3.3 二倍角的三角函数 同步练习4（含答案）

3.3
二倍角的三角函数
同步练习
双基达标　 限时20分钟
1．设α∈(0，)，若sin
α＝，则2sin等于(　　)．
A.
B.
C.
D.
解析　由α∈(0，)，且sin
α＝，得cos
α＝.于是2sin
＝2＝2×＝.
答案　A
2．设sin＝，则sin
2θ＝(　　)．
A．－
B．－
C.
D.
解析　sin
2θ＝－cos＝2sin2－1＝2×2－1＝－.
答案　A
3．已知cos(＋θ)cos(－θ)＝，则sin4θ＋cos4θ等于(　　)．
A.
B.
C.
D.
解析　∵cos＝sin(＋θ)，
∴cos(＋θ)cos(－θ)＝cos(＋θ)sin(＋θ)
＝sin(＋2θ)＝cos
2θ，
∴cos
2θ＝，sin
2θ＝±，
sin4θ＋cos4θ＝(sin2θ＋cos2θ)2－2sin2θcos2θ
＝1－sin22θ＝.
答案　C
4．若tan
θ＝，则cos2θ＋sin
2θ＝________.
解析　法一　利用1＝sin2θ＋cos2θ代换分母并弦化切，即cos2θ＋sin
2θ＝＝＝.
法二　cos2θ＝，
于是cos2θ＋sin
2θ＝cos2θ(1＋tan
θ)＝×＝.
答案　
5．已知cos
α＝，且α为锐角，则sin＝________，cos＝________.
解析　sin＝＝＝，cos＝＝＝.
答案　　
6．求证：tan－tan
＝.
证明　∵右边＝
＝＝－
＝tan－tan＝左边．
∴原等式成立．
综合提高　 限时25分钟
7．若函数f(x＋2)＝则f·f(－98)等于(　　)．
A.
B．－
C．2
D．－2
解析　∵f(x＋2)＝
∴f(x)＝
则f(＋2)·f(－98)＝tan×lg
100＝1×2＝2.
答案　C
8．已知方程x2＋4ax＋3a＋1＝0(a＞1)的两根为tan
α、tan
β，且α、β∈，
则tan的值是(　　)．
A.
B．－2
C.
D.或－2
解析　∵ ＝.
∴tan(α＋β)＝.
∵则－π＜α＋β＜0，－＜＜0.
∴tan(α＋β)＝＝ tan＝－2或tan＝(舍去)．
答案　B
9．已知tan＝2，
则的值为________．
解析　∵tan＝＝2，
∴tan
x＝.
又∵tan
2x＝，
∴＝(1－tan2
x)＝＝.
答案　
10．已知sin
α＝＋cos
α，且α∈，则的值为________．
解析　∵sin2
α＋cos2α＝1，sin
α＝＋cos
α，
∴2＋cos2
α＝1.
∴2cos2α＋cos
α－＝0.
∴cos
α＝.
∵α∈，∴cos
α＞0.
∴cos
α＝.∴sin
α＝＋cos
α＝.
∴＝＝－(sin
α＋cos
α)
＝－
＝－.
答案　－
11．(1)f(α)＝2tan
α－，求f；
(2)已知tan
2θ＝－2，π<2θ<2π，求的值．
解　(1)f(α)＝2tan
α－＝＋＝，
∴f()＝＝8.
(2)原式＝＝，
又tan
2θ＝＝－2，解得tan
θ＝－或tan
θ＝.
∵π<2θ<2π，∴<θ<π，
∴tan
θ＝－，故原式＝＝3＋2.
12．(创新拓展)已知函数f(x)＝2cos2ωx＋2sin
ωxcos
ωx＋1(x∈R，ω＞0)的最小正周期是.
(1)求ω的值；
(2)求函数f(x)的最大值，并且求使f(x)取得最大值的x的集合．
解　(1)f(x)＝2·＋sin
2ωx＋1
＝sin
2ωx＋cos
2ωx＋2
＝＋2
＝sin＋2.
由题设，函数f(x)的最小正周期是，可得＝，
所以ω＝2.
(2)由(1)知，f(x)＝sin＋2.
当4x＋＝＋2kπ，即x＝＋(k∈Z)时，sin取得最大值1，
所以函数f(x)的最大值是2＋，此时x的集合为.