1.4.3 单位圆与诱导公式 同步练习1（含答案）

1.4.3
单位圆与诱导公式
同步练习
基础巩固
一、选择题
1．sin的值是(　　)
A．－　
B．　
C．－　
D．
[答案]　B
[解析]　sin＝sin(3π－)
＝sin(π－)＝sin＝.
2．已知f(cosx)＝cos2x，则f(sin30°)的值等于(　　)
A．　
B．－　
C．0　
D．1
[答案]　B
[解析]　∵f(cosx)＝cos　2x，∴f(sin　30°)＝f(cos　60°)＝cos　120°＝－.应选B.
3．若sin(π＋α)＝－，则sin(4π－α)的值是(　　)
A．　
B．－　
C．－　
D．
[答案]　B
[解析]　∵sin(π＋α)＝－，∴sinα＝.
∴sin(4π－α)＝sin(－α)＝－sinα＝－.
4．cos2　010°＝(　　)
A．　
B．－　
C．　
D．－
[答案]　D
[解析]　cos2　010°＝cos(5×360°＋210°)＝cos210°＝cos(180°＋30°)＝－cos30°＝－.
5．已知sin(α－)＝，则cos(＋α)的值等于(　　)
A．　
B．－　
C．－　
D．
[答案]　C
[解析]　cos(＋α)＝sin[－(＋α)]
＝sin(－α)＝－sin(α－)＝－.
6．已知sin10°＝k，则cos620°的值等于(　　)
A．k　
B．－k
C．±k　
D．不能确定
[答案]　B
[解析]　cos620°＝cos(360°＋260°)＝cos260°
＝cos(180°＋80°)＝－cos80°＝－sin10°＝－k.
二、填空题
7．sin(－1200°)·cos1290°＋cos(－1020°)·sin(－1050°)＝________.
[答案]　1
[解析]　原式＝－sin1200°cos1290°－cos1020°·sin1050°＝－sin(－60°＋7×180°)·cos(30°＋7×180°)－cos(－60°＋3×360°)·sin(－30°＋3×360°)＝sin(－60°)(－cos30°)－cos(－60°)sin(－30°)＝－×(－)－×(－)＝1.
8．已知＝，则cos(3π－θ)＝________.
[答案]　
[解析]　∵＝＝，
∴cosθ＝－.
∴cos(3π－θ)＝cos(π－θ)＝－cosθ＝.
三、解答题
9．已知cos(75°＋α)＝，求cos(105°－α)＋sin(15°－α)的值．
[解析]　∵(105°－α)＋(75°＋α)＝180°，
(15°－α)＋(α＋75°)＝90°，
∴cos(105°－α)＝cos[180°－(75°＋α)]
＝－cos(75°＋α)＝－，
sin(15°－α)＝sin[90°－(α＋75°)]
＝cos(75°＋α)＝.
∴cos(105°－α)＋sin(15°－α)＝－＋＝0.
能力提升
一、选择题
1．已知函数f(x)＝cos，则下列等式成立的是(　　)
A．f(2π－x)＝f(x)　
B．f(2π＋x)＝f(x)
C．f(－x)＝－f(x)　
D．f(－x)＝f(x)
[答案]　D
[解析]　∵f(x)＝cos，∴f(－x)＝cos(－)＝cos，
∴C不对；又f(2π－x)＝cos＝cos(π－)
＝－cos＝－f(x)．∴A不对．
∵f(2π＋x)＝cos＝cos(π＋)＝－cos≠f(x)，B不对，故选D.
2．若sin(π＋α)＋cos(＋α)＝－m，则cos(－α)＋2sin(6π－α)的值为(　　)
A．－m　
B．－m　
C．m　
D．m
[答案]　B
[解析]　∵sin(π＋α)＋cos(＋α)＝－m，
∴－sinα－sinα＝－2sinα＝－m，∴sinα＝.
∴cos(－α)＋2sin(6π－α)＝－sinα－2sinα
＝－3sinα＝－m.
二、填空题
3．若|cosα|＝cos(π＋α)，则角α的集合为________．
[答案]　
[解析]　因为|cosα|＝cos(π＋α)＝－cosα，所以|cosα|＝－cosα，所以cosα≤0，所以角α的集合为.
4．若P(－4，3)是角α终边上一点，则的值为________．
[答案]　－
[解析]　∵P(－4，3)在角α的终边上，
∴|OP|＝5，∴sinα＝，cosα＝－.
∴原式＝＝＝－.
三、解答题
5．化简：.
[解析]　原式＝
＝
＝＝1.
6．求证：对任意的整数k，
＝－1.
[证明]　左边＝
(1)当k为偶数时，设k＝2n(n∈Z)，
∴左边＝
＝
＝＝－1.
(2)当k为奇数时，设k＝2n＋1(n∈Z)，
同理可得左边＝－1，综上原等式成立．
7．已知函数f(x)＝asin(πx＋α)＋bcos(πx＋β)，其中a，b，α，β都是非零实数，又知f(2013)＝－1，求f(2014)的值．
[解析]　f(2013)＝asin(2013π＋α)＋bcos(2013π＋β)＝asin(2012π＋π＋α)＋bcos(2012π＋π＋β)
＝asin(π＋α)＋bcos(π＋β)＝－asinα－bcosβ
＝－(asinα＋bcosβ)．
∵f(2013)＝－1，∴asinα＋bcosβ＝1，
∴f(2014)＝asin(2014π＋α)＋bcos(2014π＋β)
＝asinα＋bcosβ＝1.