1.9 三角函数的简单应用 同步练习1（含答案）
文档属性
| 名称 | 1.9 三角函数的简单应用 同步练习1（含答案） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 220.0KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 北师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2016-12-28 14:23:29 | ||
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文档简介
1.9
三角函数的简单应用
同步练习
基础巩固
一、选择题
1.如图所示的半径为3 m的水轮，水轮圆心O距离水面2 m，已知水轮自点B开始1 min旋转4圈，水轮上的点P到水面距离y(m)与时间x(s)满足函数关系y＝Asin(ωx＋φ)＋2，则有( )
A．ω＝，A＝3
B．ω＝，A＝3
C．ω＝，A＝5
D．ω＝，A＝5
[答案] A
[解析] ∵1min旋转4圈，∴1圈需min，
即T＝＝15(s)．
又∵T＝，∴＝＝15，∴ω＝.
又∵P到水面的最大距离为5 m，
∴函数最大值为5 m，故A＝3.
2．已知简谐运动f(x)＝2sin的图像经过点(0，1)，则该简谐运动的最小正周期T和φ分别为( )
A．T＝6，φ＝
B．T＝6，φ＝
C．T＝6π，φ＝
D．T＝6π，φ＝
[答案] A
[解析] 最小正周期T＝＝6，
∵f(x)过(0，1)，则1＝2sinφ，
又|φ|<，∴φ＝，故选A.
3．点P从(1，0)出发，沿单位圆x2＋y2＝1逆时针方向旋转π弧长到达Q点，则Q点的坐标为( )
A．
B．
C．
D．
[答案] A
[解析] 当逆时针旋转π后，Q点坐标为，即.
4．如图所示为一简谐振动的图像，则下列判断正确的是( )
A．该质点的振动周期为0.7 s
B．该质点的振幅为5 cm
C．该质点在0.1 s和0.5 s时振动速度最大
D．该质点在0.3 s和0.7 s时的加速度为零
[答案] B
[解析] 由图像可知，＝0.7－0.3＝0.4，
∴T＝0.8(s)，故A错，显然振幅A＝5cm，故B正确；
该质点在0.1s和0.5s时振动速度为0，故C错；
在0.3s和0.7s时，加速度改变方向，且不为0，故D错．
5．一根长lcm的线，一端固定，另一端悬挂一个小球，小球摆动时离开平衡位置的位移s(cm)与时间t(s)的函数关系式是s＝3cos(t＋)，其中g是重力加速度，当小球摆动的周期是1s时，线长l等于( )
A．
B．
C．
D．
[答案] D
[解析] 因为周期T＝，
所以＝＝2π.则l＝.
6．据市场调查，某种商品一年内每件出厂价在7千元的基础上，按月呈f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋b(A>0，ω>0，|φ|<)的模型波动(x为月份)，已知3月份达到最高价9千元，7月份价格最低为5千元，根据以上条件可确定f(x)的解析式为( )
A．f(x)＝2sin(x－)＋7(1≤x≤12，x∈N＋)
B．f(x)＝9sin(x－)(1≤x≤12，x∈N＋)
C．f(x)＝2sinx＋7(1≤x≤12，x∈N＋)
D．f(x)＝2sin(x＋)＋7(1≤x≤12，x∈N＋)
[答案] A
[解析] 令x＝3可排除选项D；令x＝7可排除选项B；由A＝＝2可排除选项C；或由题意，可得A＝＝2，b＝7，周期T＝＝2×(7－3)＝8，∴ω＝.
∴f(x)＝2sin(x＋φ)＋7.
∵当x＝3时，y＝9，
∴2sin(＋φ)＋7＝9，即sin(＋φ)＝1.
∵|φ|<，∴φ＝－.
∴f(x)＝2sin(x－)＋7(1≤x≤12，x∈N＋)．
二、填空题
7．设函数f(x)＝2sin(x＋)，若对任意x∈R，都有f(x1)≤f(x)≤f(x2)成立，则|x1－x2|的最小值是________．
[答案] 2
[解析] 由题意知f(x1)只能恒等于－2，f(x2)只能恒等于2，最小正周期T＝4.
∴|x1－x2|min＝＝2.
8．弹簧振子以O点为平衡位置，在B、C间做简谐振动，B、C相距20cm，某时刻振子处在B点，经0.5s振子首次达到C点，则振子在5秒内通过的路程及5s末相对平衡位置的位移大小分别为____________．
[答案] 2m、10cm
[解析] 设振幅为A，则2A＝20cm，A＝10cm，
设周期为T，则＝0.5s，T＝1s.
