1.8 函数y=Asin(ωx+ψ)的图像 同步练习3（含答案）

1.8
函数y=Asin(ωx+ψ)的图像
同步练习
基础巩固训练（30分钟
50分）
一、选择题(每小题3分，共18分)
1.函数f(x)=sin在区间上的最小值是　(　　)
A.-1
B.-
C.
D.0
【解题指南】先确定2x-的范围，再根据正弦函数的单调性求最小值.
【解析】选B.因为x∈，所以2x-∈，根据正弦曲线可知，当2x-=-时，f(x)取得最小值-.
2.函数y=sin2x的一个单调递增区间可以是　(　　)
A.
B.
C.
D.
【解析】选A.由-+2kπ≤2x≤+2kπ，k∈Z，
得-+kπ≤x≤+kπ，k∈Z，
故当k=0时的单调递增区间为.
3.已知函数f(x)=sin的图像上相邻的一个最大值点与一个最小值点恰好都在圆x2+y2=R2上，则f(x)的最小正周期为　(　　)
A.1
B.2
C.3
D.4
【解析】选D.由题意T==2R，
由f(x)max=sinx=，
则sinx=1，
即x=，
所以x=，
故函数f(x)过点，
又在圆上，所以+3=R2，
故R=2，则f(x)=sinx，故T=2R=4.
4.如果函数y=3cos(2x+φ)的图像关于点中心对称，那么|φ|的最小值为　(　　)
A.
B.
C.
D.
【解析】选A.因为函数y=3cos(2x+φ)的图像关于点中心对称，
所以2·+φ=kπ+，
所以φ=kπ-(k∈Z)，
由此易得|φ|min=.故选A.
5.已知函数y=sin，其中x∈.若函数的值域是，则a的取值范围是　(　　)
A.
B.
C.
D.
【解析】选A.因为-≤x≤a，
所以-≤2x+≤+2a，
因为-≤y≤1，sin=-，
故≤+2a≤π，解得≤a≤.
6.若当x=时，函数f(x)=Asin(x+φ)(A>0)取得最小值，则函数y=f是　
(　　)
A.奇函数且图像关于点对称
B.偶函数且图像关于点(π，0)对称
C.奇函数且图像关于直线x=对称
D.偶函数且图像关于点对称
【解析】选C.由题意+φ=-+2kπ，k∈Z，
故φ=-+2kπ，k∈Z，
故y=f=-Asinx，
故该函数为奇函数且图像关于直线x=对称.
二、填空题(每小题4分，共12分)
7.函数y=3sin(x∈[0，π])的单调递增区间是　　　　　　.
【解析】y=-3sin，
令+2kπ≤2x+≤+2kπ，k∈Z，
则+kπ≤x≤+kπ，k∈Z，
当k=0时，≤x≤符合题意.
答案:
8.将函数y=sin的图像向左平移φ(φ>0)个单位，得到的图像对应的函数为f(x)，若f(x)为偶函数，则φ的最小值为　　　　　.
【解析】由题意f(x)=sin，
若f(x)为偶函数，则2φ-=+kπ，k∈Z，
得φ=+(φ>0)，k∈Z，
当k=0时，φ的最小值为.
答案:
9.已知函数f(x)=sin2x+，则下列命题正确的是　　　　　.
①函数y=f(x)的图像关于点对称；
②函数y=f(x)在区间上是增函数；
③函数y=f是偶函数；
④将函数y=sin2x的图像向左平移个单位得到函数y=f(x)的图像.
【解析】①中f=sin=-≠0，错误；
②中当x∈时，2x+∈，不是正弦函数的增区间，错误；
③中y=f=sin=cos2x，是偶函数；
④中将函数y=sin2x的图像向左平移个单位得到y=sin=cos2x的图像，错误.
答案:③
三、解答题(每小题10分，共20分)
10.已知函数y=f(x)=sin，x∈R.
(1)求函数f(x)的最大值及y取最大值时x的集合.
(2)求函数f(x)的单调递减区间.
(3)将函数y=sin的图像作怎样的变换可得到y=sinx的图像？
【解题指南】(1)根据正弦函数的特点知当x+=2kπ+，k∈Z时y取最大值为1，求出x即可得出结果.
(2)直接根据正弦函数的单调性求单调区间.
