1.8 函数y=Asin(ωx+ψ)的图像 同步练习5（含答案）

1.8
函数y=Asin(ωx+ψ)的图像
同步练习
基础巩固
一、选择题
1．函数y＝cos的图像的一个对称中心是(　　)
A．　　　　　
B．
C．　
D．
[答案]　C
[解析]　由于对称中心是使函数值为零的点，可排除A、B，当x＝时，y＝cos＝cos＝0，故选C.
2．要得到函数y＝cos(2x＋1)的图像，只要将函数y＝cos2x的图像(　　)
A．向左平移1个单位
B．向右平移1个单位
C．向左平移个单位
D．向右平移个单位
[答案]　C
[解析]　∵y＝cos(2x＋1)＝cos[2(x＋)]，
∴只须将y＝cos2x的图像向左平移个单位即可得到y＝cos(2x＋1)的图像．
3．函数y＝sin(x－)的图像的一条对称轴是(　　)
A．x＝－　
B．x＝
C．x＝－　
D．x＝
[答案]　C
[解析]　由x－＝kπ＋，k∈Z，解得x＝kπ＋，k∈Z，令k＝－1，得x＝－.
4．将函数y＝sinx的图像上所有的点向右平行移动个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图像的函数解析式是(　　)
A．y＝sin　
B．y＝sin
C．y＝sin　
D．y＝sin
[答案]　C
[解析]　将函数y＝sinx的图像上所有的点向右平行移动个单位长度，所得函数图像的解析式为y＝sin(x－)，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图像的函数解析式是y＝sin(x－)．
5．已知函数f(x)的部分图像如图所示，则f(x)的解析式可能为(　　)
A．f(x)＝2cos(－)　
B．f(x)＝cos(4x＋)
C．f(x)＝2sin(－)　
D．f(x)＝2sin(4x＋)
[答案]　A
[解析]　由图像知，A＝2，排除选项B.又＝－＝π，知T＝4π，∴＝4π.∴ω＝，排除选项D.把x＝0，y＝1代入选项A、选项C中检验，知选项C错误．
二、填空题
6.已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω>0)的图像如图所示，则ω＝________.
[答案]　
[解析]　由图像可得函数f(x)的最小正周期为，
∴T＝＝，ω＝.
7．完成下列填空：
(1)函数y＝2sin的最小正周期为________；
(2)函数y＝sin(ω>0)的最小正周期为，则ω＝________；
(3)函数y＝4sin＋3sin的最小正周期为________．
[答案]　(1)4；(2)3；(3)π
[解析]　(1)T＝＝4，∴应填4.
(2)∵＝，∴ω＝3，∴应填3.
(3)∵4sin与3sin的最小正周期都为，∴应填.
三、解答题
8．已知函数y＝Asin(ωx＋φ)的图像的一个最高点为(2，2)，从这个最高点到相邻最低点之间的图像与x轴交于点(6，0)，求这个函数的解析式．
[解析]　已知图像的最高点为(2，2)，所以A＝2，
又从最高点到相邻最低点之间的图像交x轴于点(6，0)，
所以＝6－2＝4，所以T＝16，所以ω＝＝，
所以y＝2sin，
代入最高点坐标(2，2)，得2＝2sin，
所以sin(＋φ)＝1.又|φ|<，所以φ＝，
所以函数的解析式为y＝2sin.
能力提升
一、选择题
1．使函数y＝2sin，x∈[0，π]为增函数的区间是(　　)
A．　
B．
C．　
D．
[答案]　C
[解析]　由y＝2sin(－2x)＝－2sin(2x－)可知，其增区间可由y＝2sin(2x－)的减区间得到，
即2kπ＋≤2x－≤2kπ＋，k∈Z.
∴kπ＋≤x≤kπ＋，k∈Z.
令k＝0，故选C.
