专题02 圆锥曲线-2016-2017学年高二数学（理）百所名校好题速递分项解析汇编（选修2-1） Word版含解析

2016-2017学年高二数学（理）（选修2-1）百所名校速递分项汇编
一、选择题
1.【四川省成都市石室中学2015-2016学年高二下学期期中考试】过抛物线的焦点作两条垂直的弦,则（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】
考点：抛物线的标准方程及其简单的几何性质.
2.【四川省成都市石室中学2015-2016学年高二下学期期中考试】过点的直线与椭圆交于两点,
且点平分弦,则直线的方程为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
试题分析：设，代入椭圆的方程可得：，两式相减可得：，又，所以
，所以直线的方程为，即，故选B.
考点：直线与椭圆的位置关系的应用.
3.【四川省成都市石室中学2015-2016学年高二下学期期中考试】如图所示,
是双曲线上的三个点，经过原点,经过右焦点,若且,则该双曲线的离心率是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】
考点：双曲线的标准方程及其简单的几何性质.
4.【河北省唐山市第一中学2016-2017学年高二10月月考】椭圆的焦点在轴上，长轴长是短轴长的2倍，则的值为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】
考点：椭圆的几何性质.
5.【河北省唐山市第一中学2016-2017学年高二10月月考】已知椭圆：，点与的焦点不重合.
若关于的焦点的对称点分别为，线段的中点在上，则（
）
A．6
B．9
C．12
D．18
【答案】C
【解析】
试题分析：如图，的中点为，易得，因为在椭圆上，所以
，所以，故选C.
考点：椭圆的几何性质.
6.【河北省唐山市第一中学2016-2017学年高二10月月考】将离心率为的双曲线的实半轴长和虚半轴长()同时增加()个单位长度，得到离心率为的双曲线，则（
）
A．对任意的，
B．当时，；当时，
C．对任意的，
D．当时，；当时，
【答案】D
【解析】
考点：双曲线的几何性质.
7.【河北省唐山市第一中学2016-2017学年高二10月月考】双曲线()的渐近线为正方形的边所在直线，点为该双曲线的焦点，若正方形的边长为2，则（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
试题分析：因为双曲线的渐近线为正方形的边所在直线，所以渐近线互相垂直，则双曲线为等轴双曲线，即渐近线方程为，即，因为正方形的边长为，所以，即，则，即，故选B.
考点：双曲线的几何性质.
8.【河北省唐山市第一中学2016-2017学年高二10月月考】设是椭圆：()的左、右焦点，为直线上一点，
是底角为的等腰三角形，则的离心率为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
考点：椭圆的几何性质及其应用.
9.【河北省唐山市第一中学2016-2017学年高二10月月考】已知，则双曲线：与：的（
）
A．实轴长相等
B．虚轴长相等
C．焦距相等
D．离心率相等
【答案】D
【解析】
试题分析：由题意得，曲线的离心率，曲线的离心率
，所以两曲线的离心率相等，故选D.
考点：双曲线的几何性质.
10.【广西陆川县中学2016-2017学年高二9月月考】已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点，左、右焦点分别为，且两条曲线在第一象限的交点为，是以为底边的等腰三角形，若，椭圆与双曲线的离心率分别为，则的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
考点：直线与圆锥曲线位置关系．
二、填空题
1.
【四川省成都市石室中学2015-2016学年高二下学期期中考试】在椭圆中,
斜率为的直线交椭圆于左顶点和另一点,点在轴上的射影恰好为右焦点,若椭圆离心率,则的值为_
．
【答案】
【解析】
试题分析：因为椭圆的离心率为，所以，所以，因为点在轴上的射影恰好为右焦点，所以点，又，所以.
考点：椭圆的几何性质.
2.【四川省成都市石室中学2015-2016学年高二下学期期中考试】已知双曲线的右焦点为,过点且平行于双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点,在直线上,
且满足,则
．
【答案】
【解析】
考点：双曲线的几何性质.
3.【河北省唐山市第一中学2016-2017学年高二10月月考】若双曲线的一条渐近线方程为，则其离心率为
.
【答案】或
【解析】
试题分析：由题意得，当双曲线的焦点在轴上时，此时，此时双曲线的离心率为
，当双曲线的焦点在轴上时，此时，此时双曲线的离心率为.
考点：双曲线的几何性质.
4.【河北省唐山市第一中学2016-2017学年高二10月月考】
若点和点分别为双曲线()的中心和左焦点，点为双曲线右支上的任意一点，则的取值范围为
.
【答案】
【解析】
考点：双曲线的几何性质及其应用.
三、解答题
1.【河北省唐山市第一中学2016-2017学年高二10月月考】(本小题满分12分)
已知椭圆：，椭圆以的长轴为短轴，且与有相同的离心率.
（1）求椭圆的方程；
（2）设为坐标原点，点分别在椭圆和上，，求直线的方程.
