(1)求a，θ的值.
(2)若f=-，α∈，求sin的值.
【解题指南】(1)借助诱导公式解决奇函数的问题，再将f=0直接代入即可.
(2)先化简解析式，再代入已知条件.
【解析】(1)因为y=是偶函数，
所以g(x)=
cos(2x+θ)为奇函数，
而θ∈(0，π)，故θ=，
所以f(x)=-(a+2cos2x)sin2x，
代入得a=-1.所以a=-1，θ=.
(2)f(x)=-(-1+2cos2x)
sin2x=-cos2xsin2x=-sin4x，
因为f=-，
所以sinα=，又α∈，
所以cosα=-，sin=×+=.