1.5.3 正弦函数的性质 同步练习1（含答案）

1.5.3
正弦函数的性质
同步练习
基础巩固训练（30分钟
50分）
一、选择题(每小题3分，共18分)
1.函数f(x)=cos的奇偶性为　(　　)
A.偶函数　　　　　　
B.奇函数
C.非奇非偶函数
D.既是奇函数又是偶函数
【解析】选B.因为cos=cos=-sinx，所以函数f(x)为奇函数.
2.函数y=2-sinx，x∈的简图是　(　　)
【解题指南】按照五点法作图的依据，依次观察各图像，符合要求的即是.
【解析】选A.按五个关键点列表:
x
0
π
2π
sinx
0
1
0
-1
0
2-sinx
2
1
2
3
2
观察各图像发现A项符合.
3.设函数f(x)=sin(ω>0)的最小正周期为π，则f(x)　(　)
A.在上单调递减
B.在上单调递减
C.在上单调递增
D.在上单调递增
【解析】选A.因为函数f(x)=sin(ω>0)的最小正周期为π，所以π=，ω=2.
所以f(x)=sin，
由2kπ+≤2x+≤2kπ+，k∈Z，
可得kπ≤x≤kπ+，k∈Z，
当k=0时，函数f(x)=sin在上单调递减.
故选A.
4.函数y=sinx-1的最大值与最小值的和是　(　　)
A.　　　
B.-　　　
C.-　　　
D.-2
【解析】选D.因为sinx∈[-1，1]，所以sinx-1∈，所以-+=-2.
【变式训练】函数y=sinx-1，x∈[0，2π]的值域是　　　　.
【解析】因为x∈[0，2π]，所以x∈，
所以sinx∈[0，1]，所以sinx-1∈[-1，0].
答案:[-1，0]
5.函数y=sin(πx-1)的最小正周期是　(　　)
A.2
B.2π
C.
D.-1
【解析】选A.T==2.
6.已知函数y=sinx的定义域为[a，b]，值域为[-1，1]，则b-a的值不可能为　(　　)
A.
B.π
C.
D.2π
【解题指南】函数y=sinx的最大值与最小值之间至少有半个周期，然后列不等式求解.
【解析】选A.由于函数y=sinx的最大值与最小值之间至少包含半个周期，故b-a≥=π，则选项A不正确.
二、填空题(每小题4分，共12分)
7.在“五点作图法”中，函数y=sinx-1的第四点是　　　　.
【解析】当x=时，y=sin-1=-1-1=-2，
所以第四点为.
答案:
8.方程=-sinx在上的实根个数是　　　　.
【解题指南】作出函数的图像利用数形结合法求解.
【解析】y=与y=-sinx的图像如图所示.
由图像可以看出在上共有3个不同的交点.
答案:3
9.函数y=sinx在区间上是减少的，则a的取值范围是　　　　.
【解析】因为函数y=sinx在上是减少的，在上是增加的，所以只有-答案:
三、解答题(每小题10分，共20分)
10.作出函数y=-sinx，x∈[-π，π]的简图，并回答下列问题:
(1)观察函数图像，写出满足下列条件的x的区间:
①sinx>0；②sinx<0.
(2)直线y=与y=-sinx的图像有几个交点？
【解析】作图，列表如下
x
-π
-
0
π
y
0
1
0
-1
0
图像如图所示:
(1)根据图像可知，图像在x轴上方的部分sinx>0，在x轴下方的部分sinx<0，所以当x∈(-π，0)时，sinx>0；当x∈(0，π)时，sinx<0.
(2)画出直线y=与y=-sinx的图像，得知有两个交点.
11.定义在R上的函数f(x)既是偶函数又是周期函数，若f(x)的最小正周期是π，且当x∈时，f(x)=sinx.
(1)当x∈[-π，0]时，求f(x)的解析式.
(2)画出函数f(x)在[-π，π]上的函数简图.
(3)当f(x)≥时，求x的取值范围.
