1.1 周期现象 学案1（含答案）
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文档简介
1.1
周期现象
学案
课程学习目标
1.通过实例使学生感受自然界存在着丰富的周期现象，使学生经历数据分析以及观察散点图特征的学习过程，领悟、思考周期现象.
2.观察实例，理解角的概念推广的必要性，理解并掌握正角、负角、零角、象限角、终边相同的角的概念及表示方法.通过类比正、负数的规定，认识正角、负角并体会类比、数形结合等思想方法的运用.
课程导学建议
重点:周期现象的定义，生活中的周期现象及数学中的周期现象；正角、负角、零角和象限角的定义和终边相同的角的表示方法及判断.
难点:把终边相同的角用集合和符号语言正确地表示出来.
第一层级：知识记忆与理解
知识体系梳理
创设情境
今天是星期一，7天后是星期几？21天后是星期几？86天后是星期几？
知识导学
问题1:在现实生活中，具有周期现象的实例:海水的潮汐、候鸟的迁徙、四季变化、钟摆运动、一星期的往复、物理中的简谐振动、地球绕太阳公转等.
问题2:什么是角？角有哪些元素？怎样区分不同旋转方向所成的角？
平面内一条射线绕着它的端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形叫作角；旋转开始时的射线叫作角的 始 边，旋转终止时的射线叫作角的 终 边，射线的端点叫作角的顶点.
为了表示不同旋转方向所形成的角，可以把按逆时针方向旋转所形成的角叫作 正角 ，按顺时针方向旋转所形成的角叫作 负角 ，把没有旋转的射线也看成一个角，叫作 零角 .
问题3:什么是象限角？各象限角怎么表示？轴线角怎么表示？
当角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么角的终边(除端点外)在第几象限，就说这个角是 第几象限角 .
第一象限角的集合为 {x|k·360°第二象限角的集合为 {x|k·360°+90°第三象限角的集合为 {x|k·360°+180°第四象限角的集合为 {x|k·360°+270°终边落在x轴上，角的集合为{x|x=k·180°，k∈Z}，终边落在y轴上，角的集合为{x|x=k·180°+90°，k∈Z}，所以终边落在坐标轴上，角的集合为 {x|x=k·90°，k∈Z} .
问题4:终边相同的角
一般地，所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S= {β|β=α+k·360°，k∈Z} ，即任何一个与角α终边相同的角，都可以表示成角α与 周角的整数倍 的和.
(1)终边相同角的前提条件:角的顶点在坐标原点，角的始边与x轴的 非负半轴 重合.
(2)对于终边相同的角应注意以下两点:
①k是 任意整数 ；②α是 任意角 .
(3)k·360°与α之间是“+”号，如k·360°-30°可看成 k·360°+(-30°) .(k∈Z)
(4)终边相同的角 不一定 相等，但相等的角的终边 一定 相同，终边相同的角有无数多个，它们相差360°的 整数 倍.
(5)一般地，终边相同的角的表达形式 不唯一 .
知识链接
传统的三角学主要研究测量三角形内的各种边角关系，反映“静态的关系”，其内容随着时代的发展逐步削弱.在高中课程中，解三角形是属于三角学的内容，而三角函数与三角学的定位不同，三角函数是动态的、研究周期变化的，是“分析学”的主要内容.
基础学习交流
1.经过一个小时，手表上的时针旋转了( ).
A.30° B.-30° C.15° D.-15°
【解析】因为手表一圈所成的角度是360°，表盘上有十二个刻度，故相邻两个刻度之间是=30°，又规定顺时针方向的角为负角，故旋转了-30°.
【答案】B
2.下列自然现象:月亮东升西落，气候的冷暖，昼夜变化，火山爆发.其中是周期现象的有( ).
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
【解析】月亮东升西落、昼夜变化是周期现象，气候的冷暖、火山爆发不是周期现象.
【答案】B
3.角-950°12'的终边(除端点外)在第 象限.
【解析】∵-950°12'=-3×360°+129°48'，∴129°48'的角的终边和-950°12'的角的终边相同，它是第二象限角.
【答案】二
4.写出与70°角终边相同的角的集合S，并把S中适合不等式-360°≤β<720°的元素β写出来.
【解析】S={β|β=70°+k·360°，k∈Z}，S中适合-360°≤β<270°的元素有:70°-1×360°=-290°，70°+0×360°=70°，70°+1×360°=430°.
第二层级：思维探索与创新
重难点探究
探究一
周期现象的简单应用
如果今天是星期一，那么从明天算起，第100天是星期( ).
