1.3 弧度制 同步练习1（含答案）

1.3
弧度制
同步练习
基础巩固
一、选择题
1．终边在第三象限的角平分线上的角α的集合为(　　)
A.
B.
C.
D.
[答案]　B
[解析]　先在[0，2π)内找到第三象限角平分线所对应的角.再加上2π的整数倍，即：α＝2kπ＋，(k∈Z)．∴选B.
2．下列各对角中终边相同的是(　　)
A.和－＋2kπ(k∈Z)
B．－和
C．－和
D．－和
[答案]　C
[解析]　∵－π＝－2π＋π，∴－π与π终边相同．
3．下列转化结果错误的是(　　)
A．67°30′化成弧度是
B．－化成度是－600°
C．－150°化成弧度是－
D.化成度是15°
[答案]　C
[解析]　对A，67°30′＝67.5×＝，正确；
对于B，－＝－×()°＝－600°，正确；
对C，－150°＝－150×＝－，错误；
对D，＝×()°＝15°，正确．
4．把－表示成θ＋2kπ(k∈Z)的形式，使|θ|最小的θ的值是(　　)
A．－　　　　　　　
B．－
C.　
D．
[答案]　A
[解析]　∵－＝－2π－，∴－与－是终边相同的角，且此时|－|＝是最小的．
5．在半径为2cm的圆中，若有一条弧长为cm，则它所对的圆心角为(　　)
A.　　　　　　
B.　　　　
C.　　　　　
D．
[答案]　A
[解析]　设圆心角为θ，则θ＝＝.
6．半径为2cm，圆心角为的扇形面积为(　　)
A.cm2　
B．cm2
C.cm2　
D．cm2
[答案]　C
[解析]　由于l＝r·α＝2×＝(cm)，
所以扇形的面积为：
S＝lr＝··2＝(cm2)，故选C.
二、填空题
7．(1)300°化为弧度是________；
(2)－化为度是________；
(3)终边落在如图的阴影部分(包括边界)的角的集合是______________．
[答案]　(1)　(2)－150°
(3){α|＋2kπ≤α≤＋2kπ，k∈Z}
[解析]　(1)(2)考查角度与弧度的互化.　
(3)考查终边相同角的写法．
(1)300°＝300×＝.
(2)－π＝－×＝－150°.
(3)用集合表示时，不要漏掉k∈Z.
8．若角θ的终边与的终边相同，则在[0，2π]内终边与角的终边相同的角是________．
[答案]　或或或
[解析]　θ＝＋2kπ(k∈Z)，
∴＝＋(k∈Z)．
当k＝0时，＝；k＝1时，＝；
k＝2时，＝；k＝3时，＝.
三、解答题
9．(1)已知扇形OAB的圆心角α为120°，半径为6，求扇形弧长及所含弓形的面积．
(2)已知扇形周长为20　cm，当扇形的圆心角为多大时它有最大面积？
[解析]　(1)弧长l＝αr＝π×6＝4π，
∵OA＝OB＝6，∴AB＝6，圆心到AB的距离为d＝3.
∴弓形面积S＝S扇形－S△ABC＝×π×62－×6×3＝12π－9.
(2)设扇形圆心角为α，半径为R，扇形面积为S，
则αR＋2R＝20.
∴α＝，∴S＝αR2＝10R－R2＝25－(R－5)2，
∴当R＝5cm时，S有最大值25　cm2，此时α＝2.
能力提升
一、选择题
1．已知集合P＝，则下列集合与集合P相等的是(　　)
A.
B．{α|α＝kπ，k∈Z}
C.
D.
[答案]　D
[解析]　α＝，k∈Z由k＝0，1，2，3，4，……知，角的终边在坐标轴上．
而α＝kπ＋，k∈Z表示角的终边在y轴上；
α＝kπ，k∈Z表示角的终边在x轴上；
α＝2kπ＋，k∈Z表示角的终边在y轴正半轴上．
故选D.
2．已知集合A＝{α|2kπ≤α≤(2k＋1)π，k∈Z}，B＝{α|－4≤α≤4}，则A∩B＝(　　)
A．
B．{α|0≤α≤π}
C．{α|－4≤α≤4}
D．{α|－4≤α≤－π，或0≤α≤π}
[答案]　D
[解析]　[2kπ，(2k＋1)π]∩[－4，4]在k≥1或k≤－2时为空集，于是，A∩B＝{α|－4≤α≤－π或0≤α≤π}．
二、填空题
3．扇形的周长是16，圆心角是2rad，则扇形的面积是________．
[答案]　16
[解析]　弧长l＝2R，∴16＝4R，∴R＝4，
∴S＝×2×4×4＝16.
4．圆的一段弧长等于该圆外切正三角形的边长，则这段弧所对圆心角的弧度数是________．
[答案]　2　
[解析]　设圆半径为R，则圆的外切正三角形的边长为2R，∴l＝2R，
∴圆心角θ＝＝＝2.
三、解答题
5．若角α的终边与角的终边关于直线y＝x对称，且α∈(－4π，4π)，求α的值．
[解析]　设角的终边为直线OA，OA关于直线y＝x对称的直线为OB，则以OB为终边的角的集合为.
∵α∈(－4π，4π)，∴－4π<2kπ＋<4π，
∴－∴α的值为－，－，，.
6．已知扇形的周长为6cm，面积为2cm2，求扇形圆心角的弧度数．
[解析]　设扇形的弧长为l，它所在圆的半径为r，圆心角为α(0<α<2π)，由题意得
消去l得r2－3r＋2＝0，解得r＝1或r＝2.
当r＝1时，l＝4，α＝＝＝4；
当r＝2时，l＝2，α＝＝＝1.
故扇形的圆心角为1弧度或4弧度．
7．用30cm长的铁丝围成一个扇形，应怎样设计，才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？
[解析]　解法一：设扇形的半径为r，弧长为l，扇形的面积为S.则l＋2r＝30，即l＝30－2r.　
①
将①式代入S＝lr，得
S＝(30－2r)·r＝－r2＋15r＝－(r－)2＋.
所以当r＝cm时，扇形面积最大，且最大面积为cm2.此时圆心角θ＝＝2.
解法二：设扇形的半径为r，圆心角为θ(0<θ<2π)，则弧长为r·θ.由题意，得2r＋r·θ＝30，即r＝.所以S＝θ·r2＝·＝.整理，得
Sθ2＋(4S－450)·θ＋4S＝0.
②
由S≠0及Δ≥0知，－3600S＋202500≥0，
所以S≤，即扇形的最大面积为cm2，
将S＝代入②式，解得θ＝2，所以r＝cm.
答：当扇形的半径为cm，圆心角为2弧度时，扇形面积最大，最大面积为cm2.