1.2 角的概念的推广 同步练习2（含答案）

1.2
角的概念的推广
同步练习
基础巩固训练（30分钟
50分）
一、选择题(每小题3分，共18分)
1.与-263°角终边相同的角的集合是　(　　)
A.{α|α=k×360°+250°，k∈Z}
B.{α|α=k×360°+197°，k∈Z}
C.{α|α=k×360°+63°，k∈Z}
D.{α|α=k×360°-263°，k∈Z}
【解析】选D.与-263°角终边相同的角的集合是{α|α=-263°+k×360°，k∈Z}.
2.已知α=-130°，则α的终边落在　(　　)
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
【解析】选C.α=-130°的角的终边处在-180°和-90°之间，所以其终边落在第三象限，故选C.
3.下列各组角中，终边相同的是　(　　)
A.390°与690°
B.-330°与750°
C.480°与-420°
D.3000°与-840°
【解题指南】化简各角，再判断终边是否相同.
【解析】选B.因为-330°=30°-360°，750°=30°+2×360°，所以这两个角都与30°角的终边相同.
4.若角α与角β的终边关于y轴对称，则必有　(　　)
A.α+β=90°
B.α+β=k×90°+360°，k∈Z
C.α+β=k×360°，k∈Z
D.α+β=(2k+1)·180°，k∈Z
【解析】选D.与角β的终边关于y轴对称的角为k×360°+180°-β，k∈Z，所以α+β=k×360°+180°，k∈Z.
5.α是第四象限角，则180°-α是　(　　)
A.第一象限角
B.第二象限角
C.第三象限角
D.第四象限角
【解析】选C.α是第四象限角，所以k×360°-90°<α【举一反三】题中条件不变，90°-α是第　　　象限的角.
【解析】α是第四象限角，所以k×360°-90°<α360°<-α故有k×360°+90°<90°-α所以90°-α是第二象限的角.
答案:二
6.已知A={第一象限角}，B={锐角}，C={小于90°的角}，那么A，B，C的关系是　(　　)
A.B=A∩C
B.B∪C=C
C.A B C
D.A=B=C
【解析】选A.由于A={第一象限角}={α|k×360°<αB={锐角}={α|0°<α<90°}；C={小于90°的角}={α|α<90°}.由集合间的关系可得A∩C=B.故选A.
二、填空题(每小题4分，共12分)
7.与-2015°角终边相同的最小正角是　　　　.
【解析】-2015°=145°-6×360°，所以-2015°与145°角的终边相同，且
145°是最小正角.
答案:145°
8.已知α是第二象限角，则应是第　　　　象限角.
【解题指南】先表示出的范围，再分三种情况讨论确定所在象限.
【解析】因为k×360°+90°<α所以×360°+30°<<×360°+60°，k∈Z，
当k=3n(n∈Z)时，n×360°+30°<当k=3n+1(n∈Z)时，n×360°+150°<当k=3n+2(n∈Z)时，n×360°+270°<所以为第一或第二或第四象限角.
答案:一或二或四
9.若α=k·360°+θ，β=m·360°-θ(k，m∈Z)，则角α与β的终边的位置关系是　　　　　.
【解析】由题意知角α与角θ的终边相同，角β与角-θ的终边相同，又角θ与角-θ的终边关于x轴对称，所以角α与角β的终边关于x轴对称.
答案:关于x轴对称
三、解答题(每小题10分，共20分)
10.在平面直角坐标系中，画出下列集合所表示的角的终边所在区域(用阴影表示).
(1){α|k×360°≤α≤135°+k×360°，k∈Z}.
(2){α|k×180°≤α≤135°+k×180°，k∈Z}.
【解析】
【变式训练】已知角α的终边在如图所示的阴影部分内，试指出角α的取值范围.
【解析】终边在30°角的终边所在直线上的角的集合为
S1={α|α=30°+k×180°，k∈Z}，
终边在180°-75°=105°角的终边所在直线上的角的集合为S2={α|α=105°+k×180°，k∈Z}，因此终边在图中阴影部分的角α的取值范围为
{α|30°+k×180°≤α<105°+k×180°，k∈Z}.
11.已知α=-1910°.
(1)把α写成β+k·360°(k∈Z，0°≤β<360°)的形式，并指出它是第几象限角.
(2)求θ，使θ与α的终边相同，且-720°≤θ<0°.
【解析】(1)设α=β+k·360°(k∈Z)，
则β=-1910°-k·360°(k∈Z).
令-1910°-k·360°≥0，解得k≤-，
k的最大整数解为k=-6，求出相应的β=250°.
所以α=250°-6×360°.α是第三象限角.
(2)令θ=250°+n·360°(n∈Z)，
取n=-1，-2就得到符合-720°≤θ<0°的角.
250°-360°=-110°，250°-720°=-470°，
故θ=-110°或-470°.
能力提升训练（30分钟
50分）
一、选择题(每小题4分，共16分)
1.与405°角的终边相同的角α的集合是　(　　)
A.
B.
C.
D.
【解析】选C.与405°角的终边相同的角α的集合可以写成或{α+k×360°，k∈Z}等.要点是需要加上周角的整数倍，排除D；然后再确定是否与405°相差周角的整数倍，可知405°=45°+360°，故选C.