振子在1T内通过的路程为4A，故在t＝5s＝5T内通过的路程S＝5×4A＝20A＝20×10cm＝2m.
5s末振子处在B点，所以它相对平衡位置的位移是10cm.
三、解答题
9．单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位置的距离s(cm)和时间t(s)的函数关系为s＝6sin(2πt＋)．
(1)作出它的图像．
(2)单摆开始摆动(t＝0)时，离开平衡位置多少厘米？
(3)单摆摆动到最右边时，离开平衡位置多少厘米？
(4)单摆来回摆动一次需要多少时间？
[解析] (1)列表如下：
t
…
0
…
2πt＋
…
π
2π
…
s
…
3
6
0
－6
0
…
描点并用光滑的曲线连接这些点，再向左或向右平移k(k∈Z)个单位长度，得函数s＝6sin(2πt＋)的图像，如图所示．
(2)当t＝0时，s＝6sin＝3，即单摆开始摆动时，离开平衡位置3cm.
(3)s＝6sin(2πt＋)的振幅为6，所以单摆摆动到最右边时，离开平衡位置6cm.
(4)s＝6sin(2πt＋)的周期T＝＝1，所以单摆来回摆动一次需要的时间为1s.
能力提升
一、选择题
1．设y＝f(t)是某港口水的深度y(米)关于时间t(时)的函数，其中0≤t≤24.下表是该港口某一天从0至24时记录的时间t与水深y的关系：
t
0
3
6
9
12
15
18
21
24
y
12
15.1
12.1
9.1
11.9
14.9
11.9
8.9
12.1
经长期观察，函数y＝f(t)的图像可以近似地看成函数y＝k＋Asin(ωt＋φ)的图像．在下面的函数中，最能近似表示表中数据间对应关系的函数是( )
A．y＝12＋3sint，t∈[0，24]
B．y＝12＋3sin(t＋π)，t∈[0，24]
C．y＝12＋3sint，t∈[0，24]
D．y＝12＋3sin(t＋)，t∈[0，24]
[答案] A
[解析] 解法一：由上表可知：ymax≈15，ymin≈9，
所以A＝＝3，
又可知周期T＝12，所以ω＝，代入t＝0可得φ＝0，k＝15－3＝12，故y＝12＋3sint，t∈[0，24]．因此选A.
解法二：该题可直接由上表得到周期T＝12，
又由t＝0时，y＝12，可知φ＝0.
2．如图，设点A是单位圆上的一定点，动点P从点A出发在圆上按逆时针方向旋转一周，点P所旋转过的弧的长为l，弦AP的长为d，则函数d＝f(l)的图像大致是( )
[答案] C
[解析] 为单位圆上的弧长，
∴l＝∠POA，过O作PA的垂线，且平分∠POA，则由解直角三角形得|PA|＝2sin，即d＝2sin，其图像是周期为4π的正弦曲线，故选C.
二、填空题
3．电流强度I(安培)随时间t(秒)变化的函数I＝Asin(ωt＋φ)的图像如图所示，则当t＝(秒)时电流强度为________．
[答案] 0
[解析] 由题图知，＝－＝，
∴T＝，即ω＝100π，A＝10.
又t＝时，I取最大值，
则有10＝10sin(×100π＋φ)，
解得φ＝，
即I＝10sin(100πt＋)．
令t＝，则I＝10sin(100π×＋)＝10sin6π＝0.
4．已知某游乐园内摩天轮的中心点O距离地面的高度为50m，摩天轮做匀速转动，摩天轮上的一点P自最低点A起，经过tmin后，点P的高度h＝40sin＋50(单位：m)，那么在摩天轮转动一圈的过程中，点P的高度在距地面70m以上的时间将持续________分钟．
[答案] 4
[解析] 依题，即40sin＋50≥70，
即cost≤－，从而在一个周期内持续的时间为≤t≤，4≤t≤8，即持续时间为4分钟．
三、解答题
5．如图所示，某地一天从0～10时的温度变化曲线近似地满足函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b，其中A>0，ω>0，－π<φ<0.
(1)求这一天0～10时的最大温差；
(2)写出这段曲线的函数解析式．
[解析] (1)由图可知，这一天0～10时的最高温度是20℃，最低温度是0℃，则最大温差是20℃－0℃＝20℃.