【答案】（1）；（2）或.
【解析】
试题分析：（1）求出椭圆的长轴长，离心率，根据椭圆以的长轴为短轴，且与有相同的离心率，即可确定椭圆的方程；（2）设两点的坐标分别记为，，由及（1）知，三点共线且点不在轴上，因此可设直线的方程为，分别与椭圆和联立，求出的横坐标，利用，即可求得直线的方程.
试题解析：（1）由已知可设椭圆的方程为（），其离心率为，
故，则，故椭圆的方程为.
考点：椭圆的标准方程；椭圆的简单的几何性质；直线与圆锥曲线的关系.
2.【内蒙古赤峰二中2016-2017学年高二上学期第一次月考】已知椭圆.
（Ⅰ）若，求椭圆的离心率及短轴长；
（Ⅱ）如存在过点，且与椭圆交于两点的直线，使得以线段为直径的圆恰好通过坐
标原点，求的取值范围.
【答案】（Ⅰ）离心率为，短轴长为；（Ⅱ）.
【解析】
（Ⅱ）当直线的斜率存在时，由题意可设直线的方程为，，．
由得.
所以，，.
因为以线段为直径的圆恰好过原点，
所以.所以，即.
所以.
即.
由，，所以.
当直线的斜率不存在时，因为以线段为直径的圆恰好通过坐标原点，所以.
所以，即.
综上所述，的取值范围是.
考点：直线与圆锥曲线的位置关系．
3.【河北省唐山市第一中学2016-2017学年高二10月月考】(本小题满分12分)
已知椭圆：()的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的三个顶点，直线：
与椭圆有且只有一个公共点.
（1）求椭圆的方程及点的坐标；
（2）设为坐标原点，直线平行于，与椭圆交于不同的两点，且与直线交于点.证明：
存在实数，使得，并求的值.
【答案】（1），；（2）证明见解析，.
【解析】
∴，解得，
∴椭圆的方程为；
代人直线：，可得，
又直线与椭圆只有一个交点，则，解得，
∴椭圆的方程为；
由，解得，则，所以点的坐标为；
所以
故存在常数，使得.
考点：直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程.
4.【广西陆川县中学2016-2017学年高二9月月考】(本小题满分12分)已知圆：.
（1）直线过点，且与圆交于两点，若，求直线的方程；
（2）过圆上一动点作平行于轴的直线，设与轴的交点为，若向量，
求动点的轨迹方程，并说明此轨迹是什么曲线.
【答案】（1）或；（2）轨迹是焦点坐标为，长轴长为的椭圆，并去掉两点.
【解析】
试题解析：
（1）①当直线垂直于轴时，则此时直线方程为，与圆的两个交点坐标为和，其距离为，满足题意.
②若直线不垂直于轴，设其方程为，即.
设圆心到此直线的距离为，则，得，∴，，
故所求直线方程为.
综上所述，所求直线方程为或.
（2）设点的坐标为，点坐标为，则点坐标是.
考点：直线与圆锥曲线位置关系，曲线与方程．
5.【广西陆川县中学2016-2017学年高二9月月考】(本小题满分12分)在平面直角坐标系中，椭圆：()的左、右焦点分别为，离心率为，以原点为圆心，以椭圆的短半轴长为半径的圆与直线相切.
过点的直线与椭圆相交于两点.
（1）求椭圆的方程；
（2）若，求直线的方程；
（3）求面积的最大值.
【答案】（1）；（2）或；（3）.
【解析】
试题分析：（1）离心率为即，以原点为圆心，以椭圆的短半轴长为半径的圆与直线相切，即圆心到直线的距离，解得，，所以椭圆的方程为；（2）①当直线的斜率为时，不符合题意；②当直线的斜率不为时，设直线方程为，联立直线的方程和椭圆的方程，消去，写出根与系数关系，得，，由可得，，.所以直线方程为或；（3）由（2）结合弦长公式、点到直线距离公式，可求得的表达式为，利用基本不等式求得最大值为.
试题解析：
（2）由题意可设直线方程为
①当直线的斜率为0时，不符合题意；
②当直线的斜率不为0时，则直线方程为，
可设，，由可得，得.
由得，由，
则，，
可得方程为，解得，.
∴直线方程为或.
（3）由（2）可得
当且仅当时“=”成立，即时，面积的最大值为2.
考点：直线与圆锥曲线位置关系．
6.【重庆市第一中学2016-2017学年高二10月月考】（本小题满分12分）
已知椭圆的左右顶点为、，左右焦点为，其长半轴的长等于焦距，点
是椭圆上的动点，面积的最大值为．
（1）求椭圆的方程；
（2）设为直线上不同于点的任意一点，若直线、分别与椭圆交于异于、的点
、，判断点与以为直径的圆的位置关系．
【答案】（1）；（2）圆内.
【解析】
试题解析：
（1）
考点：直线与圆锥曲线位置关系．