1.6 余弦函数的图像与性质 同步练习2（含答案）

1.6
余弦函数的图像与性质
同步练习
基础巩固训练（30分钟
50分）
一、选择题(每小题3分，共18分)
1.函数f(x)=cos的最小正周期是　(　　)
A.
B.π
C.2π
D.4π
【解题指南】直接利用正弦函数的周期公式T=，求出它的最小正周期即可.
【解析】选B.由T===π，故B正确.
2.函数y=sin是　(　　)
A.奇函数
B.偶函数
C.非奇非偶函数
D.既是奇函数又是偶函数
【解析】选B.因为y=sin
=sin=sin
=-sin=-cosx，
所以函数是偶函数.
3.
y=cosx，x∈的值域为　(　　)
A.[0，1]
B.[-1，1]
C.
D.
【解析】选A.由图像可知，当x=0时，y=cosx取最大值1，当x=-时，y=cosx取最小值0.
【变式训练】函数y=2cosx+1取最小值时，自变量x的取值集合是　　　　.
【解析】当cosx=-1时，2cosx+1取最小值-1，此时自变量x的取值集合为{x|x=2kπ+π，k∈Z}.
答案:{x|x=2kπ+π，k∈Z}
4.函数y=sin的　(　　)
A.最小正周期是2π
B.图像关于y轴对称
C.图像关于原点对称
D.图像关于x轴对称
【解析】选B.因为y=sin=sin=cos2x，所以函数是偶函数，图像关于y轴对称.
5.
sinx>cosx在区间[0，2π]上x的取值范围为　(　　)
A.
B.
C.
D.
【解题指南】在同一坐标系中画出正、余弦函数的图像，再求解.
【解析】选D.在同一坐标系中作出y=sinx与y=cosx的图像如图所示.由图知满足条件的区间为.
6.函数y=2cosx(0≤x≤2π)的图像和直线y=2围成一个封闭的平面图形，则这个封闭图形的面积是　(　　)
A.4
B.8
C.2π
D.4π
【解析】选D.如图:
由余弦函数的对称性可得，y=2cosx的图像在[0，2π]上与直线y=2围成封闭图形的面积和直线x=2π，y=2，x轴、y轴围成的矩形的面积相等，为S=4π，故选D.
二、填空题(每小题4分，共12分)
7.设函数f(x)=cosωx(ω>0)，将y=f(x)的图像向右平移个单位长度后，所得的图像与原图像重合，则ω的最小值等于　　　　.
【解析】由题意可知，nT=(n∈N
)，
所以n·=(n∈N
)，
所以ω=6n(n∈N
)，所以当n=1时，ω取得最小值6.
答案:6
8.函数y=lg(-2cosx)的定义域为　　　　　　　　.
【解析】由-2cosx>0得cosx<，由余弦函数的图像可知，+2kπ答案:
9.已知0≤θ≤，且cosθ=a+1，则a的取值范围为　　　　.
【解题指南】先求出cosθ的范围，进而求a的范围.
【解析】0≤θ≤，所以cosθ∈.
所以a+1∈，所以a∈.
答案:
三、解答题(每小题10分，共20分)
10.画出函数y=-3cosx+2的简图，根据图像讨论函数的定义域、值域、奇偶性、周期性、单调性.
【解析】按五个关键点列表、描点，画出图像如下
x
0
π
2π
y=cosx
1
0
-1
0
1
y=-3cosx+2
-1
2
5
2
-1
函数y=-3cosx+2的性质见下表
　　函数性质　　
y=-3cosx+2
定义域
R
值域
[-1，5]
奇偶性
偶函数
周期性
周期函数，最小正周期为2π
单调性
在每一个区间[2kπ，2kπ+π](k∈Z)上是增加的；在每一个区间[2kπ-π，2kπ](k∈Z)上是减少的
11.是否存在实数λ，使函数f(x)=2cos2x-4λcosx-1的最小值是-？若存在，求出所有的λ和对应的x值，若不存在，试说明理由.
【解析】假设存在λ满足题意，则f(x)=2(cosx-λ)2-2λ2-1，
因为0≤x≤，所以0≤cosx≤1，
由f(x)的最小值为-，知
(1)或(2)或
(3)
由(1)解得λ=，此时cosx=，x=.
(2)无解.(3)无解.
综上所述，存在实数λ，当λ=，x=时，f(x)的最小值是-.
