1.6 余弦函数的图像与性质 学案（含答案）

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1.6
余弦函数的图像与性质
学案
【课时目标】　1．能用描点法作出余弦函数的图像，了解余弦函数的图像与正弦函数的图像之间的联系．2．能借助余弦函数图像理解和记忆余弦函数的性质．
知识梳理
1．余弦函数y＝cos
x(x∈R)的图像叫作__________．y＝cos
x，x∈[0，2π]的图像上起关键作用的五个点为________，________________，__________，______________，________．21cnjy.com
2．余弦函数的性质
函数
y＝cos
x
定义域
R
值域
[－1，1]
奇偶性
偶函数
周期性
以________为周期(k∈Z，k≠0)，________为最小正周期
单调性
当x∈________________时，递增；当x∈________________时，递减．
最大值与最小值
当x＝______________时，最大值为____；当x＝________________时，最小值为____．
3．余弦函数的对称中心是余弦曲线与x轴的交点，这些交点的坐标为
________________________________________________________________________，
余弦曲线的对称轴一定过余弦曲线的最高点或最低点，对称轴的方程为______________，此时余弦值取得最大值或最小值．2·1·c·n·j·y
作业设计
一、选择题
1．若y＝sin
x是减函数，y＝cos
x是增函数，那么角x在(　　)
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
2．函数y＝2－cos
x的单调递增区间是(　　)
A．[2kπ＋π，2kπ＋2π]
(k∈Z)
B．[kπ＋π，kπ＋2π]
(k∈Z)
C．
(k∈Z)
D．[2kπ，2kπ＋π]
(k∈Z)
3．下列不等式正确的是(　　)
A．cosπB．cos
515°530°
C．cosD．cos(－120°)>cos
330°
4．在(0，2π)内使sin
x>|cos
x|的x的取值范围是(　　)
A．
B．∪
C．
D．
5．下列函数中，最小正周期为2π的是(　　)
A．y＝|cos
x|
B．y＝cos|x|
C．y＝|sin
x|
D．y＝sin|x|
6．下列函数中，周期为π，且在[，]上为减函数的是(　　)
A．y＝sin(2x＋)
B．y＝cos(2x＋)
C．y＝sin(x＋)
D．y＝cos(x＋)
二、填空题
7．函数y＝的定义域是________________．
8．方程x2－cos
x＝0的实数解的个数是________．
9．设0≤x≤2π，且|cos
x－sin
x|＝sin
x－cos
x，则x的取值范围为________．
三、解答题
10．求函数f(x)＝＋lg(8x－x2)的定义域．
11．(1)求函数y＝3cos2x－4cos
x＋1，x∈的值域；
(2)已知函数y＝acos＋3，x∈的最大值为4，求实数a的值．
能力提升
12．已知奇函数f(x)在[－1，0]上为单调递减函数，又α、β为锐角三角形两内角，则(　　)
A．f(cos
α)>f(cos
β)
B．f(sin
α)>f(sin
β)
C．f(sin
α)>f(cos
β)
D．f(sin
α)β)
13．已知y＝lg
cos
2x．
(1)求它的定义域、值域；
(2)讨论它的奇偶性；
(3)讨论它的周期性；
(4)讨论它的单调性．
反思感悟
1．求函数y＝cos(ωx＋φ)
(ω>0)单调区间的方法是：
把ωx＋φ看成一个整体，由2kπ－π≤ωx＋φ≤2kπ(k∈Z)解出x的范围，所得区间即为增区间，由2kπ≤ωx＋φ≤2kπ＋π
(k∈Z)解出x的范围，所得区间即为减区间．若ω<0，先利用诱导公式把ω转化为正数后，再利用上述整体思想求出相应的单调区间．
2．比较三角函数值的大小，先利用诱导公式把问题转化为同一单调区间上的同名三角函数值的大小比较，再利用单调性作出判断．21世纪教育网版权所有
3．求三角函数值域或最值的常用求法
将y表示成以sin
x或cos
