3.3 二倍角的三角函数 同步练习6（含答案）

3.3
二倍角的三角函数
同步练习
一、选择题
1．已知cos2α＝，则sin2α＝(　　)
A.
B.
C.
D.
解析　∵cos2α＝1－2sin2α，∴sin2α＝＝＝.
答案　D
2．已知角θ的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边在直线y＝2x上，则cos2θ＝(　　)
A．－
B．－
C.
D.
解析　角θ的终边在直线y＝2x上，∴sinθ＝±.∴cos2θ＝1－2sin2θ＝1－＝－.
答案　B
3．函数f(x)＝2sinxcosx是(　　)
A．最小正周期为2π的奇函数
B．最小正周期为2π的偶函数
C．最小正周期为π的奇函数
D．最小正周期为π的偶函数
解析　f(x)＝2sinxcosx＝sin2x，周期为π的奇函数．
答案　C
4．已知sinθ＋cosθ＝，≤θ≤π，则cos2θ的值为(　　)
A.
B．±
C．－
D.
解析　∵sinθ＋cosθ＝，得sin2θ＝－.
又≤θ≤π，∴π≤2θ≤π，
∴cos2θ＝－＝－.
答案　C
5．若tan＝2，则＝(　　)
A．－
B.
C.
D．－
解析　原式＝＝tanα－.
由tan＝2，得＝2，
得tanα＝，∴原式＝－＝－.
答案　A
6．已知sin＝，则cos的值是(　　)
A．－
B．－
C.
D.
解析　cos
＝－cos
＝－cos
＝－＝－.
答案　A
7．已知cos2α＝，则sin4α＋cos4α等于(　　)
A.
B.
C.
D.
解析　sin4α＋cos4α＝(sin2α＋cos2α)2－2sin2αcos2α
＝1－2sin2αcos2α
＝1－sin22α
＝1－(1－cos22α)
＝＋cos22α＝.
答案　D
二、填空题
8．已知tan＝2，则的值为________．
解析　由tan＝＝2，
得tanx＝，＝
＝＝.
答案　
9.·＝__________.
解析　原式＝·＝tan2α.
答案　tan2α
10．函数f(x)＝sinx·sin＋sinπcos2x的最大值为________，最小正周期为________．
解析　f(x)＝sinx·cosx＋cos2x＝sin2x＋cos2x＝sin(2x＋)，∴f(x)max＝1，T＝＝π.
答案　1　π
三、解答题
11．已知0＜α＜，sinα＝，
(1)求的值；
(2)求tan2α的值．
解　∵0<α<，sinα＝，∴cosα＝，sin2α＝，
cos2α＝1－2sin2α＝－，tanα＝＝.
(1)＝＝＝20.
(2)tan2α＝＝＝－.
12．求证：＝sin2α.
证明　左边＝＝
＝＝
＝cosαsincos＝sinαcosα
＝sin2α＝右边，
∴原式成立．
13．已知函数f(x)＝cos＋2sin·sin.
(1)求函数f(x)的最小正周期和图像的对称轴方程；
(2)求函数f(x)在区间上的值域．
解　(1)f(x)＝cos＋2sin·sin
＝cos＋2cossin
＝cos＋sin
＝cos－cos2x
＝cos2xcos＋sin2xsin－cos2x
＝sin2x－cos2x＝sin
T＝＝π，由2x－＝kπ＋得x＝＋(k∈Z)．
(2)∵－≤x≤，
∴－≤2x－≤π，－≤sin≤1，
∴函数f(x)的值域为.