A.二 B.三 C.四 D.五
【方法指导】每周有7天，且周而复始，是一个周期现象，周期为7.
【解析】因为每周有七天，从星期一到星期日，周而复始，故这是一个周期现象，周期为7.今天是星期一，明天是星期二，因此从明天算起，第7k(k∈N+)天是星期一，由于100=7×14+2，因此第100天是星期三.
【答案】B
【小结】星期的往复是周期现象，计算时关键看经历了几个周期，且是一个周期后的第几天.
探究二
终边相同的角
在0°~
360°之间，求出与下列各角终边相同的角，并判断下列各角是第几象限角.
(1)825°17'；(2)-1046°.
【方法指导】先将角表示为k·360°+α的形式，其中k∈Z，α∈[0°，360°)，再根据与各角终边相同的角α的象限判断各角是第几象限角.
【解析】(1)825°17'=2×360°+105°17'，因为105°17'是第二象限角，且105°17'与825°17'角是终边相同的角，故825°17'是第二象限角.
(2)-1046°=-3×360°+34°，因为34°是第一象限角，且34°与-1046°角是终边相同的角，故-1046°是第一象限角.
【小结】终边相同的角所在的象限是相同的，故在判断各角是第几象限角时，先应用终边相同的角的公式将角表示为k·360°+α(k∈Z)，α∈[0°，360°)，再判断.
探究三
根据已知角的范围求等分角的范围
若α是第一象限角，则可能是第几象限角？
【方法指导】(法一)先将α表示出来，再表示出，最后将k分为3n，3n+1，3n+2三种情况分别判断.
(法二)将平面坐标轴的各个象限三等分的方法也可解决.
【解析】(法一)∵α是第一象限角，∴k·360°<α当k=3n时，有n·360°<当k=3n+1时，n·360°+120°<当k=3n+2时，n·360°+240°<综上可知，可能是第一、二、三象限角.
(法二)如图，将平面坐标系的各个象限都三等分，从x轴正半轴逆时针方向依次沿每个区域循环标上数字1，2，3，4，则数字1所在的区域就是角所在的区域，所以可能是第一、二、三象限角.
【小结】将k分为3n，3n+1，3n+2三种情况分别判断之.
思维拓展应用
应用一
游乐场中的摩天轮有10个座舱，每个座舱最多乘4人，每30
min转一圈，请估算16
h内最多有多少人乘坐.
【解析】每一周期最多乘坐4×10=40(人)，16
h共有32个周期，因而16
h内最多有40×32=1280(人)乘坐.
应用二
(1)写出与25°角终边相同的角的集合；
(2)在(1)的集合中，将适合不等式-1080°<α<360°的元素α求出.
【解析】(1)与25°角终边相同的角的集合是A={α|α=k·360°+25°，k∈Z}.
(2)在A中适合-1080°<α<360°的元素:
取k=-3，-3×360°+25°=-1055°；
取k=-2，-2×360°+25°=-695°；
取k=-1，-1×360°+25°=-335°；
取k=0，0×360°+25°=25°.
故A中满足不等式-1080°<α<360°的元素有-1055°，-695°，-335°，25°.
第三层级：技能应用与拓展
基础智能检测
1.下列哪个不是周期现象( ).
A.挂在弹簧下方作上下振动的小球
B.钟表秒针的运动
C.每七天出现一个星期一
D.抛一枚骰子，向上的数字是奇数
【解析】A、B、C所述都是周期现象，而D中“向上的数字是奇数”不是周期现象.
【答案】D
2.在直角坐标系中，终边在∠xOy及其对顶角的平分线上的角的集合为 .
【解析】终边落在∠xOy平分线上的角的集合为，终边落在其对顶角的平分线上的角的集合为，并在一起得答案.
【答案】
3.若将时钟拨慢5分钟，则分针转了 度；时针转了 度.
【解析】将时钟拨慢了5分钟，分针、时针都是按逆时针方向转动，转过的是正角.
这时，分针转过的角度是=30°；时针转过的角度是=2.5°.
【答案】30 2.5
4.写出与-75°角终边相同的角的集合S，并把S中适合不等式-360°≤β<720°的元素β写出来.
【解析】S={β|β=-75°+k·360°，k∈Z}，S中适合-360°≤β<720°的元素有:-75°+0×360°=-75°，-75°+1×360°=285°，-75°+2×360°=645°.
第四层级：总结评价与反思
思维导图构建
学习体验分享
固学案
基础达标检测
1.如图所示，一个质点在平衡位置O点附近摆动，如果不计阻力，将此摆动看作是周期运动，若质点从O点开始向左摆动到A点所需时间为1
s，则该质点的周期是( ).