(3)将y=sin的图像先向右平移，再进行左右伸缩变换.
【解析】(1)当sin=1时，y取最大值ymax=1，
此时x+=2kπ+，k∈Z，
即x=4kπ+，k∈Z，
所以y取最大值1时，x的集合为
.
(2)令z=x+，
则y=sinz的单调递减区间为
(k∈Z)，
由2kπ+≤x+≤2kπ+(k∈Z)，
得4kπ+≤x≤4kπ+π，k∈Z.
又z=x+在(-∞，+∞)上为增函数，
故原函数的单调递减区间为
(k∈Z).
(3)将y=sin的图像向右平移个单位可得到y=sin的图像，再将所得图像的横坐标变为原来的可得到y=sinx的图像(答案不唯一).
11.已知函数f(x)=Asin(A>0，ω>0)的部分图像如图所示.
(1)求A，ω的值.
(2)求f(x)的单调增区间.
(3)求f(x)在区间上的最大值和最小值.
【解题指南】(1)通过函数的图像直接求A，利用函数的周期即可求出ω的值.
(2)根据正弦函数的单调增区间，直接求f(x)的单调增区间即可.
(3)通过x∈，求出函数的相位的范围，利用正弦函数的最值，直接求解f(x)的最大值和最小值.
【解析】(1)由图像知A=1，
由图像得函数的最小正周期为2=π，
则由=π得ω=2.
(2)由(1)得，f(x)=sin，
因为-+2kπ≤2x+≤+2kπ，k∈Z，
所以-+2kπ≤2x≤+2kπ，k∈Z.
所以-+kπ≤x≤+kπ，k∈Z，
所以f(x)的单调增区间为
，k∈Z.
(3)因为-≤x≤，所以-≤2x+≤，
所以-≤sin≤1.
当2x+=，即x=时，f(x)取得最大值1；
当2x+=-，即x=-时，f(x)取得最小值-.
【一题多解】(3)结合已知函数的图像，
因为∈且->-，
所以x=时f(x)在上取得最大值1.
x=-时f(x)在上取得最小值-.
能力提升训练（30分钟
50分）
一、选择题(每小题4分，共16分)
1.若函数f(x)=2sin(ωx+φ)，x∈R的最小正周期是π，且f(0)=，则　(　　)
A.ω=2，φ=
B.ω=，φ=
C.ω=2，φ=
D.ω=，φ=
【解析】选C.由题意ω=2，
又f(0)=2sinφ=，
故sinφ=，又|φ|<，故φ=.
2.设函数y=2sin的图像关于点P(x0，0)成中心对称，若x0∈，则x0=　(　　)
A.
B.-
C.
D.-
【解题指南】利用正弦函数的对称中心表示出x0，再确定当x0∈时的值.
【解析】选B.令2x-=kπ，k∈Z，
故x=+，k∈Z，
又x0∈，故x0=-.
【举一反三】若x0∈，则x0=　　　　.
【解析】由x=+，k∈Z，x0∈知x0=或.
答案:或
3.函数f(x)=sin(ωx+φ)(x∈R)的部分图像如图所示，如果x1，x2∈，且f
(x1)=f(x2)，则f(x1+x2)=　(　　)
A.
B.
C.
D.1
【解析】选C.由图像可知T=2×=π，
故ω=2，
又sin=0，-+φ=2kπ，|φ|<，
得φ=，故f=sin，
由图可知f的一条对称轴为x==，
又x1，x2∈，且f(x1)=f(x2)，
则x1+x2=2×=，
故f(x1+x2)=sin=.
4.设函数f(x)=3sin(ωx+φ)的图像关于直线x=对称，它的周期是π，则下列说法正确的是　(　　)
A.f(x)的图像过点
B.f(x)的一个对称中心是
C.f(x)在上是减函数
D.将f(x)的图像向右平移|φ|个单位得到函数y=3sinωx的图像
【解析】选B.由周期是π可得ω=2，
又+φ=+kπ，k∈Z，
得φ=-+kπ，k∈Z，
因为-<φ<，
故φ=，
故f=3sin，
A中f=3sin=，错误；
B中f=3sinπ=0，正确；
C中当x∈时，2x+∈不是正弦函数的单调递减区间，错误；
D中将f(x)的图像向右平移|φ|个单位得到函数y=3sin≠3sin2x，错误.