2.若角α的终边经过点P(0，-3)，则α是　(　　)
A.第三象限角
B.终边在x轴的非正半轴上的角
C.第四象限角
D.终边在y轴的非正半轴上的角
【解析】选D.因为点P(0，-3)在y轴的非正半轴上，所以角α的终边落在y轴的非正半轴上，故选D.
【举一反三】若角α的终边经过点P(-3，0)，则α是　　　　.
【解析】因为点P(-3，0)在x轴的非正半轴上，所以角α的终边落在x轴的非正半轴上.
答案:终边在x轴的非正半轴上的角
3.角α为锐角，则k×180°+α(k∈Z)所在的象限是　
(　　)
A.第一象限
B.第二象限
C.第一、三象限
D.第一、四象限
【解析】选C.若角α为锐角，则角α的终边在第一象限，k×180°+α(k∈Z)表示把角α的终边旋转180°的整数倍，终边落在第一或第三象限.
4.如图，终边落在阴影部分(含边界)的角的集合是　
(　　)
A.{α|-45°≤α≤120°}
B.{α|120°≤α≤315°}
C.{α|k×360°-45°≤α≤k×360°+120°，k∈Z}
D.{α|k×360°+120°≤α≤k×360°+315°，k∈Z}
【解析】选C.当-180°<α<180°时，-45°≤α≤120°.
又α∈R，所以k×360°-45°≤α≤k×360°+120°，k∈Z.
二、填空题(每小题5分，共10分)
5.已知-990°<α<-630°，且α与120°角终边相同，则α=　　　　　.
【解析】α与120°角终边相同，则α=k×360°+120°，k∈Z且-990°360°+120°<-630°.
即-1110°当k=-3时，α=(-3)×360°+120°=-960°.
答案:-960°
6.若α是第一象限角，则
①90°+α是第　　　　象限的角；
②90°-α是第　　　　象限的角；
③180°+α是第　　　　象限的角；
④360°-α是第　　　　象限的角.
【解析】若α是第一象限角，则90°+α的终边是把α的终边逆时针旋转90°得到的，显然应该在第二象限；180°+α的终边是把α的终边逆时针旋转180°得到的(或与α的终边互为反向延长线)，显然应该在第三象限.
若α是第一象限角，-α是第四象限角，所以90°-α是把-α的终边逆时针旋转90°得到的，应该在第一象限；360°-α与-α的终边相同，是第四象限角.
答案:①二　②一　③三　④四
【一题多解】特例法，比如取α=30°，可知①90°+α=120°在第二象限；②90°-α=60°在第一象限；③180°+α=210°在第三象限；④360°-α=330°在第四象限.
答案:①二　②一　③三　④四
【拓展延伸】确定角的终边位置的两种方法
(1)旋转法:任意角的概念是利用旋转法推广得到的，讨论角所在的象限，就应学会用旋转的方法找角所在的象限，如α+90°，即将角α的终边逆时针旋转90°；α-90°，即将α的终边顺时针旋转90°.
(2)终边对称法:α与-α的终边关于x轴对称；90°+α与90°-α的终边关于y轴对称；180°+α与α的终边关于原点对称.
三、解答题(每小题12分，共24分)
7.已知角的集合M={α+k×90°，k∈Z}，回答下列问题:
(1)集合M有几类终边不相同的角？
(2)集合M中大于-360°且小于360°的角是哪几个？
【解析】(1)集合M的角可以分成四类，即终边分别与-150°角，-60°角，30°角，120°角的终边相同的角.
(2)令-360°<30°+k×90°<360°，则-又因为k∈Z，所以k=-4，-3，-2，-1，0，1，2，3，即集合M中大于-360°且小于
360°的角共有8个，分别是-330°，-240°，-150°，-60°，30°，120°，
210°，300°.
8.若角β的终边落在直线y=-x上，写出角β的集合，当β∈(-360°，360°)时，求角β.
【解题指南】根据直线的斜率，计算直线的倾斜角写出角的集合，再求符合条件的角.
【解析】因为角β的终边落在直线y=-x上，
所以在0°到360°范围内的角为150°和330°，
所以角β的集合为{β|β=150°+k×180°，k∈Z}，当角β∈(-360°，360°)时，角β为-210°，-30°，150°，330°.
【变式训练】设点P(m，n)(n≠0)是600°角的终边上的一点.
(1)试求的值.
(2)写出终边落在过原点O且垂直于OP的直线l上的角的集合.
【解题指南】解答本题(1)应先在0°到360°范围内找出与600°角的终边相同的角，作直角三角形求.解答本题(2)时可先根据直线l过原点O且垂直于OP，在0°到360°范围内找出终边落在l上的角，再写出角的集合.
【解析】(1)在0°到360°范围内与600°角的终边相同的角为240°，故点P(m，n)(n≠0)是240°角的终边上的一点，过P作PA⊥x轴，垂足为A.
在Rt△PAO中，∠POA=60°，=tan60°=，
又点P在第三象限，所以n=-|PA|，m=-|AO|，
所以=.
(2)由题意得:在0°到360°范围内终边落在直线l上的角有240°-90°=
150°和240°+90°=330°，所以终边落在直线l上的角的集合为:
S={α|α=k×360°+150°，k∈Z}∪{α|α=k×360°+330°，k∈Z}={α|α=2k×180°+150°，k∈Z}∪{α|α=(2k+1)×180°+150°，k∈Z}={α|α=n×
180°+150°，n∈Z}，所以终边落在直线l上的角的集合为S={α|α=n×180°+150°，n∈Z}.