1.5.1-1.5.2 从单位圆看正弦函数的性质和图像 同步练习2（含答案）

1.5.1-1.5.2
从单位圆看正弦函数的性质和图像
同步练习
基础巩固训练（30分钟
50分）
一、选择题(每小题3分，共18分)
1.若f(x)是以为周期的函数，f=-1，则f=　
(　　)
A.-1
B.0
C.1
D.2
【解析】选A.f=f=f=-1.
2.函数y=-cosx，x∈(0，2π)其单调性是　(　　)
A.在(0，π)上是增加的，在[π，2π)上是减少的
B.在，上是增加的，在上是减少的
C.在[π，2π)上是增加的，在(0，π)上是减少的
D.在上是增加的，在，上是减少的
【解析】选A.
y=-cosx在(0，π)上是增加的，在[π，2π)上是减少的.
3.函数y=sinπ的单调递增区间是　(　　)
A.[4kπ，(4k+1)π](k∈Z)
B.[4k，4k+2](k∈Z)
C.[2kπ，(2k+2)π](k∈Z)
D.[2k，2k+2](k∈Z)
【解析】选B.
y=sinπ=sin，-+2kπ≤-≤+2kπ(k∈Z)，
2kπ≤≤π+2kπ(k∈Z)，所以4k≤x≤2+4k(k∈Z).
4.函数y=sinx的定义域[a，b]，值域，则b-a的最大值和最小值之和等于　(　　)
A.
B.
C.2π
D.4π
【解析】选C.当y=sinx在[a，b]上单调时，b-a取最小值，当y=sinx在[a，b]上不单调时，b-a取最大值，所以它们的和是2π.
【变式训练】函数y=cosx-1的最小值是　(　　)
A.0
B.1
C.-2
D.-1
【解析】选C.cosx∈[-1，1]，所以y=cosx-1的最小值为-2.
5.已知f(x)满足f(x+1)=-f(x)，则f(x)的周期为　(　　)
A.1
B.2
C.3
D.4
【解题指南】依据周期函数的定义f(x+T)=f(x)求解.
【解析】选B.因为f(x+1)=-f(x)，所以f(x+2)=-f(x+1)=f(x)，所以f(x)的周期为2.
6.在下列给出的函数中，以π为周期且在内是增加的是　(　)
A.y=sin
B.y=sin2x
C.y=sin
D.y=sin2
【解析】选D.由周期知A不正确，再因函数在内递增则f>f
经检验知D正确.
二、填空题(每小题4分，共12分)
7.函数y=的最大值为　　　　　.
【解析】y===-1，
当cosx=1时，y最大=3.
答案:3
【变式训练】y=的最小值是　　　　.
【解析】y==2-，sinx=-1时，y=取得最小值-2.
答案:-2
8.函数y=的值域为　　　.
【解析】因为-1≤sinx≤1，
所以1≤2+sinx≤3，
所以≤≤1，
故1≤≤3，
即函数的值域为[1，3].
答案:[1，3]
9.不等式1≤2sinx，x∈的解集是　　　　　　　　.
【解析】由1≤2sinx得≤sinx，由正弦函数的图像或正弦线可得x的取值范围是≤x≤.
答案:
三、解答题(每小题10分，共20分)
10.求函数y=-2sin2x+5sinx-2的值域.
【解题指南】令t=sinx，将函数看成关于t的二次函数，转化为求二次函数在区间[-1，1]上的最大值和最小值问题.
【解析】令t=sinx，则-1≤t≤1，故原函数可化为y=-2t2+5t-2，
所以y=-2+，
所以对称轴为t=，
所以函数在区间[-1，1]上是增加的，
所以ymax=-2+=1，
ymin=-2+=-9.
所以函数的值域为[-9，1].
【误区警示】本题易忽略换元后新元的范围而出错.
11.已知函数f(x)=lo.
(1)求定义域和值域.
(2)判断奇偶性.
(3)判断周期性.
(4)写出单调区间.
【解析】(1)由sinx≠0得定义域x≠kπ，k∈，又0<≤1，所以值域y≥.
(2)由(1)知，定义域关于原点对称，
又f(-x)=lo=lo=f(x)，
所以f(x)是偶函数.