【解析】(1)若x∈，则-x∈.
因为f(x)是偶函数，
所以f(x)=f(-x)=sin(-x)=-sinx.
若x∈，则π+x∈，
因为f(x)是最小正周期为π的周期函数，
所以f(x)=f(π+x)=sin(π+x)=-sinx，
所以x∈[-π，0]时，f(x)=-sinx.
(2)函数f(x)在[-π，π]上的函数简图如图所示:
(3)x∈[0，π]，sinx≥，可得≤x≤，函数周期为π，因此x的取值范围是kπ+≤x≤kπ+，k∈Z.
能力提升训练（30分钟
50分）
一、选择题(每小题4分，共16分)
1.函数y=sin的最小正周期是　(　　)
A.π
B.
C.4π
D.2π
【解析】选C.T==4π.
2.函数y=sin的单调递减区间是　(　　)
A.(k∈Z)
B.(k∈Z)
C.(k∈Z)
D.(k∈Z)
【解题指南】先化简函数，再根据正弦函数的单调性求复合函数单调区间.
【解析】选B.因为y=sin=-sin，
所以所求函数的减区间是函数y=sin的增区间，所以-+2kπ≤x+≤+2kπ，k∈Z，所以-+4kπ≤x≤+4kπ，k∈Z.
【举一反三】此题条件不变，求函数的单调增区间.
【解析】所求函数的增区间是函数y=sin的减区间，所以-+2kπ≤x+≤-+2kπ，k∈Z，所以-+4kπ≤x≤-+4kπ，k∈Z.
【误区警示】在解不等式时，容易忘记“2kπ”乘以2导致结果错误.
3.函数y=2sin在区间上的值域是　(　　)
A.[-2，2]
B.
C.[-1，2]
D.[-2，1]
【解析】选C.因为x∈，
所以x-∈，
所以sin∈，
所以2sin∈[-1，2].
4.函数y=x+sin|x|，x∈[-π，π]的大致图象是　(　　)
【解析】选C.函数y=x+sin|x|，x∈[-π，π]既不是奇函数，也不是偶函数，因此其图象既不关于原点对称，也不关于y轴对称.因此选C.
二、填空题(每小题5分，共10分)
5.如果函数f(x)=sin(πx+θ)(0<θ<2π)的最小正周期是T，且f(2)=1，则T=　　　　，θ=　　　　.
【解析】由T==2，f(2)=sin(2π+θ)=1，所以θ=.
答案:2　
6.f(x)=2sinωx(0<ω<1)在区间上的最大值是，则ω=　　　　.
【解析】函数f(x)的周期T=，
因此f(x)=2sinωx在上是增加的，
因为0<ω<1，所以 ，
所以f(x)在上是增加的，所以f=，
即2sin=，所以ω=，所以ω=.
答案:
三、解答题(每小题12分，共24分)
7.已知ω是正数，函数f(x)=2sinωx在区间上是增加的，求ω的取值范围.
【解析】由-+2kπ≤ωx≤+2kπ(k∈Z)得-+≤x≤+(k∈Z).
所以f(x)在区间(k∈Z)上是增加的.
据题意， (
k∈Z).
从而当k=0时有ω>0，
解得0<ω≤.
故ω的取值范围是.
8.求y=2sin的单调递增区间和单调递减区间.
【解题指南】利用函数y=sinx的奇偶性先将函数y=2sin中x的系数转化为正数，再结合函数y=sinx的单调区间利用整体代换的方法求解单调区间.
【解析】y=2sin=-2sin
增区间:原函数的增区间就是函数y=sin的减区间，
所以由+2kπ≤3x-≤+2kπ，k∈Z，
得+kπ≤x≤+kπ，k∈Z，
所以原函数的单调递增区间为
，k∈Z.
减区间:原函数的递增区间就是函数y=sin的减区间，
所以由-+2kπ≤3x-≤+2kπ，k∈Z，得-+kπ≤x≤+kπ，k∈Z，所以原函数的单调递增区间为，k∈Z.