2．已知函数f(x)＝sin(x∈R，ω＞0)的最小正周期为π.将y＝f(x)的图像向左平移|φ|个单位长度，所得图像关于y轴对称，则φ的一个值是(　　)
A．　
B．
C．　
D．
[答案]　D
[解析]　本小题主要考查三角函数的图像和性质．
∵T＝＝π，∴ω＝2，∴f(x)＝sin(2x＋)．
将f(x)左移|φ|个单位后得sin[2(x＋φ)＋]＝sin(2x＋2φ＋)为偶函数．
∴sin(2φ＋)＝±1，∴2φ＋＝kπ＋(k∈Z)，
∴φ＝kπ＋(k∈Z)，k＝0时φ＝.故选D.
二、填空题
3．已知函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)在一个周期内的图像(如下图所示)，则函数解析式为______________．
[答案]　y＝2sin
[解析]　解法一：由图知x1＝π，x2＝π，
∴解得
∴y＝2sin＝2sin(x＋π)．
解法二：由图知x3＝－π，x4＝0，
∴解得
∴y＝2sin.
4．关于函数f(x)＝4sin(2x＋)(x∈R)，有下列命题：
①由f(x1)＝f(x2)＝0可得x1－x2必是π的整数倍；
②y＝f(x)的表达式可改写为y＝4cos(2x－)；
③y＝f(x)的图像关于点(－，0)对称；
④y＝f(x)的图像关于直线x＝－对称．
其中正确的命题序号是________．(注：把正确的命题的序号都填上)
[答案]　②③
[解析]　对于①，由于函数f(x)的周期T＝＝π，而|x1－x2|的最小值是，故①不正确；
对于②，由于y＝4cos(2x－)＝4cos[(2x＋)－]＝4cos[－(2x＋)]＝4sin(2x＋)，故②正确；
令2x＋＝kπ，得x＝－，故当k＝0时，对称中心为(－，0)，所以③正确；
令2x＋＝＋kπ，得x＝＋(k∈Z)，不论k取何整数，对称轴方程都不为x＝－，所以④不正确．
三、解答题
5．求下列函数的增区间．
(1)y＝sin3x；
(2)y＝2sin(－x)．
[解析]　(1)令－＋2kπ≤3x≤＋2kπ(k∈Z)，
则－＋kπ≤x≤＋kπ(k∈Z)．
∴增区间为[－＋kπ，＋kπ](k∈Z)．
(2)y＝2sin(－x)＝－2sin(x－)．
令＋2kπ≤x－≤＋2kπ(k∈Z)，
则＋2kπ≤x≤＋2kπ(k∈Z)．
∴增区间为[＋2kπ，＋2kπ](k∈Z)．
6．如图，表示函数y＝Asin(ωx＋φ)＋k(A>0，ω>0)的图像的一段，求此函数的解析式．
[解析]　由图像知A＝＝，
k＝＝－1，T＝2(－)＝π，
∴ω＝＝2.∴y＝sin(2x＋φ)－1.
当x＝时，2×＋φ＝＋2kπ，k∈Z，
∴φ＝＋2kπ.令k＝0，则φ＝.
∴所求函数解析式为y＝sin(2x＋)－1.
7．已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)，x∈R(其中A>0，ω>0，0<φ<)的图像与x轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为，且图像上一个最低点为M(，－2)．
(1)求f(x)的解析式；
(2)当x∈[，]时，求f(x)的值域．
[解析]　(1)由最低点为M(，－2)，得A＝2.
由T＝π，得ω＝＝＝2.
∴f(x)＝2sin(2x＋φ)．
由点M(，－2)在图像上，得2sin(＋φ)＝－2，
即sin(＋φ)＝－1.
∴＋φ＝2kπ－(k∈Z)，即φ＝2kπ－(k∈Z)．
又φ∈(0，)，∴φ＝.∴f(x)＝2sin(2x＋)．
(2)∵x∈[，]，∴2x＋∈[，]．
∴当2x＋＝，即x＝时，f(x)取得最小值－1；
当2x＋＝，即x＝时，f(x)取得最大值2.
∴f(x)的值域为[－1，2]．