A.1
s B.2
s C.3
s D.4
s
【解析】质点从O点运动到A点所用时间为一个周期的，质点的运动轨迹是从O点开始，经过O→A→O→B→O，为一个周期，故周期为4×1=4(s).
【答案】D
2.把-1480°化成k·360°+α(0°≤α<360°，k∈Z)的形式是( ).
A.-4×360°-40°
B.-5×360°+320°
C.-4×360°-320°
D.-5×360°+40°
【解析】∵-1480°=-5×360°+320°，且320°∈[0°，360°)，∴选B.
【答案】B
3.在直角坐标系中，以下说法中正确说法的序号是 .
①第一象限的角一定是锐角；
②终边相同的角一定相等；
③相等的角的终边一定相同；
④第三象限角大于第二象限角.
【解析】对于①，锐角的范围是(0°，90°)；对于②，终边相同的角不一定相等，可能相差k·360°；对于③，相等的角的终边一定是相同的；对于④，第三象限的角不一定大于第二象限的角，与它们的转向和所绕的圈数有关.
【答案】③
4.求所有与所给角终边相同的角的集合，并求出其中的最小正角和最大负角.
(1)-210°；
(2)-1484°37'.
【解析】(1)∵-210°=-360°+150°，∴与-210°终边相同的角的集合为，其中最小正角为150°，最大负角为-210°.
(2)∵-1484°37'=-5×360°+315°23'，∴与-1484°37'终边相同的角的集合为，其中最小正角为315°23'，最大负角为-44°37'.
基础技能检测
5.若角α满足α=45°+k·180°，k∈Z，则角α的终边落在( ).
A.第一或第三象限
B.第一或第二象限
C.第二或第四象限
D.第三或第四象限
【解析】当k为奇数时，角α的终边与225°角的终边相同，在第三象限；当k为偶数时，角α与45°角终边相同，在第一象限.
【答案】A
6.已知集合A={第一象限角}，B={锐角}，C={小于90°的角}，则下面关系正确的是( ).
A.A=B=C
B.A C
C.A∩C=B
D.B∪C C
【解析】第一象限角可表示为k·360°<α【答案】D
7.若角α满足180°<α<360°，角5α与α有相同的始边，且有相同的终边，则角α= .
【解析】由于5α与α的始边和终边相同，所以这两角的差应是360°的整数倍，
即5α-α=4α=k·360°，又180°<α<360°，则k=3，
此时α=270°.
【答案】270°
周期现象
学案
课程学习目标
1.通过实例使学生感受自然界存在着丰富的周期现象，使学生经历数据分析以及观察散点图特征的学习过程，领悟、思考周期现象.
2.观察实例，理解角的概念推广的必要性，理解并掌握正角、负角、零角、象限角、终边相同的角的概念及表示方法.通过类比正、负数的规定，认识正角、负角并体会类比、数形结合等思想方法的运用.
课程导学建议
重点:周期现象的定义，生活中的周期现象及数学中的周期现象；正角、负角、零角和象限角的定义和终边相同的角的表示方法及判断.
难点:把终边相同的角用集合和符号语言正确地表示出来.
第一层级：知识记忆与理解
知识体系梳理
创设情境
今天是星期一，7天后是星期几？21天后是星期几？86天后是星期几？
知识导学
问题1:在现实生活中，具有周期现象的实例:海水的潮汐、候鸟的迁徙、四季变化、钟摆运动、一星期的往复、物理中的简谐振动、地球绕太阳公转等.
问题2:什么是角？角有哪些元素？怎样区分不同旋转方向所成的角？
平面内一条射线绕着它的端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形叫作角；旋转开始时的射线叫作角的 始 边，旋转终止时的射线叫作角的 终 边，射线的端点叫作角的顶点.
为了表示不同旋转方向所形成的角，可以把按逆时针方向旋转所形成的角叫作 正角 ，按顺时针方向旋转所形成的角叫作 负角 ，把没有旋转的射线也看成一个角，叫作 零角 .
问题3:什么是象限角？各象限角怎么表示？轴线角怎么表示？
当角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么角的终边(除端点外)在第几象限，就说这个角是 第几象限角 .
第一象限角的集合为 {x|k·360°
问题4:终边相同的角
一般地，所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S= {β|β=α+k·360°，k∈Z} ，即任何一个与角α终边相同的角，都可以表示成角α与 周角的整数倍 的和.