(2)由图可以看出，从1～9时是半个周期，
则周期T＝2(9－1)＝16，∴＝16，解得ω＝.
解方程组得A＝10，b＝10，
则有y＝10sin(x＋φ)＋10，∴sin(＋φ)＝－1.
又－π<φ<0，则φ＝－，
综上，所求解析式为y＝10sin(x－)＋10，x∈[0，10]．
6．已知电流I与时间t的关系式为I＝Asin(ωt＋φ)．
(1)下图是I＝Asin(ωt＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<)在一个周期内的图像，根据图中数据求I＝Asin(ωt＋φ)的解析式；
(2)如果t在任意一段秒的时间内，电流I＝Asin(ωt＋φ)都能取得最大值，那么ω的最小正整数值是多少？
[解析] (1)因为周期T＝2[－(－)]＝，
ω＝＝150π，
又A＝300，所以I＝300sin(150πt＋φ)．
将点(－，0)的坐标代入上式，得sin(φ－)＝0，
由于|φ|<，所以φ－＝0，φ＝，
即所求的解析式为I＝300sin(150πt＋)．
(2)如果t在任意一段秒的时间内，电流I＝Asin(ωt＋φ)都能取得最大值，必满足区间长度至少包含一个周期，即≥，ω≥300π≈942.3，所以ω的最小正整数值是943.
7．如图所示，点O为做简谐运动的物体的平衡位置，取向右的方向为物体位移的正方向，若已知振幅为3cm，周期为3s，且物体向右运动到A点(距平衡位置最远处)开始计时．
(1)求物体离开平衡位置的位移x(cm)和时间t(s)之间的函数关系式；
(2)求该物体在t＝5s时的位置．
[解析] (1)设位移x(cm)和时间t(s)之间的函数关系式为x＝3sin(ωt＋φ)(ω>0，0≤φ<2π)，
则由T＝＝3，得ω＝.
当t＝0时，有x＝3sinφ＝3，∴sinφ＝1.
又0≤φ<2π，故可得φ＝.
从而所求的函数关系式是x＝3sin
(t＋)，
即为x＝3cost.
(2)令t＝5，得x＝3cos＝－1.5，故该物体在t＝5s时的位置是在O点左侧且距O点1.5cm处．
三角函数的简单应用
同步练习
基础巩固
一、选择题
1.如图所示的半径为3 m的水轮，水轮圆心O距离水面2 m，已知水轮自点B开始1 min旋转4圈，水轮上的点P到水面距离y(m)与时间x(s)满足函数关系y＝Asin(ωx＋φ)＋2，则有( )
A．ω＝，A＝3
B．ω＝，A＝3
C．ω＝，A＝5
D．ω＝，A＝5
[答案] A
[解析] ∵1min旋转4圈，∴1圈需min，
即T＝＝15(s)．
又∵T＝，∴＝＝15，∴ω＝.
又∵P到水面的最大距离为5 m，
∴函数最大值为5 m，故A＝3.
2．已知简谐运动f(x)＝2sin的图像经过点(0，1)，则该简谐运动的最小正周期T和φ分别为( )
A．T＝6，φ＝
B．T＝6，φ＝
C．T＝6π，φ＝
D．T＝6π，φ＝
[答案] A
[解析] 最小正周期T＝＝6，
∵f(x)过(0，1)，则1＝2sinφ，
又|φ|<，∴φ＝，故选A.
3．点P从(1，0)出发，沿单位圆x2＋y2＝1逆时针方向旋转π弧长到达Q点，则Q点的坐标为( )
A．
B．
C．
D．
[答案] A
[解析] 当逆时针旋转π后，Q点坐标为，即.
4．如图所示为一简谐振动的图像，则下列判断正确的是( )
A．该质点的振动周期为0.7 s
B．该质点的振幅为5 cm
C．该质点在0.1 s和0.5 s时振动速度最大
D．该质点在0.3 s和0.7 s时的加速度为零
[答案] B
[解析] 由图像可知，＝0.7－0.3＝0.4，
∴T＝0.8(s)，故A错，显然振幅A＝5cm，故B正确；
该质点在0.1s和0.5s时振动速度为0，故C错；
在0.3s和0.7s时，加速度改变方向，且不为0，故D错．
5．一根长lcm的线，一端固定，另一端悬挂一个小球，小球摆动时离开平衡位置的位移s(cm)与时间t(s)的函数关系式是s＝3cos(t＋)，其中g是重力加速度，当小球摆动的周期是1s时，线长l等于( )
A．
B．
C．
D．
[答案] D
[解析] 因为周期T＝，
所以＝＝2π.则l＝.
