1.3 弧度制 同步练习4（含答案）

1.3
弧度制
同步练习
基础巩固训练（30分钟
50分）
一、选择题(每小题3分，共18分)
1.一段弧长等于半径的一半，则此弧所对的圆心角是　(　　)
A.
B.
C.
D.以上均不对
【解析】选C.由弧长公式得α===.
2.
π对应的角度为　(　　)
A.75°
B.125°
C.135°
D.155°
【解析】选C.π=π×°=135°.
【变式训练】在△ABC中，若A∶B∶C=3∶5∶7，则角A，B，C的弧度数分别为　　　　.
【解析】A+B+C=π，又A∶B∶C=3∶5∶7，所以A==，B==，C=.
答案:，，
3.与120°角终边相同的角的集合是(　　)
A.
B.
C.
D.
【解析】选D.与120°角终边相同的角是α=k×360°+120°，k∈Z，化为弧度制后是α=2kπ+π，k∈Z.
【误区警示】角的表示必须保持单位一致，不能同时出现角度和弧度.
4.终边经过点(a，a)(a≠0)的角α的集合是　(　　)
A.
　　　　　
B.
C.
　　　　　
D.
【解题指南】先判断角的终边落在什么位置，再写出终边相同的角的集合.
【解析】选C.终边经过点(a，a)(a≠0)的角，即角的终边落在了直线y=x上，即此角的终边为第一、三象限的角平分线，故角α的集合为.
5.已知α=2rad，则角α是　(　　)
A.第一象限角
B.第二象限角
C.第三象限角
D.第四象限角
【解析】选B.因为1rad≈57.30°，所以2rad≈114.60°，即α是第二象限角.
【举一反三】若α=-3rad，则角α是第几象限角？
【解析】因为1rad≈57.30°，所以-3rad≈-171.90°，即α是第三象限角.
6.集合M=，N=xx=+，k∈Z，则有　(　　)
A.M=N
B.MN
C.MN
D.M∩N=
【解析】选C.因为集合M是表示终边在第一、三象限或第二、四象限的角平分线上的角的集合.集合N是表示终边在坐标轴(四个位置)上和在第一、三象限或第二、四象限的角平分线上的角的集合.所以MN.
二、填空题(每小题4分，共12分)
7.已知扇形的周长是6cm，面积是2cm2，则扇形的圆心角的弧度数是　　　　.
【解析】设扇形的半径为rcm，弧长是lcm，
则解得或
所以α===4或α===1.
答案:1或4
8.已知角α，β的终边关于x+y=0对称，且α=-，则β=　　　　.
【解析】-角的终边关于y=-x对称的射线的对应角为-+=-，所以β=-+2kπ，k∈Z.
答案:-+2kπ，k∈Z
9.如图，在半径为1的圆上有两点A，B，若的长等于2，则弓形AMB的面积为　　　　.
【解题指南】弓形的面积为扇形面积与△AOB面积的差.
【解析】因为的长等于2，圆的半径为1，
故∠AOB=2
rad，所以S扇形=×2×1=1，
S△AOB=·AB·ON=·2sin1·cos1=sin1·cos1，故弓形的面积为1-sin1·cos1.
答案:1-sin1·cos1
三、解答题(每小题10分，共20分)
10.如图，圆周上点A依逆时针方向做匀速圆周运动.已知A点1分钟转过θ(0<θ<π)角，2分钟到达第三象限，14分钟后回到原来的位置，求θ.
【解析】由题意知A点2分钟转过2θ，且π<2θ<π，A点14分钟后回到原位，
所以14θ=2kπ(k∈Z)，θ=(k∈Z)，且<θ<π，
所以θ=π或π.
11.如图，已知扇形AOB的圆心角为120°，半径长为6，求弓形ACB的面积.
【解题指南】先求出扇形OAB的面积，再求出△OAB的面积，作差即可得弓形ACB的面积.
【解析】因为120°=π=π，
所以l=6×π=4π，所以的长为4π.