(1)终边相同角的前提条件:角的顶点在坐标原点，角的始边与x轴的 非负半轴 重合.
(2)对于终边相同的角应注意以下两点:
①k是 任意整数 ；②α是 任意角 .
(3)k·360°与α之间是“+”号，如k·360°-30°可看成 k·360°+(-30°) .(k∈Z)
(4)终边相同的角 不一定 相等，但相等的角的终边 一定 相同，终边相同的角有无数多个，它们相差360°的 整数 倍.
(5)一般地，终边相同的角的表达形式 不唯一 .
知识链接
传统的三角学主要研究测量三角形内的各种边角关系，反映“静态的关系”，其内容随着时代的发展逐步削弱.在高中课程中，解三角形是属于三角学的内容，而三角函数与三角学的定位不同，三角函数是动态的、研究周期变化的，是“分析学”的主要内容.
基础学习交流
1.经过一个小时，手表上的时针旋转了( ).
A.30° B.-30° C.15° D.-15°
【解析】因为手表一圈所成的角度是360°，表盘上有十二个刻度，故相邻两个刻度之间是=30°，又规定顺时针方向的角为负角，故旋转了-30°.
【答案】B
2.下列自然现象:月亮东升西落，气候的冷暖，昼夜变化，火山爆发.其中是周期现象的有( ).
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
【解析】月亮东升西落、昼夜变化是周期现象，气候的冷暖、火山爆发不是周期现象.
【答案】B
3.角-950°12'的终边(除端点外)在第 象限.
【解析】∵-950°12'=-3×360°+129°48'，∴129°48'的角的终边和-950°12'的角的终边相同，它是第二象限角.
【答案】二
4.写出与70°角终边相同的角的集合S，并把S中适合不等式-360°≤β<720°的元素β写出来.
【解析】S={β|β=70°+k·360°，k∈Z}，S中适合-360°≤β<270°的元素有:70°-1×360°=-290°，70°+0×360°=70°，70°+1×360°=430°.
第二层级：思维探索与创新
重难点探究
探究一
周期现象的简单应用
如果今天是星期一，那么从明天算起，第100天是星期( ).
A.二 B.三 C.四 D.五
【方法指导】每周有7天，且周而复始，是一个周期现象，周期为7.
【解析】因为每周有七天，从星期一到星期日，周而复始，故这是一个周期现象，周期为7.今天是星期一，明天是星期二，因此从明天算起，第7k(k∈N+)天是星期一，由于100=7×14+2，因此第100天是星期三.
【答案】B
【小结】星期的往复是周期现象，计算时关键看经历了几个周期，且是一个周期后的第几天.
探究二
终边相同的角
在0°~
360°之间，求出与下列各角终边相同的角，并判断下列各角是第几象限角.
(1)825°17'；(2)-1046°.
【方法指导】先将角表示为k·360°+α的形式，其中k∈Z，α∈[0°，360°)，再根据与各角终边相同的角α的象限判断各角是第几象限角.
【解析】(1)825°17'=2×360°+105°17'，因为105°17'是第二象限角，且105°17'与825°17'角是终边相同的角，故825°17'是第二象限角.
(2)-1046°=-3×360°+34°，因为34°是第一象限角，且34°与-1046°角是终边相同的角，故-1046°是第一象限角.
【小结】终边相同的角所在的象限是相同的，故在判断各角是第几象限角时，先应用终边相同的角的公式将角表示为k·360°+α(k∈Z)，α∈[0°，360°)，再判断.
探究三
根据已知角的范围求等分角的范围
若α是第一象限角，则可能是第几象限角？
【方法指导】(法一)先将α表示出来，再表示出，最后将k分为3n，3n+1，3n+2三种情况分别判断.
(法二)将平面坐标轴的各个象限三等分的方法也可解决.
【解析】(法一)∵α是第一象限角，∴k·360°<α
(法二)如图，将平面坐标系的各个象限都三等分，从x轴正半轴逆时针方向依次沿每个区域循环标上数字1，2，3，4，则数字1所在的区域就是角所在的区域，所以可能是第一、二、三象限角.
【小结】将k分为3n，3n+1，3n+2三种情况分别判断之.
思维拓展应用
应用一
游乐场中的摩天轮有10个座舱，每个座舱最多乘4人，每30
min转一圈，请估算16
h内最多有多少人乘坐.
【解析】每一周期最多乘坐4×10=40(人)，16
h共有32个周期，因而16
h内最多有40×32=1280(人)乘坐.
