3.3 二倍角的三角函数 同步练习7（含答案）

3.3
二倍角的三角函数
同步练习
一、选择题
1．cos2－的值为(　　)
A．1　　　　　　　　　　　
B.
C.
D.
解析　cos2－＝＝＝.
答案　D
2.－＝(　　)
A．－2sin5°
B．2sin5°
C．－2cos5°
D．2cos5°
解析　原式＝－＝|cos5°－sin5°|－|cos5°＋sin5°|＝－2sin5°.
答案　A
3．若tanθ＋＝4，则sin2θ＝(　　)
A.
B.
C.
D.
解析　方法一：∵tanθ＋＝＝4，
∴4tanθ＝1＋tan2θ，
∴sin2θ＝2sinθcosθ＝＝＝＝.
方法二：∵tanθ＋＝＋＝＝.
∴4＝，故sin2θ＝.
答案　D
4．已知向量a＝(2，sinx)，b＝(cos2x，2cosx)，则函数f(x)＝a·b的最小正周期是(　　)
A.
B．π
C．2π
D．4π
解析　∵f(x)＝a·b＝2cos2x＋2sinxcosx
＝1＋cos2x＋sin2x
＝1＋sin，
∴f(x)＝a·b的最小正周期是π.
答案　B
5．函数f(x)＝sin2－sin2是(　　)
A．周期为π的偶函数
B．周期为π的奇函数
C．周期为2π的偶函数
D．周期为2π的奇函数
解析　f(x)＝sin2－sin2
＝cos2－sin2
＝cos2－sin2
＝cos
＝sin2x.
∴f(x)为奇函数，且周期为π.
答案　B
6．若θ∈，sin2θ＝，则sinθ＝(　　)
A.
B.
C.
D.
解析　∵θ∈，∴2θ∈，故2cos2θ≤0，∴cos2θ＝－＝－＝－.
又cos2θ＝1－2sin2θ，∴sin2θ＝＝＝，∴sinθ＝，故选D.
答案　D
二、填空题
7．已知tanα＝，则sin2α＋cos2α＝__________.
解析　sin2α＋cos2α＝＝
＝＝.
答案　
8．若f(sinx)＝3－cos2x，则f(cosx)＝__________.
解析　f(sinx)＝3－cos2x＝3－(1－2sin2x)＝2＋2sin2x，f(cosx)＝2＋2cos2x＝2＋1＋cos2x＝3＋cos2x.
答案　3＋cos2x
9．若sin＝－，0≤α≤π，则tanα的值是________．
解析　两边平方得sin2＝2－2，
∴＝2－2|cosα|.①
当0≤α≤时，①式为＝2－2cosα，
∴cosα＝1，∴α＝0，∴tanα＝0.
当<α≤π时，①式为＝2＋2cosα，
∴cosα＝－，∴sinα＝.
∴tanα＝－
答案　0或－
三、解答题
10．已知cosθ＝－，并且180°<θ<270°，求tan.
解　解法一：因为180°<θ<270°，所以90°<<135°，即是第二象限角，所以tan<0，
∴tan＝－＝－＝－2.
解法二：因为180°<θ<270°，即θ是第三象限角，
∴sinθ＝－＝－＝－，
∴tan＝＝＝－2，
或tan＝＝＝－2.
11．化简：
(180°<α<360°)．
解　原式
＝
∵180°<α<360°，∴90°<<180°，故cos<0，
∴上式＝
＝cos2－sin2＝cosα.
12．已知函数f(x)＝2acos2x＋bsinxcosx－，且f(0)＝，f＝，
(1)求f(x)的解析式；
(2)写出f(x)的单调增区间．
解　(1)由题意得得
∴f(x)＝cos2x＋sinxcosx－
＝·＋sin2x－
＝cos2x＋sin2x＝sin.
(2)由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋(k∈Z)，
得－π＋kπ≤x≤kπ＋(k∈Z)．
∴f(x)的单调增区间为(k∈Z)．
13．已知向量a＝(1＋sin2x，sinx－cosx)，b＝(1，sinx＋cosx)，函数f(x)＝a·b.
(1)求f(x)的最大值及相应的x值；
(2)若f(θ)＝，求cos2的值．
解　(1)因为a＝(1＋sin2x，sinx－cosx)，
b＝(1，sinx＋cosx)，
所以f(x)＝1＋sin2x＋sin2x－cos2x＝1＋sin2x－cos2x＝sin(2x－)＋1.
因此，当2x－＝2kπ＋，即x＝kπ＋(k∈Z)时，f(x)取得最大值＋1.
(2)由f(θ)＝1＋sin2θ－cos2θ及f(θ)＝得sin2θ－cos2θ＝，两边平方得1－sin4θ＝，
即sin4θ＝.
因此，cos2(－2θ)＝cos(－4θ)＝sin4θ＝.