能力提升训练（30分钟
50分）
一、选择题(每小题4分，共16分)
1.如果y=cosx是增加的且y=sinx是减少的，那么x的终边在　(　　)
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
【解析】选C.y=cosx在[2kπ，2kπ+π](k∈Z)上是减少的，在[2kπ+π，2kπ+
2π](k∈Z)上是增加的，即在第一、二象限为减少的，第三、四象限为增加的；y=sinx在(k∈Z)上为增加的，在(k∈Z)上是减少的，即在第一、四象限为增加的，第二、三象限为减少的.
综上，x的终边应落在第三象限.
【变式训练】函数y=cos2x在下列哪个区间上是减少的　(　　)
A.
B.
C.
D.
【解析】选C.由2kπ≤2x≤2kπ+π(k∈Z)，得kπ≤x≤kπ+(k∈Z)，令k=0，可得0≤x≤，即在上函数y=cos2x是减少的.
2.函数y=cos的　(　　)
A.最小正周期为2π
B.图像关于y轴对称
C.图像关于原点对称
D.图像关于x轴对称
【解析】选C.y=cos=sin2x，所以函数y=cos为奇函数，图像关于原点对称.
3.定义在R上的偶函数f(x)满足f(π+x)=f(π-x)，若x∈[0，π]时解析式为f(x)=cosx，则f(x)>0的解集是　(　　)
A.(k∈Z)
B.(k∈Z)
C.(k∈Z)
D.(k∈Z)
【解析】选B.由题意得f(x)的周期为2π，且为偶函数，因为x∈
[0，π]时f(x)=cosx，所以x∈R时，f(x)=cosx，由余弦函数的图像知B正确.
4.若函数y=sin(π+x)，y=cos(2π-x)都是单调递减的，则x的集合是　(　　)
A.
B.
C.
D.
【解析】选A.因为y=sin(π+x)=-sinx，其单调减区间为(k∈Z)，y=cos(2π-x)=cosx，其单调减区间是[2kπ，2kπ+π](k∈Z)，所以函数y=sin(π+x)与函数y=cos(2π-x)都是减少的时，x的集合为.
二、填空题(每小题5分，共10分)
5.若函数f
(x)=2cosωx+的最小正周期为T，且T∈(1，3)，则正整数ω的最大值为　　　　.
【解析】由T∈(1，3)知，1<<3，所以<ω<2π，所以正整数ω的最大值为6.
答案:6
6.已知函数y=cosx与y=sin(2x+φ)(0≤φ<π)，它们的图像有一个横坐标为的交点，则φ的值是　　　　.
【解题指南】关键利用条件“图像有一个横坐标为的交点”即得sin=cos.
【解析】由题意得sin=cos=，
又0≤φ<π，得+φ=，得φ=.
答案:
三、解答题(每小题12分，共24分)
7.f(x)是定义在[-2π，2π]上的偶函数，当x∈[0，π]时，y=f(x)=cosx；当x∈(π，2π]时，f(x)的图像是斜率为，在y轴上截距为-2的直线在相应区间上的部分.
(1)求f(-2π)，f的值.
(2)求f(x)的解析式，并作出图像，写出其单调区间.
【解析】(1)当x∈(π，2π]时，y=f(x)=x-2，
又f(x)是偶函数，所以f(-2π)=f(2π)=2.
又x∈[0，π]时，y=f(x)=cosx，
所以f=f=.
(2)y=f(x)=
图像如图所示:
单调增区间为[-π，0]，(π，2π]，单调减区间为[-2π，-π)，[0，π].
8.如图，函数y=2cos(ωx+θ)x∈R，ω>0，0≤θ≤的图像与y轴相交于点(0，)，且该函数的最小正周期为π.
(1)求θ和ω的值.
(2)已知点A，点P是该函数图像上一点，点Q(x0，y0)是PA的中点，当y0=，x0∈时，求x0的值.
【解析】(1)将x=0，y=代入函数y=2cos(ωx+θ)，得cosθ=，因为0≤θ≤，所以θ=.
由已知T=π，且ω>0，得ω===2.
(2)因为点A，Q(x0，y0)是PA的中点，
y0=，所以点P的坐标为.
又因为点P在y=2cos的图像上，
且≤x0≤π，所以cos=，
且≤4x0-≤，从而得4x0-=或4x0-=，即x0=或x0=.