1.8 函数y=Asin(ωx+ψ)的图像 同步练习1（含答案）

1.8
函数y=Asin(ωx+ψ)的图像
同步练习
基础巩固训练（30分钟
50分）
一、选择题(每小题4分，共16分)
1.函数y=sin的图像可由函数y=sinx的图像　(　　)
A.向左平移个单位得到
B.向右平移个单位得到
C.向左平移个单位得到
D.向左平移个单位得到
【解析】选A.y=sin=sin，故应向左平移个单位.
2.由y=f(x)的图像向左平移个单位，再把所得图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍得到y=2sin的图像，则f(x)为　
(　　)
A.2sin
B.2sin
C.2sin
D.2sin
【解析】选B.将y=2sin图像上所有点的横坐标缩短到原来的倍得到y=2sin，再将图像向右平移个单位，得到y=2sin.
【误区警示】本题容易出现将平移方向、倍数弄反的错误，应将图像逆向变换得到平移前的图像.
【变式训练】函数y=
f(x)的图像上每一点的纵坐标伸长为原来的3倍，再将横坐标缩小为原来的，再将图像向右平移个单位，可得y=cosx，则原来的函数为　
(　　)
A.y=cos
B.y=cos
C.y=3cos
D.y=cos
【解析】选A.将y=cosx的图像向左平移个单位，得到y=cos，再将横坐标伸长为原来的2倍，得到y=cos，再将图像上每一点的纵坐标缩短为原来的倍，得到y=cos.
3.函数y=sinωx(ω>0)的部分图像如图所示，点A，B是最高点，点C是最低点.若△ABC是直角三角形，则ω的值为　(　　)
A.
B.
C.
D.π
【解析】选A.函数的最大值为1，又△ABC是等腰直角三角形，故三角形AB边上的高为2，A与B的距离为4，即为最小正周期T，由=4得ω=.
【误区警示】读图错误，误认为|AB|=2，从而=2，ω=π，选D.
4.函数y=sin(ωx+φ)的部分图像如图，则　(　　)
A.ω=，φ=
B.ω=，φ=
C.ω=，φ=
D.ω=，φ=
【解析】选C.由题意以及函数的图像，可知T=4×(3-1)=8，
因为T=，所以ω=；
因为函数的图像经过(3，0)，
所以0=sin且0≤φ<π，
所以φ=.故选C.
二、填空题(每小题5分，共10分)
5.函数f
(x)=sin(ωx+φ)的图像如图所示，为了得到y=sinωx的图像，只需把y=f(x)的图像上所有的点向右平移
　　　　　　个单位长度.
【解析】T=4=π，故ω=2，
则f(x)=sin(2x+φ)，代入点，
得到sin=0，
由+φ=π得φ=，
故f(x)=sin，
故需要向右平移个单位长度得到y=sin2x.
答案:
6.若将函数f(x)=sin的图像向右平移φ个单位，所得图像关于y轴对称，则φ的最小正值是　　　　.
【解题指南】平移后的函数是余弦函数.
【解析】将函数f(x)=sin的图像向右平移φ个单位，
所得函数为f(x)=sin
=sin，
其图像关于y轴对称，则f(x)=±cos2x，
所以-2φ=+kπ(k∈Z)，
当k=-1时，φ的最小正值是.
答案:
三、解答题(每小题12分，共24分)
7.已知函数y=2sin(x∈R).
(1)作出函数在一个周期内的图像.
(2)说明该函数的图像可由y=sinx(x∈R)的图像经过怎样的变换得到.
【解析】(1)列表:
x+
0
π
2π
x
-
y
0
2
0
-2
0
作图:
(2)y=sinxy=sin
y=siny=2sin.
8.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)在一个周期内的图像如图所示，
(1)求f(x)的解析式.
(2)求f+f+f+…+f的值.
【解题指南】根据图示信息求出解析式，再根据函数在一个周期内的和的情况求和.
【解析】(1)由图像可知A=2，
周期T=2=π，
所以ω===2，
则f(x)=2sin(2x+φ)，
由图像过点，
得2sin=2，
即sin=1，
取+φ=得φ=，
故f(x)=2sin.
(2)由(1)可知f(x)的周期为π，
因为f+f+f+f=1--1+=0，
所以f+f+f+…+f=0×503+f+f+f
=f+f+f=1--1=-.
能力提升训练（30分钟
50分）
一、选择题(每小题4分，共12分)
1.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)在一个周期内的图像如图所示，则y=f(x)的图像可由函数y=cosx的图像(纵坐标不变)，　　　　得到　(　　)
A.先把各点的横坐标缩短到原来的倍，再向左平移个单位长度
B.先把各点的横坐标缩短到原来的倍，再向右平移个单位长度
C.先把各点的横坐标伸长到原来的2倍，再向左平移个单位长度
D.先把各点的横坐标伸长到原来的2倍，再向右平移个单位长度
【解析】选B.由图可知A=1，T=4×=π，
故ω=2，则f=sin，
又图像过，故sin=1，
故由+φ=，得φ=，
故f=sin，
又f=sin=cos
=cos，
故将函数y=cosx的图像先把各点的横坐标缩短到原来的倍，再向右平移个单位长度得到f=sin的图像.
