1.4.3 单位圆与诱导公式 学案1（含答案）

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1.4.3
单位圆与诱导公式
学案
【课时目标】　1．借助单位圆及三角函数定义理解四组公式的推导过程．2．运用所学诱导公式进行求值、化简与证明．21世纪教育网版权所有
知识梳理
诱导公式
(1)角α与－α，2π－α的正弦函数、余弦函数关系：
sin(－α)＝________，sin(2π－α)＝________．
cos(－α)＝________，cos(2π－α)＝________．
(2)角α与α±π的正弦函数、余弦函数关系：
sin(π＋α)＝__________，cos(π＋α)＝__________．
sin(α－π)＝－sin
α，cos(α－π)＝－cos
α．
(3)角α与π－α的正弦函数、余弦函数关系：
sin(π－α)＝________，cos(π－α)＝________．
(4)角α与＋α的正弦函数、余弦函数关系：
sin＝________，cos＝________．
(5)角α与－α的正弦函数、余弦函数关系：
sin＝________，cos＝________．
(6)角α与2kπ＋α的正弦函数、余弦函数关系：
sin(2kπ＋α)＝________，cos(2kπ＋α)＝________．
作业设计
一、选择题
1．已知f(sin
x)＝cos
3x，则f(cos
10°)的值为(　　)
A．－
B．
C．－
D．
2．若sin(3π＋α)＝－，则cos
等于(　　)
A．－
B．
C．
D．－
3．已知sin＝，则cos的值等于(　　)
A．－
B．
C．
D．
4．若sin(π＋α)＋cos＝－m，则cos＋2sin(2π－α)的值为(　　)
A．－
B．
C．－
D．
5．α和β的终边关于y轴对称，下列各式中正确的是(　　)
A．sin
α＝sin
β
B．cos
α＝cos
β
C．cos(π－α)＝cos
β
D．sin(π－α)＝－sin
β
6．已知cos(75°＋α)＝，则sin(α－15°)＋cos(105°－α)的值是(　　)
A．
B．
C．－
D．－
二、填空题
7．sin(－300°)＋sin
240°的值等于________．
8．下列三角函数：
①sin
②cos
③sin
④cos
⑤sin，(以上各式n∈Z)其中函数值与sin的值相同的是________．(填所有相同代数式的序号)21教育网
9．若sin＝，则cos＝________．
10．设f(x)＝asin(πx＋α)＋bcos(πx＋β)＋2，其中a、b、α、β为非零常数．若f(2
011)＝1，则f(2
012)＝________．21cnjy.com
三、解答题
11．(1)求值：sin
1
200°·cos
1
290°＋cos(－1
020°)·sin(－1
050°)；
(2)已知cos＝，求sin的值．
12．已知A、B、C为△ABC的三个内角，求证：
(1)cos(2A＋B＋C)＝cos(B＋C)；
(2)sin＝cos．
能力提升
13．化简：
(其中k∈Z)．
14．设f(n)＝cos(π＋)(n∈N
)，求f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2
011)的值．
反思感悟
1．正弦函数、余弦函数的诱导公式概括如下：
2kπ＋α(k∈Z)，－α，2π－α，π±α的正(余)弦函数值，等于α的同名函数值前面加上把α看成锐角时这些角所在象限的正(余)弦函数值的符号．21·cn·jy·com
±α的正(余)弦函数值，等于α的相应余(正)弦函数值前面加上把α看成锐角时这些角所在象限的正(余)弦函数值的符号．www.21-cn-jy.com
±α的正(余)弦函数值，等于α的相应余(正)弦函数值前面加上把α看成锐角时这些角所在象限的正(余)弦函数值的符号．2·1·c·n·j·y
2．可以利用诱导公式，将任意角的正弦函数、余弦函数问题转化为锐角的正弦函数、余弦函数的问题．
1．4．3　单位圆与诱导公式
答案
知识梳理
(1)－sin
α　－sin
α　cos
α　cos
α　(2)－sin
α　－cos
α　(3)sin
α　－cos
α　(4)cos
α　－sin
α　(5)cos
α　sin
α　(6)sin
α　cos
α
作业设计
1．A　[f(cos
10°)＝f(sin
80°)＝cos
240°
＝cos(180°＋60°)＝－cos
60°＝－．]
2．A　[∵sin(3π＋α)＝－sin
α＝－，∴sin
α＝．
∴cos＝cos＝－cos
＝－sin
α＝－．]
3．A　[cos＝sin
＝sin
＝－sin＝－．]
4．C　[∵sin(π＋α)＋cos＝－sin
α－sin
α
＝－m，
∴sin
α＝．cos＋2sin(2π－α)
＝－sin
α－2sin
α＝－3sin
α＝－m．]
5．A　[∵α和β的终边关于y轴对称，
∴β与π－α终边相同，
∴β＝2kπ＋π－α，k∈Z
∴sin
β＝sin(2kπ＋π－α)＝sin(π－α)＝sin
α．]
6．D　[sin(α－15°)＋cos(105°－α)
＝sin[(75°＋α)－90°]＋cos[180°－(75°＋α)]
＝－sin[90°－(75°＋α)]－cos(75°＋α)
＝－cos(75°＋α)－cos(75°＋α)
＝－2cos(75°＋α)＝－．]
7．0
8．②③⑤
9．－
解析　cos＝cos
＝－sin＝－．
10．3
解析　f(2
011)＝asin(2
011π＋α)＋bcos(2
011π＋β)＋2
＝asin(π＋α)＋bcos(π＋β)＋2
＝2－(asin
α＋bcos
β)＝1．
∴asin
α＋bcos
β＝1．
f(2
012)＝asin(2
012π＋α)＋bcos(2
012π＋β)＋2
＝asin
α＋bcos
β＋2＝3．
11．解　(1)原式＝sin(3×360°＋120°)·cos(3×360°＋210°)＋cos(－3×360°＋60°)·sin(－3×360°＋30°)【来源：21·世纪·教育·网】
＝sin
120°cos
210°＋cos
60°sin
30°
＝－sin
60°cos
30°＋cos
60°sin
30°
＝－×＋×
＝－．
(2)∵π－α＝＋
∴sin＝sin
＝cos＝．
12．证明　(1)∵左式＝cos(2A＋B＋C)＝cos[A＋(A＋B＋C)]
＝cos(π＋A)＝－cos
A，
右式＝cos(B＋C)＝cos(π－A)＝－cos
A，
左式＝右式，∴cos(2A＋B＋C)＝cos(B＋C)．
(2)右式＝cos＝cos
＝cos＝cos
＝sin
＝左式．
∴sin＝cos．
13．解　当k为偶数时，不妨设k＝2n，n∈Z，则
原式＝
＝
＝
＝－1．
当k为奇数时，设k＝2n＋1，n∈Z，则
原式＝
＝
＝＝－1．
∴上式的值为－1．
14．解　f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)
＝cos(＋)＋cos(π＋)＋cos(＋)＋cos(2π＋)
＝－sin－cos＋sin＋cos＝0．
∴f(1)＋f(2)＋…＋f(2
008)
＝502[f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)]＝0．
∴f(1)＋f(2)＋…＋f(2
011)＝f(2
009)＋f(2
010)＋f(2011)
＝cos＋cos＋cos
＝cos＋cos＋cos(1
005π＋π)
＝－sin
－cos
－cos
π
＝－－＋＝－．
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