6．据市场调查，某种商品一年内每件出厂价在7千元的基础上，按月呈f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋b(A>0，ω>0，|φ|<)的模型波动(x为月份)，已知3月份达到最高价9千元，7月份价格最低为5千元，根据以上条件可确定f(x)的解析式为( )
A．f(x)＝2sin(x－)＋7(1≤x≤12，x∈N＋)
B．f(x)＝9sin(x－)(1≤x≤12，x∈N＋)
C．f(x)＝2sinx＋7(1≤x≤12，x∈N＋)
D．f(x)＝2sin(x＋)＋7(1≤x≤12，x∈N＋)
[答案] A
[解析] 令x＝3可排除选项D；令x＝7可排除选项B；由A＝＝2可排除选项C；或由题意，可得A＝＝2，b＝7，周期T＝＝2×(7－3)＝8，∴ω＝.
∴f(x)＝2sin(x＋φ)＋7.
∵当x＝3时，y＝9，
∴2sin(＋φ)＋7＝9，即sin(＋φ)＝1.
∵|φ|<，∴φ＝－.
∴f(x)＝2sin(x－)＋7(1≤x≤12，x∈N＋)．
二、填空题
7．设函数f(x)＝2sin(x＋)，若对任意x∈R，都有f(x1)≤f(x)≤f(x2)成立，则|x1－x2|的最小值是________．
[答案] 2
[解析] 由题意知f(x1)只能恒等于－2，f(x2)只能恒等于2，最小正周期T＝4.
∴|x1－x2|min＝＝2.
8．弹簧振子以O点为平衡位置，在B、C间做简谐振动，B、C相距20cm，某时刻振子处在B点，经0.5s振子首次达到C点，则振子在5秒内通过的路程及5s末相对平衡位置的位移大小分别为____________．
[答案] 2m、10cm
[解析] 设振幅为A，则2A＝20cm，A＝10cm，
设周期为T，则＝0.5s，T＝1s.
振子在1T内通过的路程为4A，故在t＝5s＝5T内通过的路程S＝5×4A＝20A＝20×10cm＝2m.
5s末振子处在B点，所以它相对平衡位置的位移是10cm.
三、解答题
9．单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位置的距离s(cm)和时间t(s)的函数关系为s＝6sin(2πt＋)．
(1)作出它的图像．
(2)单摆开始摆动(t＝0)时，离开平衡位置多少厘米？
(3)单摆摆动到最右边时，离开平衡位置多少厘米？
(4)单摆来回摆动一次需要多少时间？
[解析] (1)列表如下：
t
…
0
…
2πt＋
…
π
2π
…
s
…
3
6
0
－6
0
…
描点并用光滑的曲线连接这些点，再向左或向右平移k(k∈Z)个单位长度，得函数s＝6sin(2πt＋)的图像，如图所示．
(2)当t＝0时，s＝6sin＝3，即单摆开始摆动时，离开平衡位置3cm.
(3)s＝6sin(2πt＋)的振幅为6，所以单摆摆动到最右边时，离开平衡位置6cm.
(4)s＝6sin(2πt＋)的周期T＝＝1，所以单摆来回摆动一次需要的时间为1s.
能力提升
一、选择题
1．设y＝f(t)是某港口水的深度y(米)关于时间t(时)的函数，其中0≤t≤24.下表是该港口某一天从0至24时记录的时间t与水深y的关系：
t
0
3
6
9
12
15
18
21
24
y
12
15.1
12.1
9.1
11.9
14.9
11.9
8.9
12.1
经长期观察，函数y＝f(t)的图像可以近似地看成函数y＝k＋Asin(ωt＋φ)的图像．在下面的函数中，最能近似表示表中数据间对应关系的函数是( )
A．y＝12＋3sint，t∈[0，24]
B．y＝12＋3sin(t＋π)，t∈[0，24]
C．y＝12＋3sint，t∈[0，24]
D．y＝12＋3sin(t＋)，t∈[0，24]
[答案] A
[解析] 解法一：由上表可知：ymax≈15，ymin≈9，
所以A＝＝3，
又可知周期T＝12，所以ω＝，代入t＝0可得φ＝0，k＝15－3＝12，故y＝12＋3sint，t∈[0，24]．因此选A.