因为S扇形OAB=lr=×4π×6=12π，如图所示，
有S△OAB=×AB×OD(D为AB中点)
=×2×6cos×3=9.
所以S弓形ACB=S扇形OAB-S△OAB=12π-9.
所以弓形ACB的面积为12π-9.
能力提升训练（30分钟
50分）
一、选择题(每小题4分，共16分)
1.在半径为5的圆中，的圆心角所对的弧长是　(　　)
A.
B.
C.
D.
【解析】选C.l=·r=×5=.
2.下列各集合中，终边相同的角的集合是　(　　)
A.与(k∈Z)
B.与(k∈Z)
C.与(k∈Z)
D.与(k∈Z)
【解析】选A.利用特殊值法，k取…，0，1，2，…时，A中两集合分别为与{…，-π，π，3π，5π，…}，
显然两集合相等；B中两集合分别为与，两集合不相等.同样验证C，D不相等.
【变式训练】与终边相同的角的表达式中，正确的是　(　　)
A.2kπ+45°，k∈Z
B.k·360°+，k∈Z
C.k·360°-315°，k∈Z
D.kπ+，k∈Z
【解析】选C.弧度和角度不能在同一个表达式中，故选项A，B错误.而kπ+，k∈Z表示的角是第一、三象限角，而是第一象限角，故选C.
3.把-π表示成θ+2kπ(k∈Z)的形式，使最小的θ值是　(　)
A.-
B.-
C.
D.
【解析】选A.令-=θ+2kπ，则θ=--2kπ，
取k≤0的值，k=-1时，θ=-，=，
k=-2时，θ=，=>，k=0时，θ=-，=>，所以满足题意的θ=-.
4.已知圆上的一段弧长等于该圆的内接正方形的边长，则这段弧所对的圆周角的弧度数为　(　　)
A.
B.2
C.
D.
【解析】选C.设圆的半径为r，则圆的内接正方形的边长为r，故弧长为r，这段弧所对的圆心角为=，圆周角为.
二、填空题(每小题5分，共10分)
5.弧长为4π的扇形的圆心角为，则此扇形的面积为　　　　.
【解析】根据题意，结合扇形的弧长公式，弧长为4π的扇形的圆心角为，那么可知半径为12，此扇形的面积为×12×4π=24π.
答案:24π
6.若角α的终边与角π的终边相同，则在[0，2π]上，终边与角的终边相同的角是　　　.
【解析】因为角α的终边与角π的终边相同，所以α=2kπ+(k∈Z)，所以=+(k∈Z)，令k取0，1，2，3，可得相应的的值为π，π，π，π.
答案:π，π，π，π
【误区警示】本题易出现的错误是:由终边相同得α=，求得结果只有π，错误的原因在于对终边相同的角之间的关系理解不深.
【拓展提升】在给定区间上找与已知角终边相同的角的步骤
首先写出终边相同的角的一般形式，然后根据区间的范围讨论k的取值，最后把k的值代入一般形式，即可得结果.
三、解答题(每小题12分，共24分)
7.已知α=2000°.
(1)把α写成2kπ+β(k∈Z，β∈[0，2π))的形式.
(2)求θ，使得θ与α的终边相同，且θ∈(4π，6π)
【解题指南】(1)先用角度表示出来，再转化成弧度.
(2)根据(1)题先写出θ的表示形式，再由θ的范围求θ.
【解析】(1)α=2000°=5×360°+200°=10π+π.
(2)θ与α的终边相同，故θ=2kπ+π，k∈Z，
又θ∈(4π，6π)，所以k=2时，θ=4π+π=.
8.单位圆上两个动点M，N同时从P(1，0)点出发，沿圆周运动，M点按弧度/秒逆时针方向旋转，N点按弧度/秒顺时针方向旋转，试求它们出发后第一次相遇时各自走过的弧度.
【解析】设从P点出发后，t秒时M，N第一次相遇，
则有t+t=2π，解得t=4.
故M走了×4=π(弧度)，
N走了×4=π(弧度).