1.4.1-1.4.2 任意角的正弦函数、余弦函数的定义和单位圆与周期性 学案1（含答案）

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1.4.1-1.4.2
任意角的正弦函数、余弦函数的定义和单位圆与周期性
学案
课程学习目标
1.理解通过单位圆引入任意角的正弦函数的意义.
2.掌握任意角的正弦函数、余弦函数的定义，能利用角α的终边与单位圆的交点坐标写出正弦函数值与余弦函数值.掌握特殊角的正弦、余弦函数值.21世纪教育网版权所有
3.理解并掌握终边相同的角的正弦、余弦函数值相等.
4.了解周期函数的定义，并能简单应用.
课程导学建议
重点:正弦、余弦函数的定义及如何由角的终边上一点求这个角的正弦、余弦值.在此基础上讨论正弦、余弦函数的周期性，并由此拓展.21教育网
难点:利用正弦、余弦函数的定义求函数值和化简等式.
第一层级：知识记忆与理解
知识体系梳理
创设情境
在初中由于学习的知识不够深入和认知的差异，为了便于理解锐角三角函数的概念，我们以锐角为其中一个角构造一个直角三角形，利用不同边的比值定义了该锐角的三角函数(正弦函数、余弦函数、正切函数)，但这种定义显然不适应任意角的三角函数的定义，这节课我们将要探寻任意角的三角函数的本质是什么？并能对任意角的三角函数给出一个科学合理的定义.21cnjy.com
知识导学
问题1:一般地，在直角坐标系中(如图)，对任意角α，它的终边与圆交于点P(a，b)，则比值叫作角α的正弦　，比值叫作角α的余弦　　. www.21-cn-jy.com
当r=1时，任意角α的终边与单位圆交于点P(a，b)，我们可以唯一确定点P(a，b)，点P的纵坐标b是角α的函数，称为正弦函数，记作:　b=sin
α(α∈R)　；点P的横坐标a是角α的函数，称为余弦函数，记作:　b=cos
α(α∈R)　. 21·世纪
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通常我们用x，y分别表示自变量与因变量，将正弦函数表示为　y=sin
x(x∈R)　，正弦函数值有时也叫正弦值；将余弦函数表示为　y=cos
x(x∈R)　，余弦函数值有时也叫余弦值. www-2-1-cnjy-com
问题2:终边相同的角的正弦函数值　相同　、余弦函数值　相同　，即若β=α+2kπ(k∈Z)，则sin
α
=　sin
β，cos
α　=　cos
β. 2-1-c-n-j-y
问题3:正、余弦函数值的符号
(1)表格表示
　　　　象限三角函数　　　
第一象限
第二象限
第三象限
第四象限
sin
α
　正　
　正　
　负　
　负　
cos
α
　正　
　负　
　负　
　正　
　　问题4:周期函数的有关概念
(1)一般地，对于函数f(x)，如果存在　非零　常数T，对定义域内的任意一个x值，都有　
f(x+T)=f(x)　，我们就把f(x)称为周期函数，T称为这个函数的　周期　.
(2)正弦函数、余弦函数是周期函数，　2kπ(k∈Z，k≠0)　为正弦函数、余弦函数的周期.如-2π，2π，4π等都是它们的周期.其中2π是正弦函数、余弦函数正周期中最小的一个，称为　最小正周期　. 21·cn·jy·com
知识链接
三角函数也是一种函数，它可以看成是从一个角(弧度制)的集合到一个比值的集合的函数，也可以看成是以实数为自变量的函数，定义域为使比值有意义的角的范围.
基础学习交流
1.若sin
α<0，cos
α>0，则α的终边(不含端点)在(　　).
A.第一象限　　　　　　B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
【解析】∵sin
α<0，∴α在第三、四象限及y轴的负半轴上，由cos
α>0，可知α在第一、四象限及x轴的正半轴上，故α在第四象限.2·1·c·n·j·y
【答案】D
2.已知角α的终边经过点(-6，8)，则cos
α的值为(　　).
A.-
B.
C.-
D.
【答案】A
3.若点P在角的终边上，且|OP|=2，则点P的坐标是　　　.
【答案】略
4.在时钟钟面上，分针从如图位置开始顺时针走动，当分针走过1125°时，求分针针尖到分针起始位置OA的距离(即A'到OA的距离，设分针长为r
cm).21
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【解析】1125°=360°×3+45°，d=rsin
45°=r(cm).
第二层级：思维探索与创新
重难点探究
探究一
判断正弦、余弦函数值的符号
判断下列各式的符号.
(1)cos(-345°)；
(2)sin
175°
cos
248°.
【方法指导】先判断角所在的象限，然后利用函数值的符号规律加以判断.
【解析】(1)∵-345°=-360°+15°是第一象限角，
∴cos(-345°)>0.
(2)∵175°是第二象限角，248°是第三象限角，
∴sin
175°>0，cos
248°<0，
∴sin
175°
cos
248°<0.
【小结】熟记正弦、余弦函数值在各个象限内的符号是解决此类问题的关键，同时可结合图形帮助理解.
探究二
周期函数的证明
已知f(x+2)=-f(x)，求证:f(x)是周期函数，并求出它的一个周期.
【方法指导】只需要找出常数T≠0，验证f(x+T)=f(x)(x∈R).
【解析】∵f(x+4)=f[(x+2)+2]=-f(x+2)=f(x)，
∴f(x)是周期函数，且4是它的一个周期.
【小结】一般地，对于函数f(x)，如果存在非零实数T，使得对任意x都有f(x+T)=f(x)，那么f(x)就是一个周期为T的周期函数，故解决此类问题的关键是找出周期T，并证明上述等式成立.【来源：21·世纪·教育·网】
第三层级：技能应用与拓展
基础智能检测
1.已知cos
θ·sin
θ<0，那么角θ是(　　).
A.第一或第二象限角
B.第二或第三象限角
C.第二或第四象限角
D.第一或第四象限角
【解析】若cos
θ>0，sin
θ<0，则θ在第四象限；
若cos
θ<0，sin
θ>0，则θ在第二象限.故选C.
【答案】C
2.求下列式子的值:
(1)sinπ=　　　　；(2)cos
405°=　　　　.
【解析】(1)sinπ=sin(+6π)=sin=1.
(2)cos
405°=cos(45°+360°)=cos
45°=
【答案】(1)1　(2)
第四层级：总结评价与反思
思维导图构建
学习体验分享
固学案
基础达标检测
1.若函数f(x)=cos，则下列等式成立的是(　　).
A.f(2π-x)=f(x)
B.f(2π+x)=f(x)
C.f(-x)=-f(x)
D.f(-x)=f(x)
【解析】f(-x)=cos
(-)=cos=f(x).
【答案】D
2.α是第四象限角，则下列函数值一定是负值的是　　　　.
①sin；②cos；③cos
2α；④sincos.
【解析】∵α是第四象限角，∴是第二、四象限角，2α是第三、四象限角，∴一定是负值的是sincos.
【答案】④
基础技能检测
3.设角α的终边在第二象限，且|cos|=-cos，则角的终边在(　　).
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
【解析】
∵角α是第二象限角，
∴2kπ+<α<2kπ+π(k∈Z)，
∴kπ+<当k=2n(n∈Z)时，在第一象限；当k=2n+1(n∈Z)时，在第三象限.
而|cos|=-cos cos≤0，
∴的终边在第三象限.
【答案】C
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