解法二：该题可直接由上表得到周期T＝12，
又由t＝0时，y＝12，可知φ＝0.
2．如图，设点A是单位圆上的一定点，动点P从点A出发在圆上按逆时针方向旋转一周，点P所旋转过的弧的长为l，弦AP的长为d，则函数d＝f(l)的图像大致是( )
[答案] C
[解析] 为单位圆上的弧长，
∴l＝∠POA，过O作PA的垂线，且平分∠POA，则由解直角三角形得|PA|＝2sin，即d＝2sin，其图像是周期为4π的正弦曲线，故选C.
二、填空题
3．电流强度I(安培)随时间t(秒)变化的函数I＝Asin(ωt＋φ)的图像如图所示，则当t＝(秒)时电流强度为________．
[答案] 0
[解析] 由题图知，＝－＝，
∴T＝，即ω＝100π，A＝10.
又t＝时，I取最大值，
则有10＝10sin(×100π＋φ)，
解得φ＝，
即I＝10sin(100πt＋)．
令t＝，则I＝10sin(100π×＋)＝10sin6π＝0.
4．已知某游乐园内摩天轮的中心点O距离地面的高度为50m，摩天轮做匀速转动，摩天轮上的一点P自最低点A起，经过tmin后，点P的高度h＝40sin＋50(单位：m)，那么在摩天轮转动一圈的过程中，点P的高度在距地面70m以上的时间将持续________分钟．
[答案] 4
[解析] 依题，即40sin＋50≥70，
即cost≤－，从而在一个周期内持续的时间为≤t≤，4≤t≤8，即持续时间为4分钟．
三、解答题
5．如图所示，某地一天从0～10时的温度变化曲线近似地满足函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b，其中A>0，ω>0，－π<φ<0.
(1)求这一天0～10时的最大温差；
(2)写出这段曲线的函数解析式．
[解析] (1)由图可知，这一天0～10时的最高温度是20℃，最低温度是0℃，则最大温差是20℃－0℃＝20℃.
(2)由图可以看出，从1～9时是半个周期，
则周期T＝2(9－1)＝16，∴＝16，解得ω＝.
解方程组得A＝10，b＝10，
则有y＝10sin(x＋φ)＋10，∴sin(＋φ)＝－1.
又－π<φ<0，则φ＝－，
综上，所求解析式为y＝10sin(x－)＋10，x∈[0，10]．
6．已知电流I与时间t的关系式为I＝Asin(ωt＋φ)．
(1)下图是I＝Asin(ωt＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<)在一个周期内的图像，根据图中数据求I＝Asin(ωt＋φ)的解析式；
(2)如果t在任意一段秒的时间内，电流I＝Asin(ωt＋φ)都能取得最大值，那么ω的最小正整数值是多少？
[解析] (1)因为周期T＝2[－(－)]＝，
ω＝＝150π，
又A＝300，所以I＝300sin(150πt＋φ)．
将点(－，0)的坐标代入上式，得sin(φ－)＝0，
由于|φ|<，所以φ－＝0，φ＝，
即所求的解析式为I＝300sin(150πt＋)．
(2)如果t在任意一段秒的时间内，电流I＝Asin(ωt＋φ)都能取得最大值，必满足区间长度至少包含一个周期，即≥，ω≥300π≈942.3，所以ω的最小正整数值是943.
7．如图所示，点O为做简谐运动的物体的平衡位置，取向右的方向为物体位移的正方向，若已知振幅为3cm，周期为3s，且物体向右运动到A点(距平衡位置最远处)开始计时．
(1)求物体离开平衡位置的位移x(cm)和时间t(s)之间的函数关系式；
(2)求该物体在t＝5s时的位置．
[解析] (1)设位移x(cm)和时间t(s)之间的函数关系式为x＝3sin(ωt＋φ)(ω>0，0≤φ<2π)，
则由T＝＝3，得ω＝.
当t＝0时，有x＝3sinφ＝3，∴sinφ＝1.
又0≤φ<2π，故可得φ＝.
从而所求的函数关系式是x＝3sin
(t＋)，
即为x＝3cost.
(2)令t＝5，得x＝3cos＝－1.5，故该物体在t＝5s时的位置是在O点左侧且距O点1.5cm处．