x为元的一次或二次等复合函数再利用换元或配方、或利用函数的单调性等来确定y的范围．21教育网
答案
知识梳理
1．余弦曲线　(0，1)　(，0)　(π，－1)　(π，0)　(2π，1)
2．2kπ　2π　[2kπ－π，2kπ](k∈Z)　[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)
2kπ(k∈Z)　1　2kπ＋π(k∈Z)　－1　3．(kπ＋，0)(k∈Z)
x＝kπ(k∈Z)
作业设计
1．C
2．D　[令u＝－cos
x，则y＝2u，
∵y＝2u在u∈(－∞，＋∞)上是增函数．
∴y＝2－cos
x的增区间，即u＝－cos
x的增区间，
即u＝cos
x的减区间[2kπ，2kπ＋π]
(k∈Z)．]
3．C　[y＝cos
x在[π，2π]上单调递增，故cosπ>cosπ；y＝cos
在
[360°，540°]上单调递减，21·cn·jy·com
故cos
515°>cos
530°；又cos(－120°)<0，cos
330°>0，故cos(－120°)330°，由上知排除A，B，D．www.21-cn-jy.com
由y＝cos
x在[－5π，－4π]上单调递增，故cos4．A　[
∵sin
x>|cos
x|，
∴sin
x>0，∴x∈(0，π)，在同一坐标系中画出y＝sin
x，x∈(0，π)与y＝|cos
x|，x∈(0，π)的图像，观察图像易得【来源：21·世纪·教育·网】
x∈．]
5．B　[画出y＝sin|x|的图像，易知．D不是周期函数，A、C周期为π，B中y＝cos|x|＝cos
x．T＝2π．]21·世纪
教育网
6．A　[因为函数的周期为π，所以排除C、D．又因为
y＝cos(2x＋)＝－sin
2x在[，]上为增函数，故B不符．只有函数y＝sin(2x＋)的周期为π，且在[，]上为减函数．故选A．]www-2-1-cnjy-com
7．，k∈Z
解析　2cos
x＋1≥0，cos
x≥－，
结合图像知x∈，k∈Z．
8．2
解析　作函数y＝cos
x与y＝x2的图像，如图所示，
由图像，可知原方程有两个实数解．
9．
解析　由题意知sin
x－cos
x≥0，即cos
x≤sin
x，在同一坐标系画出y＝sin
x，x∈[0，2π]与y＝cos
x，x∈[0，2π]的图像，如图所示：2-1-c-n-j-y
观察图像知x∈[，π]．
10．解　由，得．
画出y＝cos
x，x∈[0，3π]的图像，如图所示．
结合图像可得：x∈∪．
11．解　(1)y＝3cos2x－4cos
x＋1＝32－．
∵x∈，∴cos
x∈．
从而当cos
x＝－，即x＝时，ymax＝；
当cos
x＝，即x＝时，ymin＝－．
∴函数值域为．
(2)∵x∈，∴2x＋∈，
∴－1≤cos≤．
当a>0，cos＝时，y取得最大值a＋3，
∴a＋3＝4，∴a＝2．
当a<0，cos＝－1时，y取得最大值－a＋3，
∴－a＋3＝4，∴a＝－1．
综上可知，实数a的值为2或－1．
12．D　[∵α＋β>，∴>α>－β>0，
∴sin
α>sin，即sin
α>cos
β
∴－1<－sin
α<－cos
β<0，
∵f(x)在[－1，0]上单调递减，
∴f(－sin
α)>f(－cos
β)
∴－f(sin
α)>－f(cos
β)，∴f(sin
α)β)．]
13．解　(1)要使函数f(x)＝lg
cos
2x有意义，则cos
2x>0，
即－＋2kπ<2x<＋2kπ，k∈Z，
－＋kπ∴函数的定义域为
．
由于在定义域内02x≤1，
∴lg
cos
2x≤0，∴函数的值域为(－∞，0]．
(2)∵f(－x)＝lg
cos[2·(－x)]＝lg
cos
2x
＝f(x)，
∴函数是偶函数．
(3)∵cos
2x的周期为π，
即cos
2(x＋π)＝cos
2x．
∴f(x＋π)＝lg
cos
2(x＋π)＝lg
cos
2x＝f(x)．
∴函数的周期为π．
(4)y＝lg
u是增函数．
当x∈
(k∈Z)时，u＝cos
2x是增函数；
当x∈
(k∈Z)时，u＝cos
2x是减函数．
因此，函数y＝lg
cos
2x在
(k∈Z)上是增函数；在
(k∈Z)上是减函数．
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