3.3 二倍角的三角函数 同步练习5（含答案）

3.3
二倍角的三角函数
同步练习
基础巩固训练（30分钟
50分）
一、选择题(每小题3分，共18分)
1.若cosα=-，α是第三象限角，则cos的值为　(　　)
A.　　
B.±　　
C.　　
D.±
【解析】选B.因为cosα=-，
所以2cos2-1=-.
因为α为第三象限角，
则为第二、四象限角.
故cos2=，cos=±.
【变式训练】已知cos=，540°<α<720°，则sin等于　(　　)
A.
B.
C.-
D.-
【解题指南】先定的范围，再用半角公式求解.
【解析】选A.因为540°<α<720°，
所以270°<<360°，
135°<<180°，所以sin==.
2.下列各式中，值为的是　(　　)
A.sin15°cos15°
B.cos2-sin2
C.
D.
【解析】选B.A中，原式=sin30°=，
B中，原式=cos=，
C中，原式=×=tan60°=.
D中，原式=cos30°=.
3.设-3π<α<-，化简的结果是　(　　)
A.sin
B.cos
C.-cos
D.-sin
【解析】选C.因为-3π<α<-，所以-π<<-π，
=cos=-cos.
4.已知α为锐角，且sinα∶sin=3∶2，则tan的值为　(　　)
A.
B.
C.
D.
【解析】选C.==2cos=，
所以cos=，因为α为锐角，
所以sin==，
所以tan==.
【误区警示】本题在求解过程中，容易在sinα∶sin=3∶2的化简上出现问题，不知道入手点是什么，其中的关键是对于这个已知的形式转化不够灵活.
5.若cosα=-，α是第三象限的角，则=　(　　)
A.-
B.
C.2
D.-2
【解题指南】利用tan=，或利用切化弦求解.
【解析】选A.由cosα=-，α是第三象限的角，
可得sinα=-，
因为tan===-3，
所以==-.
6.函数y=sin2x+sin2x的值域是　(　　)
A.
B.
C.
D.
【解析】选C.因为y=sin2x+sin2x=sin2x+=+sin，
所以值域为.
二、填空题(每小题4分，共12分)
7.若<α<π，且cosα=a，则cos=　　　　.
【解析】因为cosα=2cos2-1，
所以cos2=，
又因为<α<π，所以<<，
所以cos==.
答案:
8.设25sin2x+sinx-24=0，x是第二象限角，则cos的值为　　　　.
【解析】因为25sin2x+sinx-24=0，
所以sinx=或sinx=-1.
又因为x是第二象限角，
所以sinx=，cosx=-.
又是第一或第三象限角，
从而cos=±=±=±.
答案:±
9.函数y=cos2+sin2-1的最小正周期为　　　　.
【解析】y=cos2+sin2-1
=+-1
=
=cos2xcos+sin2xsin-cos2xcos+
sin2xsin=sin2x.
所以其最小正周期T==π.
答案:π
三、解答题(每小题10分，共20分)
10.已知函数y=4cos2x-4sinxcosx-1(x∈R).
(1)求出函数的最小正周期.
(2)求出函数的最大值及其相对应的x值.
【解析】y=4cos2x-4sinxcosx-1
=4×-4sinxcosx-1
=2cos2x-2sin2x+1
=4+1=4cos+1.
(1)最小正周期T=π
(2)当cos=1时，y最大值=5，
此时2x+=2kπ，x=kπ-(k∈Z).
11.已知f(x)=2sinx-，x∈R.
(1)求f的值.
(2)设α，β∈0，，f3α+=，f(3β+2π)=，求cos的值.
【解析】(1)f=2sin-=2sin=.
(2)f3α+=2sinα=，
所以sinα=，α∈0，，所以cosα=，
f3β+2π=2sinβ+=2cosβ=，
所以cosβ=，β∈0，，所以sinβ=；
cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ=×-×=.
α，β∈0，，所以α+β∈[0，π]，则∈，
所以cos=.
能力提升训练（30分钟
50分）
一、选择题(每小题4分，共16分)
1.已知是第四象限角，且cos=，则sinθ的值为　
(　　)
A.-
B.
C.-
D.
【解析】选C.是第四象限角，由cos=，则sin=-，所以sinθ=2sincos=.
2.已知-<α<-π，则的值为　
(　　)
A.-sin
B.cos
C.sin
D.-cos
【解析】选A.原式==
==sin=-sin.所以选A.
3.函数f(x)=sin2x+sinxcosx在区间上的最大值是　(　　)
A.1
B.
C.
D.1+
【解题指南】先用三角恒等变换将f(x)化成y=Asin(ωx+φ)+k，再求.
【解析】选C.f(x)=+sin2x
=+
=sin+，
又x∈，所以2x-∈，
所以sin∈，
故f(x)max=1+=.
4.已知f(x)=sin2，若a=f(lg5)，b=f，则　
(　　)
A.a+b=0
B.a-b=0
C.a-b=1
D.a+b=1
【解题指南】先将f(x)进行降幂，然后求得a，b.
【解析】选D.
a=f(lg5)=sin2
==，
b=f=sin2
==
=，
则可得a+b=1.
二、填空题(每小题5分，共10分)
5.设a=cos6°-sin6°，b=2sin13°cos13°，
c=，则三数的大小关系(由小到大排列)是　　　　.
【解析】a=cos6°-sin6°
=sin30°cos6°-cos30°sin6°=sin24°，
b=2sin13°cos13°=sin26°，
c==sin25°，所以a答案:a6.若tanα=，α是第三象限的角，则=　　　　.
【解题指南】先由tanα=求得sinα，cosα，再由半角公式求tan，最后代入求值.
【解析】由得
又α是第三象限的角，所以cosα=-，sinα=-，
故tan===-3，
因此==-2.
答案:-2
三、解答题(每小题12分，共24分)
7.设函数f(x)=2cos2x+sin2x+a(a∈R).
(1)求函数f(x)的最小正周期.
(2)当x∈0，时，f(x)的最大值为2，求a的值.
【解析】(1)f(x)=2cos2x+sin2x+a
=1+cos2x+sin2x+a=sin+1+a，
则f(x)的最小正周期T==π.
(2)当x∈0，时 ≤2x+≤，
当2x+=，
即x=时，sin=1.
所以f(x)max=+1+a=2 a=1-.
8.化简:+.
【解析】因为tan=
==，
所以=，
所以原式=tan+
=+==.
【一题多解】另解一:原式=+=
+==.
另解二:原式
=
===.
【变式训练】化简:+.
【解析】方法一:原式=+
=+
=--
=-=-.
方法二:原式=
=
=
=-.