2.要得到函数y=sin(3x-2)的图像，只要将函数y=sin3x的图像　(　)
A.向左平移2个单位长度
B.向右平移2个单位长度
C.向左平移个单位长度
D.向右平移个单位长度
【解析】选D.由y=sin3=sin，故应向右平移个单位长度.
【变式训练】要得到函数y=cos2x的图像，只需将y=cos的图像　(　　)
A.向左平移个单位长度
B.向右平移个单位长度
C.向左平移个单位长度
D.向右平移个单位长度
【解析】选B.设将y=cos的图像向右平移A个单位长度后，得到函数y=cos2x的图像，则cos=cos2x，易得A=，故选B.
3.已知函数y=Asin(ωx+φ)+B的一部分图像如图所示，如果A>0，ω>0，|φ|<，则　(　　)
A.A=4
B.ω=1
C.φ=
D.B=4
【解析】选C.根据函数的最大值和最小值得求得A=2，B=2，
函数的周期为×4=π，即π=，ω=2，
当x=时取最大值，即sin=1，
2×+φ=2kπ+，φ=2kπ+，
又|φ|<，所以φ=.
【拓展延伸】已知函数y=Asin+B的部分图像求解析式
观察图像的性质，确定函数的最大值M，最小值m，则
A=，B=，
ω:先求周期后求ω；
φ:代入图像上一个点的坐标求出φ的取值集合，根据φ的范围求φ.
二、填空题(每小题4分，共8分)
4.若y=Asin(ωx+φ)的最小值为-2，其图像相邻最高点与最低点横坐标之差为3π，又图像过点(0，1)，则其解析式是　　　　　　　　.
【解析】由最小值为-2可得A=2，
由题意T=6π=，故ω=，则y=2sin，
又sinφ=，|φ|<，故φ=，
所以y=2sin.
答案:y=2sin
5.将函数f(x)=sin(ωx+φ)图像上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再向右平移个单位长度得到y=sinx的图像，则f=　　　　.
【解题指南】先根据三角函数图像变换求出ω，φ的值，然后求出f的值.
【解析】函数f(x)=sin(ωx+φ)图像上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，则函数变为y=sin(2ωx+φ)，再向右平移个单位长度得到的函数为y=sin=sin=sinx，
所以
又因为ω>0，-≤φ<，
可求得ω=，φ=，
所以f(x)=sin，
所以f=sin=sin=.
答案:
【变式训练】将函数y=sinωx(ω>0)的图像向左平移个单位，平移后的图像如图所示，则平移后的图像所对应函数的解析式是　　　　　　　　.
【解题指南】先用ω表示出平移后的解析式，再利用图中已知的相位求出ω即可求出解析式.
【解析】函数y=sinωx(ω>0)的图像向左平移个单位得到y=sin，
则πω+=，解得ω=2，
故平移后的图像的解析式为y=sin.
答案:y=sin
三、解答题(每小题10分，共20分)
6.已知函数y=Asin(ωx+φ)(A>0，ω>0，|φ|<π)的最小正周期为，最小值为-2，图像过，求该函数的解析式.
【解析】因为函数的最小正周期为，
所以T==，即ω=3.
又因为函数的最小值为-2，
所以A=2，
所以函数解析式可写为y=2sin，
又因为函数图像过点，
所以有:2sin=0，
解得φ=kπ-.
因为|φ|<π，
所以φ=或-，
所以，函数解析式为:y=2sin或y=2sin.
7.将函数y=lgx的图像向左平移一个单位长度，可得函数f(x)的图像；将函数y=cos的图像向左平移个单位长度，可得函数g(x)的图像.
(1)在同一直角坐标系中画出函数f(x)和g(x)的图像.
(2)判断方程f(x)=g(x)解的个数.
【解题指南】解答本题(1)利用平移变换法画出两个函数的图像.(2)根据弦函数的“有界性”及lg10=1确定两个函数图像的交点个数，即为方程f(x)=g(x)解的个数.
【解析】函数y=lgx的图像向左平移一个单位长度，可得函数f(x)=lg(x+1)的图像，即图像C1；函数y=cos的图像向左平移个单位长度，可得函数g(x)=cos=cos2x的图像，即图像C2.
(1)画出图像C1和C2如图.
(2)因为f(9)=lg10=1，
所以由图像可知:两个图像共有5个交点.
即方程f(x)=g(x)解的个数为5.