1.4.1-1.4.2 任意角的正弦函数、余弦函数的定义和单位圆与周期性 学案2（含答案）

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1.4.1-1.4.2
任意角的正弦函数、余弦函数的定义和单位圆与周期性
学案
【课时目标】　1．借助单位圆理解任意角的三角函数(正弦、余弦)的定义．2．熟记正弦、余弦的函数值在各象限的符号．3．理解正、余弦函数的周期性及这一性质的应用．
知识梳理
1．单位圆的定义
在直角坐标系中，以________为圆心，以__________为半径的圆，称为单位圆．
2．一般地，在直角坐标系中，给定单位圆，对于任意角α，使角α的顶点与原点重合，始边与x轴正半轴重合，终边与单位圆交于点P(u，v)，那么点P的纵坐标v叫作角α的____________，记作v＝sin
α；点P的横坐标u叫作角α的__________，记作______________．
通常，我们用x表示自变量，即x表示角的大小，用y表示函数值，这样我们就定义了任意角三角函数y＝sin
x和y＝cos
x．它们的定义域为全体实数，值域为________．
3．正、余弦函数的符号
象限三角　　　函数　　　
第一象限
第二象限
第三象限
第四象限
sin
α
cos
α
4．正、余弦函数的周期性
sin(α＋k·2π)＝________，k∈Z；
cos(α＋k·2π)＝________，k∈Z．
由此我们可以得到如下结论：
终边相同的角的________________相等．
5．周期函数的有关概念
对于函数f(x)，如果存在______实数T，任取定义域内的任意一个x值，都有________＝f(x)，那么函数f(x)就称为周期函数，T称为这个函数的________．
作业设计
一、选择题
1．sin
390°等于(　　)
A．
B．－
C．－
D．
2．若sin
α<0且tan
α>0，则α是(　　)
A．第一象限角
B．第二象限角
C．第三象限角
D．第四象限角
3．当α为第二象限角时，－的值是(　　)
A．1
B．0
C．2
D．－2
4．点A(x，y)是－300°角终边与单位圆的交点，则的值为(　　)
A．
B．－
C．
D．－
5．角α的终边经过点P(－b，4)且cos
α＝－，则b的值为(　　)
A．3
B．－3
C．±3
D．5
6．已知角α的终边经过点(3a－9，a＋2)，且sin
α>0，cos
α≤0，求a的取值范围为(　　)21世纪教育网版权所有
A．－2B．－2C．－2≤a<3
D．－3≤a<2
二、填空题
7．若角α的终边过点P(5，－12)，则sin
α＋cos
α＝________．
8．若α是第二象限角，则点P(sin
α，cos
α)在第________象限．
9．5sin
90°＋10
cos
180°－3
sin
270°＋4
cos
420°＝
________________________________________________________________________．
10．若角α的终边与直线y＝3x重合且sin
α<0，又P(m，n)是α终边上一点，且|OP|＝，则m－n＝________．21教育网
三、解答题
11．已知α是第三象限角，试判定sin(cos
α)·cos(sin
α)的符号．
12．已知角α终边上一点P(－，y)，且sin
α＝y，求cos
α和tan
α的值．
能力提升
13．若θ为第一象限角，则能确定为正值的是(　　)
A．sin
B．cos
C．sin
cos
D．cos
2θ
14．已知角α的终边上一点P(－15a，8a)
(a∈R且a≠0)，求α的正弦和余弦．
反思感悟
1．三角函数值是比值，是一个实数，这个实数的大小和点P(x，y)在终边上的位置无关，只由角α的终边位置确定．即三角函数值的大小只与角有关．21cnjy.com
2．符号sin
α、cos
α是一个整体，离开“α”，“sin”、“cos”不表示任何意义，更不能把“sin
α”当成“sin”与“α”的乘积．21·cn·jy·com
3．正、余弦函数的周期性反映了终边相同的角的三角函数值相等．
作用是把求任意角的三角函数值转化为求0～2π(或0°～360°)角的三角函数值．
答案
知识梳理
1．原点　单位长　2．正弦函数　余弦函数　u＝cos
α　[－1，1]　3．＋　＋　－　－　＋　－　－　＋　4．sin
α　cos
α　同一三角函数的值　5．非零　f(x＋T)　周期
作业设计
1．D
2．C　[∵sin
α<0，∴α是第三、四象限角．又tan
α>0，
∴α是一、三象限角，故α是第三象限角．]
3．C　[∵α为第二象限角，∴sin
α>0，cos
α<0．
∴－＝－＝2．]
4．A　[x＝cos(－300°)＝cos(－360°＋60°)
＝cos
60°＝，
y＝sin(－300°)＝sin(－360°＋60°)
＝sin
60°＝．
∴＝．]
5．A　[r＝，cos
α＝＝＝－，
解得b＝±3，由题意知b>0，
∴b＝3．]
6．B　[∵sin
α>0，cos
α≤0．
∴α位于第二象限或y轴正半轴上．
∴3a－9≤0，a＋2>0．
∴－27．－
解析　r＝＝13，∴sin
α＝＝，
cos
α＝＝，∴sinα＋cos
α＝－．
8．四
解析　α为第二象限角，sin
α>0，cos
α<0，∴P在第四象限．
9．0
解析　原式＝5×1＋10×(－1)－3×(－1)＋4×cos
60°
＝5－10＋3＋2＝0
10．2
解析　∵y＝3x，sin
α<0，∴点P(m，n)位于y＝3x在第三象限的图像上，且m<0，n<0，n＝3m．www.21-cn-jy.com
∴|OP|＝＝|m|＝－m＝．
∴m＝－1，n＝－3，∴m－n＝2．
11．解　α是第三象限角，则有：
①cos
α<0且－1α<0，
②sin
α<0且－1α<0，进而有：
①cos
α是第四象限角，所以sin(cos
α)<0，
②sin
α是第四象限角，所以cos(sin
α)>0，
所以sin(cos
α)·cos(sin
α)<0．
12．解　sin
α＝＝y．
当y＝0时，sin
α＝0，cos
α＝－1；
当y≠0时，由＝，解得y＝±．
当y＝时，P，r＝．
∴cos
α＝－；
当y＝－时，cos
α＝－．
13．C　[∵θ为第一象限角，
∴2kπ<θ<2kπ＋，k∈Z．
∴kπ<当k＝2n
(n∈Z)时，2nπ<<2nπ＋
(n∈Z)．
∴为第一象限角，
∴sin
>0，cos
>0，sin
cos
>0．
当k＝2n＋1
(n∈Z)时，
2nπ＋π<<2nπ＋π
(n∈Z)．
∴为第三象限角，
∴sin
<0，cos
<0，sin
cos
>0，
而4kπ<2θ<4kπ＋π，k∈Z，
cos
2θ有可能取负值．]
14．解　∵x＝－15a，y＝8a，
∴r＝＝17|a|
(a≠0)．
(1)若a>0，则r＝17a，于是
sin
α＝，cos
α＝－．
(2)若a<0，则r＝－17a，于是
sin
α＝－，cos
α＝．
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