二、填空题(每小题5分，共10分)
5.已知函数f(x)=sin(2x+φ)，其中φ为实数，若f(x)≤f对x∈R恒成立，且f>f(π)，则f(x)的单调递增区间是　　　　　　.
【解析】因为f>f(π)，
故sin>sinφ，得sinφ<0，
又f(x)≤f对x∈R恒成立，
故f=±1，
即sin=±1，
+φ=+kπ，k∈Z，
φ=+kπ，k∈Z，
又sinφ<0，取φ=-，
故f(x)=sin，
令-+2kπ≤2x-≤+2kπ，k∈Z，
解得:+kπ≤x≤+kπ，k∈Z.
答案:，k∈Z
6.已知函数y=a-bcos2x+(b>0)的最大值为，最小值为-，则实数a，b的值为　　　　.
【解题指南】利用f(x)=cos的最大值、最小值代入列方程组求值.
【解析】f(x)=cos∈，
故解得
答案:，1
【举一反三】本题若去掉条件b>0，试求实数a，b的值.
【解析】当b>0时，解得
当b<0时，由
解得
三、解答题(每小题12分，共24分)
7.已知函数f(x)=Asin+m(A>0，ω>0)的图像在y轴右侧的第一个最大值、最小值点分别为P(x0，2+m)和Q.若f(x)在上最大值与最小值的和为5，求m的值.
【解析】由题意知
所以A=2，T=×2=π=，ω=1，
所以f(x)=2sin+m，
因为x∈，
所以-≤2x+≤π，
-≤sin≤1，
所以f(x)max=2+m，f(x)min=-1+m，
所以2+m-1+m=5，所以m=2.
8.已知点A(x1，f(x1))，B(x2，
f(x2))是函数f(x)=2sin(ωx
+φ)ω>0，-<φ<0图像上的任意两点，且角φ的终边经过点P(1，-)，若=4时，|x1-x2|的最小值为.
(1)求函数f(x)的解析式.
(2)求函数f(x)的单调递增区间.
(3)当x∈时，不等式mf+2m≥f恒成立，求实数m的取值范围.
【解析】(1)角φ的终边经过点P(1，-)，tanφ=-，因为-<φ<0，
所以φ=-.
由=4时，|x1-x2|的最小值为，
得T=，即=，所以ω=3，
所以f(x)=2sin.
(2)令-+2kπ≤3x-≤+2kπ，
即-+≤x≤+，
所以函数f(x)的单调递增区间为
(k∈Z).
(3)当x∈时，-≤f≤1，
于是，2+f>0，mf+2m≥f，
等价于m≥=1-，
由-≤f≤1，得的最大值为，
所以，实数m的取值范围是m≥.
【拓展延伸】分离参数求参数的范围
　　求参数的范围时，可以将参数分离出来，转化为一侧只含参数的不等式，则只求出另一侧式子的最大值、最小值即可求出参数的范围，如本题中将不等式变为m≥=1-，则求出式子的最大值后即得到实数m的取值范围.
【变式训练】函数f(x)=Asin(ωx+φ)的一段图像如图所示.
(1)求函数y=f(x)的解析式.
(2)将函数y=f(x)的图像向右平移个单位，得到y=g(x)的图像，求直线y=与函数y=f(x)+g(x)的图像在内所有交点的坐标.
【解题指南】(1)根据图像求出T，A，再求出ω，利用图像的平移变换，求出φ，然后求函数y=f(x)的解析式.
(2)将函数y=f(x)的图像向右平移个单位，得到y=g(x)的图像，求出g(x)的解析式，求出函数y=f(x)+g(x)，并且y=，求方程在(0，π)内所有的解，进而得交点的坐标.
【解析】(1)由题图知A=2，T=π，于是ω==2，
将y=2sin2x的图像向左平移个单位长度，
得y=2sin(2x+φ)的图像.
于是φ=2×=，
所以f(x)=2sin.
(2)由题意得g(x)=2sin=-2cos，
故y=f(x)+g(x)=2sin-2cos=2sin，
由2sin=，
得sin=.
因为0所以2x-=或2x-=，
所以x=或x=，
所求点的坐标为或.