应用二
(1)写出与25°角终边相同的角的集合；
(2)在(1)的集合中，将适合不等式-1080°<α<360°的元素α求出.
【解析】(1)与25°角终边相同的角的集合是A={α|α=k·360°+25°，k∈Z}.
(2)在A中适合-1080°<α<360°的元素:
取k=-3，-3×360°+25°=-1055°；
取k=-2，-2×360°+25°=-695°；
取k=-1，-1×360°+25°=-335°；
取k=0，0×360°+25°=25°.
故A中满足不等式-1080°<α<360°的元素有-1055°，-695°，-335°，25°.
第三层级：技能应用与拓展
基础智能检测
1.下列哪个不是周期现象( ).
A.挂在弹簧下方作上下振动的小球
B.钟表秒针的运动
C.每七天出现一个星期一
D.抛一枚骰子，向上的数字是奇数
【解析】A、B、C所述都是周期现象，而D中“向上的数字是奇数”不是周期现象.
【答案】D
2.在直角坐标系中，终边在∠xOy及其对顶角的平分线上的角的集合为 .
【解析】终边落在∠xOy平分线上的角的集合为，终边落在其对顶角的平分线上的角的集合为，并在一起得答案.
【答案】
3.若将时钟拨慢5分钟，则分针转了 度；时针转了 度.
【解析】将时钟拨慢了5分钟，分针、时针都是按逆时针方向转动，转过的是正角.
这时，分针转过的角度是=30°；时针转过的角度是=2.5°.
【答案】30 2.5
4.写出与-75°角终边相同的角的集合S，并把S中适合不等式-360°≤β<720°的元素β写出来.
【解析】S={β|β=-75°+k·360°，k∈Z}，S中适合-360°≤β<720°的元素有:-75°+0×360°=-75°，-75°+1×360°=285°，-75°+2×360°=645°.
第四层级：总结评价与反思
思维导图构建
学习体验分享
固学案
基础达标检测
1.如图所示，一个质点在平衡位置O点附近摆动，如果不计阻力，将此摆动看作是周期运动，若质点从O点开始向左摆动到A点所需时间为1
s，则该质点的周期是( ).
A.1
s B.2
s C.3
s D.4
s
【解析】质点从O点运动到A点所用时间为一个周期的，质点的运动轨迹是从O点开始，经过O→A→O→B→O，为一个周期，故周期为4×1=4(s).
【答案】D
2.把-1480°化成k·360°+α(0°≤α<360°，k∈Z)的形式是( ).
A.-4×360°-40°
B.-5×360°+320°
C.-4×360°-320°
D.-5×360°+40°
【解析】∵-1480°=-5×360°+320°，且320°∈[0°，360°)，∴选B.
【答案】B
3.在直角坐标系中，以下说法中正确说法的序号是 .
①第一象限的角一定是锐角；
②终边相同的角一定相等；
③相等的角的终边一定相同；
④第三象限角大于第二象限角.
【解析】对于①，锐角的范围是(0°，90°)；对于②，终边相同的角不一定相等，可能相差k·360°；对于③，相等的角的终边一定是相同的；对于④，第三象限的角不一定大于第二象限的角，与它们的转向和所绕的圈数有关.
【答案】③
4.求所有与所给角终边相同的角的集合，并求出其中的最小正角和最大负角.
(1)-210°；
(2)-1484°37'.
【解析】(1)∵-210°=-360°+150°，∴与-210°终边相同的角的集合为，其中最小正角为150°，最大负角为-210°.
(2)∵-1484°37'=-5×360°+315°23'，∴与-1484°37'终边相同的角的集合为，其中最小正角为315°23'，最大负角为-44°37'.
基础技能检测
5.若角α满足α=45°+k·180°，k∈Z，则角α的终边落在( ).
A.第一或第三象限
B.第一或第二象限
C.第二或第四象限
D.第三或第四象限
【解析】当k为奇数时，角α的终边与225°角的终边相同，在第三象限；当k为偶数时，角α与45°角终边相同，在第一象限.
【答案】A
6.已知集合A={第一象限角}，B={锐角}，C={小于90°的角}，则下面关系正确的是( ).
A.A=B=C
B.A C
C.A∩C=B
D.B∪C C
【解析】第一象限角可表示为k·360°<α
7.若角α满足180°<α<360°，角5α与α有相同的始边，且有相同的终边，则角α= .
【解析】由于5α与α的始边和终边相同，所以这两角的差应是360°的整数倍，
即5α-α=4α=k·360°，又180°<α<360°，则k=3，
此时α=270°.
【答案】270°