1.8 函数y=Asin(ωx+ψ)的图像 同步练习4（含答案）

1.8
函数y=Asin(ωx+ψ)的图像
同步练习
双基达标　 限时20分钟
1．为了使函数y＝sin
ωx(ω＞0)在区间[0，1]上至少出现50次最大值．则ω的最小值是(　　)．
A．98π
B.π
C.π
D．100π
解析　由题意至少出现50次最大值．即至少需用49个周期，∴49·T＝·≤1，∴ω≥π故选B.
答案　B
2．函数f(x)＝2sin，当f(x)取得最小值时，x的取值集合为(　　)．
A.
　
B.
C.
D.
解析　令－＝－＋2kπ，k∈Z，解得：x＝4kπ－，k∈Z.
答案　A
3．已知ω＞0，0＜φ＜π，直线x＝和x＝是函数f(x)＝sin(ωx＋φ)图像的两条相邻的对称轴，则φ＝(　　)．
A.
B.
C.
D.
解析　依题意，周期T＝2＝2π，∴T＝，则ω＝＝1.因此f(x)＝sin(x＋φ)．又f＝sin＝±1，0＜φ＜π.所以φ＋＝，∴φ＝.
答案　A
4．函数y＝sin与y轴最近的对称轴方程是________．
解析　令2x－＝kπ＋(k∈Z)，∴x＝＋(k∈Z)．
由k＝0，得x＝；由k＝－1，得x＝－.
答案　x＝－
5．已知函数f(x)＝2cos－5的最小正周期不大于2，则正整数k的最小值是________．
解析　由题意，得T＝≤2，解得k≥4π，又因为k为正整数，故k的最小值为13.
答案　13
6．已知函数f(x)＝sin(x∈R)．
(1)求f(x)的单调减区间；
(2)经过怎样的图像变换使f(x)的图像关于y轴对称？(仅叙述一种方案即可)．
解　(1)由已知函数化为y＝－sin.欲求函数的单调递减区间，只需求y＝sin的单调递增区间．
由2kπ－≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)，
解得kπ－≤x≤kπ＋π(k∈Z)．
∴原函数的单调减区间为(k∈Z)．
(2)f(x)＝sin＝cos
＝cos＝cos
2.
∵y＝cos
2x是偶函数，图像关于y轴对称，
∴只需把y＝f(x)的图像向右平移个单位即可．
综合提高　 限时25分钟
7．设函数f(x)＝2sin，若对于任意x∈R，都有f(x1)≤f(x)≤f(x2)成立，则|x1－x2|的最小值为(　　)．
A．4
B．2
C．1
D.
解析　对任意x∈R，f(x1)≤f(x)≤f(x2)成立．
∴f(x1)＝f(x)min＝－2，f(x2)＝f(x)max＝2.
∴|x1－x2|min＝＝×＝2.
答案　B
8．如果函数y＝sin
2x＋acos
2x的图像关于直线x＝－对称，那么a等于(　　)．
A.
B．－
C．1
D．－1
解析　法一　∵函数y＝sin
2x＋a
cos
2x的图像关于x＝－对称，
设f(x)＝sin
2x＋a
cos
2x，则f＝f(0)．
∴sin＋a
cos＝sin
0＋a
cos
0.
∴a＝－1.
法二　由题意得f＝f，
令x＝，有f＝f(0)，即－1＝a.
答案　D
9．关于f(x)＝4sin(x∈R)，有下列命题
①由f(x1)＝f(x2)＝0可得x1－x2是π的整数倍；
②y＝f(x)的表达式可改写成y＝4cos；
③y＝f(x)图像关于对称；
④y＝f(x)图像关于x＝－对称．
其中正确命题的序号为________(将你认为正确的都填上)．
解析　对于①，由f(x)＝0，可得2x＋＝kπ(k∈Z)．
∴x＝π－(k∈Z)，∴x1－x2是的整数倍，∴①错；
对于②，f(x)＝4sin利用公式得：
f(x)＝4cos＝4cos，∴②对；
对于③，f(x)＝4sin的对称中心满足2x＋＝kπ(k∈Z)，∴x＝π－(k∈Z)，∴是函数y＝f(x)的一个对称中心，∴③对；
对于④，函数y＝f(x)的对称轴满足2x＋＝＋kπ(k∈Z)，
∴x＝＋(k∈Z)，∴④错．
答案　②③
10．函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω，φ为常数，A＞0，ω＞0)的部分图像如图所示，则f(0)的值是________．
解析　由图可知：A＝，＝－＝，所以T＝π，ω＝＝2，又函数图像经过点，所以2×＋φ＝π＋2kπ，令k＝0，得φ＝，故函数的解析式为f(x)＝sin，所以f(0)＝sin
＝.
答案　
11．已知函数f(x)＝asin(2x＋)＋1(a>0)的定义域为R，若当－≤x≤－时，f(x)的最大值为2.
(1)求a的值；
(2)试用五点法作出该函数在一个周期闭区间上的图像，并求出该图像对称中心的坐标和对称轴的方程．
解　(1)－≤x≤－ －≤2x≤－ －≤2x＋≤ －1≤sin≤ f(x)max＝a＋1，
∴a＋1＝2，即a＝2.
(2)
2x＋
0
π
π
2π
x
－
π
y
1
3
1
－1
1
由2x＋＝kπ，得x＝－(k∈Z)，
∴
对称中心为(k∈Z)．
由2x＋＝kπ＋，得对称轴方程为x＝＋(k∈Z)．
12．(创新拓展)已知下图表示电流强度I与时间t的关系I＝Asin(ωt＋φ)(A>0，ω>0，|φ|＜)在一个周期内的图像．
(1)试根据图像写出I＝Asin(ωt＋φ)的解析式；
(2)为了使I＝Asin(ωt＋φ)中t在任意一段秒的时间内电流强度I能同时取得最大值A与最小值－A，那么正数ω的最小值是多少？
解　(1)由图像知A＝300，
T＝－＝(秒)．
∴ω＝＝100π.∴I＝300sin(100πt＋φ)．
则有100π·＋φ＝0，解得φ＝.
∴I＝300sin(t≥0)．
(2)欲使I在t的任意一段秒内能同时取到最大值A与最小值－A，必须且只需I的周期不大于，即T＝≤，解得ω≥200π.
∴ω的最小值为200π.