1.4.3 单位圆与诱导公式 同步练习4（含答案）

1.4.3
单位圆与诱导公式
同步练习
基础巩固训练（30分钟
50分）
一、选择题(每小题3分，共18分)
1.sin·cos的值为　(　　)
A.　　　　
B.-　　　　
C.　　　　
D.-
【解析】选C.sin=sin=-sin=-，
cos=cos=-cos=-，所以sin·cos=×=.
2.
的值为　(　　)
A.-
B.
C.
D.-
【解析】选A.sin690°=sin(2×360°-30°)=sin(-30°)
=-sin30°=-，cos(-690°)=cos(30°-2×360°)
=cos30°=，
所以==-=-.
3.若sin(π-α)=，则sin(α-2π)=　(　　)
A.-
B.
C.-
D.
【解析】选B.因为sin(π-α)=sinα=，
所以sin(α-2π)=sinα=.
【变式训练】若cos(2π-α)=，则cos(3π-α)=　　　　　　.
【解析】因为cos(2π-α)=cos(-α)=cosα=，
所以cos(3π-α)=cos=cos(π-α)=-cosα=-.
答案:-
【一题多解】cos(3π-α)=cos
=-cos(2π-α)=-.
答案:-
4.若sin<0，cos<0，则角θ的终边落在　
(　　)
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
【解析】选D.sin=-cosθ<0，所以cosθ>0，cos=sinθ<0，故角θ的终边落在第四象限.
5.若600°角的终边上有一点(-4，α)，则α的值是　
(　　)
A.4
B.-4
C.±4
D.
【解题指南】先求出sin600°的值，然后利用三角函数的定义求α的值.
【解析】选B.sin600°=sin(360°+240°)=sin240°=sin(180°+60°)=-sin60°=-，
由三角函数的定义知=-，解得α=±4，
又600°的角的终边在第三象限，
所以α<0，即α=-4.
【误区警示】本题易忽略600°角的终边所在的象限而错选C.
6.已知sin=，那么cosα=　(　　)
A.-
B.-
C.
D.
【解析】选C.sin=sin=sin=cosα=.
二、填空题(每小题4分，共12分)
7.已知sin=，则cos=　　　　　　.
【解析】因为+=，
所以cos=cos
=sin=.
答案:
【举一反三】已知sin=，则cos=　　　　　　.
【解析】因为-=，
所以cos=cos
=-sin=-.
答案:-
8.若cos+sin(π+θ)=-m，则cos+2sin(6π-θ)的值为　　　　　　.
【解题指南】先化简cos+sin(π+θ)=-m，得出sinθ的值，再化简cos+2sin(6π-θ)得到其与sinθ的关系，从而求解.
【解析】cos+sin(π+θ)
=-sinθ-sinθ=-m，
所以sinθ=.
cos+2sin(6π-θ)
=-sinθ-2sinθ=-3sinθ=-.
答案:-
9.若|cos(2π-α)|=cos(π+α)，则角α的取值范围是　　　　　　.
【解析】因为|cos(2π-α)|=cos(π+α)，所以|cosα|=-cosα，所以cosα≤0，所以+2kπ≤α≤+2kπ，k∈Z.
答案:
三、解答题(每小题10分，共20分)
10.已知sin(π-α)=2sin，求
.
【解析】因为sin(π-α)=sinα，
2sin=2sin=2cosα，
所以sinα=2cosα.
原式==-=-=-.
11.证明:(1)=-.
(2)=1.
【证明】(1)左边=
=
==-=右边.
所以原等式成立.
(2)sin100°=sin(90°+10°)=cos
10°，
cos280°=cos(270°+10°)=sin
10°，
cos370°=cos(360°+10°)=cos
10°，
sin190°=sin(180°+10°)=-sin
10°.
所以左边==1=右边.
所以原等式成立.
能力提升训练（30分钟
50分）
一、选择题(每小题4分，共16分)
1.
sin的值是　(　　)
A.　　　　B.-　　　　C.　　　　D.-
【解析】选B.sin=sin=-sin=-.
2.已知sin(π+α)=-，则cos等于　(　　)
A.-
B.
C.-
D.
【解题指南】利用诱导公式分别化简sin(π+α)与cos，然后再求值.
【解析】选A.
sin(π+α)=-sinα=-，
所以sinα=，cos=cos
=-cos=-sinα=-.
【举一反三】本题条件不变，求cos的值.
【解析】cos=cos=-cos=sinα=.
3.已知A，B，C为△ABC的三个内角，则下列关系式正确的是　(　　)
A.sin(B+C)=-sinA
B.sin(B+C)=sinA
C.cos(B+C)=cosA
D.以上都不正确
【解析】选B.因为A+B+C=π，所以B+C=π-A，所以sin(B+C)=sin(π-A)=sinA.
4.设f(x)=asin(πx+α)+bcos(πx+β)，其中a，b，α，β∈R，且ab≠0，α≠kπ(k∈Z).若f(2008)=5，则f(2015)=　(　　)
A.4
B.3
C.-5
D.5
【解析】选C.因为f(2008)=asin(2008π+α)+bcos(2008π+β)=asinα+
bcosβ=5，所以f(2015)=-asinα-bcosβ=-5.
二、填空题(每小题5分，共10分)
5.下列三角函数:①sin；　②cos；
③sin；　④cos，其中与sin值相同的是　　　　(填序号).
【解析】sin=
cos=cos=sin；
sin=sin；
cos=cos，所以应填②③.
答案:②③
【误区警示】本题在求①的值时易忽视对n分奇数、偶数进行讨论而致错.
6.化简:=　　　　.
【解析】
===-cosθ.
答案:-cosθ
三、解答题(每小题12分，共24分)
7.已知角α终边上一点P(-4，3)，求的值.
【解析】因为点P(-4，3)是角α终边上一点，
所以sinα=，cosα=-，
原式====-.
【拓展提升】诱导公式的另类记法
运用诱导公式解题本质上是多次运用“化归”思想方法，化负角为正角，化大角为0°～360°内的角，再化为锐角，但是，诱导公式较多，符号难辨，容易混淆，我们可以分两种情况记忆:
(1)“函数名不变，符号看象限”
对于-α，π-α，π+α，2kπ-α，2kπ+α(k∈Z)的三角函数值，等于α的同名函数值，前面放上把α看成锐角时原函数值的符号.
(2)“函数名改变，符号看象限”
对于±α，±α的三角函数值，同上只需将“同”改为“异”.
根据以上的记忆技巧，我们很容易求任意角的三角函数值.
8.若sin(180°+α)=-，0°<α<90°.
求的值.
【解析】由sin(180°+α)=-，0°<α<90°，
得sinα=，cosα=，
所以原式====2.
【变式训练】已知cos(75°+α)=，α是第三象限角，求sin(195°-α)+cos(α-15°)的值.
【解析】因为cos(75°+α)=>0，
α是第三象限角，所以75°+α是第四象限角，
且sin(75°+α)=-=-.
所以sin(195°-α)+cos(α-15°)
=sin[180°+(15°-α)]+cos(15°-α)
=-sin(15°-α)+cos(15°-α)
=-sin[90°-(75°+α)]+cos[90°-(75°+α)]
=-cos(75°+α)+sin(75°+α)
=--=-.