(3)当T=π时，f(x+π)=lo=f(x)，所以f(x)是周期函数.
(4)y=在区间(k∈Z)上是增加的，在区间(k∈Z)上是减少的，所以f(x)=lo在区间(k∈Z)上是增加的，在区间(k∈Z)上是减少的.
能力提升训练（30分钟
50分）
一、选择题(每小题4分，共16分)
1.下列函数在上是增加的是　(　　)
A.y=sinx　　　　　　　
B.y=cosx
C.y=sin2x
D.y=cos2x
【解析】选D.
y=cos2x在上是减少的，上是增加的.
2.函数y=-cosx在区间上是　(　　)
A.增加的
B.减少的
C.先减少后增加
D.先增加后减少
【解析】选C.
y=-cosx在上减少的，在上增加的，故选C.
3.函数f(x)=sin2x+sinx-1的值域为　(　　)
A.[-1，1]
B.
C.
D.
【解析】选C.f(x)=-，
因为sinx∈[-1，1]，
所以-≤f(x)≤1，
所以f(x)的值域为.
4.已知函数f(x)=πsinx，如果存在实数x1，x2使x∈R时，f(x1)≤f(x)≤f(x2)恒成立，则|x1-x2|的最小值为　(　　)
A.4π　　　
B.π　　　
C.8π　　
　D.2π
【解析】选A.因为正弦型函数f(x)满足对任意x∈R，f(x1)≤f(x)≤f(x2)，故f(x1)为f(x)的最小值，f(x2)为f(x)的最大值，从而|x1-x2|的最小值为半周期，因为T==8π，所以选A.
二、填空题(每小题5分，共10分)
5.函数f(x)=在[-π，π]上的减区间为　　　　　.
【解题指南】利用复合函数的单调性求解.
【解析】令y=|cosx|，在[-π，π]上，y=|cosx|的单调递增区间是及.而f(x)依取值的增加而减少，故及为f(x)的减区间.
答案:，
6.已知函数f(x)是(-∞，+∞)上的偶函数，若对于x≥0都有f(x+2)=f(x)，且当x∈[0，2)时，f(x)=log2(x+1)，则f(-2011)+f(2012)=　　　.
【解析】因为函数f(x)是(-∞，+∞)上的偶函数，
所以f(-x)=f(x)，
又因为对于x≥0都有f(x+2)=f(x)，
所以T=2.
因为当x∈[0，2)时，f(x)=log2(x+1)，
所以f(-2011)+f(2012)=f(2011)+f(2012)
=f(2×1005+1)+f(2×1006)
=f(1)+f(0)=log22+log21=1.
答案:1
三、解答题(每小题12分，共24分)
7.奇函数f(x)满足对任意x∈R都有f(2+x)+f(2-x)=0；且f(1)=-9，求f(2012)+f(2013)+f(2014)的值.
【解析】因为f(x+2)=-f(2-x)=f(x-2)，
所以f(x+4)=f(x+2+2)=f(x+2-2)=f(x)，
所以f(x)的周期为4.
所以f(2012)+f(2013)+f(2014)
=f(0)+f(1)+f(2).
因为f(x)为奇函数且x∈R，所以f(0)=0，
在f(2+x)+f(2-x)=0中，令x=0得f(2)=0.
所以f(0)+f(1)+f(2)=f(1)=-9.
所以f(2012)+f(2013)+f(2014)=-9.
8.已知函数f(x)=sin(2x+φ)，其中φ为实数且|φ|<π，若f(x)≤对x∈R恒成立，且f>f(π)，求f(x)的单调递增区间.
【解题指南】由f(x)≤对x∈R恒成立知，f(x)在x=处取得最大值或最小值，从而得到φ的两组取值，再利用f>f(π)排除一组，从而得到φ的取值，利用整体代换思想求出f(x)的单调递增区间.
【解析】由f(x)≤对x∈R恒成立知，2×+φ=2kπ±(k∈Z)，
得到φ=2kπ+或φ=2kπ-，
代入f(x)并由f>f(π)检验得，φ的取值为-，
所以由2kπ-≤2x-≤2kπ+(k∈Z)，得f(x)的单调递增区间是(k∈Z).