1.4.1-1.4.2 任意角的正弦函数、余弦函数的定义和单位圆与周期性 同步练习3（含答案）

1.4.1-1.4.2
任意角的正弦函数、余弦函数的定义和单位圆与周期性
同步练习
基础巩固训练（30分钟
50分）
一、选择题(每小题3分，共18分)
1.已知点P(sinα，cosα)位于第二象限，则角α的终边落在　(　　)
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
【解析】选D.因为点P位于第二象限，所以
所以角α是第四象限角.
2.设角θ的终边经过点P(-3，4)，那么sinθ+2cosθ=　
(　　)
A.
B.-
C.-
D.
【解析】选C.根据三角函数的定义:sinθ=，cosθ=(其中r=)，
由角θ的终边经过点P(-3，4)，可得r==5，sinθ=，cosθ=-，
所以sinθ+2cosθ=-2×=-.
3.若sinα·cosα>0，则角α是　(　　)
A.第一象限角
B.第二象限角
C.第一或三象限角
D.第二或四象限角
【解析】选C.因为sinα·cosα>0，所以sinα与cosα同号，所以角α是第一或三象限角.
【举一反三】若sinα·cosα<0，则角α是第　　　　象限角.
【解析】因为sinα·cosα<0，所以sinα与cosα异号，所以角α是第二或四象限角.
答案:二或四
4.若α是第四象限的角，则下列函数值一定是负值的是　(　　)
A.sin
B.cos
C.sin·cos
D.以上不正确
【解题指南】先判断所在的象限，然后判断符号.
【解析】选C.因为α为第四象限的角，
所以π+2kπ<α<2kπ+2π，k∈Z，
所以π+kπ<若k为偶数，设k=2n(n∈Z)，
则2nπ+π<<2nπ+π，
所以为第二象限的角.
若k为奇数，设k=2n+1(n∈Z)，
则2nπ+π<<2nπ+2π，
所以为第四象限的角.
所以为第二或第四象限的角.
所以sin·cos<0.
5.已知角θ是第二象限角，P(a，3)为其终边上一点，且
cosθ=，则a=　(　　)
A.-4
B.±4
C.4
D.±5
【解析】选A.因为角θ是第二象限角，所以a<0，r=，由=解得a=-4.
【误区警示】此题容易忽略θ是第二象限角而误选B.
6.若角θ的终边经过点Q(sin(-660°)，cos
750°)，则sinθ=　(　)
A.
B.
C.
D.-
【解题指南】先计算点Q的坐标，再求sinθ的值.
【解析】选B.因为sin(-660°)=sin(60°-2×360°)
=sin60°=，cos750°=cos(30°+2×360°)
=cos30°=，所以Q，sinθ=.
二、填空题(每小题4分，共12分)
7.角θ的终边落在直线y=x上，则sinθ+cosθ=　　　　　　.
【解析】在角θ的终边上任选一点P(x，y)，
因为y=x，所以r==|x|.
当x>0时，r=x，sinθ==，
cosθ==，所以sinθ+cosθ=.
当x<0时，r=-x，sinθ==-，
cosθ==-，sinθ+cosθ=-.
答案:±
8.若角α的终边经过点P(-3，b)，且cosα=-，则b=　　　　　　；sinα=　　　　　　.
【解析】由r=，cosα=-，得=-，
解得b=±4.
当b=4时，sinα=，当b=-4时，sinα=-.
答案:±4　　±
9.点P从(1，0)出发，沿单位圆x2+y2=1逆时针方向运动到达P′点，则P′点的坐标为　　　　　.
【解析】如图所示，
由题意可知∠POP′=，
所以∠MOP′=，
所以OM=，MP′=，
所以P′.
答案:
三、解答题(每小题10分，共20分)
10.已知角α的终边过点(3a-9，a+2)，且cosα≤0，sinα>0，求a的取值范围.
【解析】因为cosα≤0，sinα>0，
所以角α的终边在第二象限或y轴非负半轴上，
因为α的终边过点(3a-9，a+2)，
所以所以-211.设θ是第三象限角，且满足=-sin，试判断所在的象限.
【解析】因为θ是第三象限角，
所以2kπ+π<θ<2kπ+，k∈Z.
所以kπ+<所以在第二、四象限内.
又因为=-sin，
所以sin≤0.所以为第四象限角.
能力提升训练（30分钟
50分）
一、选择题(每小题4分，共16分)
1.已知角α(0<α<2π)的正弦值与余弦值相等，则α的值为　(　　)
A.或　　　　　　　
B.或
C.或
D.或
【解析】选B.因为角α的正弦值与余弦值相等，所以角α的终边落在直线y=x上，又0<α<2π，所以α=或.
2.若角α是第二象限角，则+=　(　　)
A.-1　　　　
B.-2　　　　
C.2　　　　
D.0
【解题指南】根据角α所在的象限判断sinα，cosα的符号再化简.
【解析】选D.因为角α是第二象限角，所以sinα>0，cosα<0，所以+=+=1-1=0.
【举一反三】若角α是第三象限角，则原式的值等于什么？
【解析】因为角α是第三象限角，所以sinα<0，cosα<0，所以+=+=-1-1=-2.
3.已知角α的顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边过点，则cosα的值为　(　　)
A.
B.-
C.-
D.-
【解析】选B.因为α的顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合，又终边过点，此点到原点的距离为1，所以cosα=-.
4.已知角α的终边过点P(x，-3)，且cosα=，则sinα的值为　(　)
A.-
B.
C.-或-1
D.-或
【解析】选C.r=OP=，cosα==，解得x=0或x=±，所以OP=3或4，所以sinα=-1或-.
二、填空题(每小题5分，共10分)
5.若点P是的终边与单位圆的交点，则点P的坐标是　　　　　　.
【解析】设P(x，y)，由正、余弦函数的定义可知y=sin=，x=cos=，所以点P的坐标为.
答案:
6.若角α终边经过点P(-，y)，且sinα=y(y≠0)，则cosα=　　　　.
【解析】由题意sinα=而sinα=y.
故有=
解得y2=，r=，cosα==-.
答案:-
【举一反三】本题中条件不变，若求sinα，其值为多少？
【解析】由上面解析知y=±
故sinα==±
答案:±
三、解答题(每小题12分，共24分)
7.已知角α的终边落在直线y=2x上，求sinα，cosα的值.
【解题指南】y=2x的图像过一、三象限，α的终边可能在第一或第三象限，故需分类讨论.
【解析】当角α的终边在第一象限时，在角α的终边上取点P(1，2)，则r=|OP|==，
所以sinα===.cosα===.
当角α在第三象限时，在角α的终边上取点Q(-1，-2).
则r=|OQ|==，
所以sinα==-，cosα==-.
【一题多解】设角α的终边上一点P(a，2a)(a≠0)，
则r==|a|.
当a>0时，r=a，sinα==，
cosα==.
当a<0时，r=-a，所以sinα==-.
cosα==-.
8.已知|cosθ|≤|sinθ|，求θ的取值范围.
【解析】如图所示.
根据|cosθ|=|sinθ|，
则角θ的终边落在y=x和y=-x上，
满足|cosθ|≤|sinθ|的θ角的终边落在阴影部分，
所以.