1.9 三角函数的简单应用 同步练习3（含答案）

1.9
三角函数的简单应用
同步练习
基础巩固训练（30分钟
50分）
一、选择题(每小题4分，共16分)
1.电流I(A)随时间t(s)变化的关系是I=2sin100πt，t∈(0，+∞)，则电流I变化的周期是　(　　)
A.
B.100
C.
D.50
【解析】选C.由题意知，T===.
2.某人的血压满足函数关系式f(t)=24sin(160πt)+110，其中f(t)为血压，t为时间，则此人每分钟心跳的次数为　(　　)
A.60
B.70
C.80
D.90
【解题指南】本题的实质是求函数的频率.
【解析】选C.T==，所以频率f=80.
3.如图为一半径r为3米的水轮，水轮圆心O距离水面2米，已知水轮每分钟旋转4圈，水轮上的点P到水面的距离y(米)与时间x(秒)满足函数关系y=
Asin(ωx+φ)+2，则有　(　　)
A.ω=，A=3
B.ω=，A=3
C.ω=，A=5
D.ω=，A=5
【解析】选B.水轮每分钟旋转4圈，即每秒钟旋转πrad，所以ω=π.
又水轮上最高点离水面的距离为r+2=5(米)，即ymax=A+2=5，所以A=3.
【变式训练】如图，一个大风车的半径是8米，每12分钟旋转一周，最低点离地面2米，若风车翼片从最低点按逆时针方向开始旋转，则该翼片的端点P离地面的距离h(米)与时间t(分钟)之间的函数解析式是　(　　)
A.h=8cost+10
B.h=-8cost+10
C.h=-8sint+10
D.h=-8cost+10
【解析】选D.首先考虑建立直角坐标系，以最低点的切线作为x轴，最低点作为坐标原点，建立如图所示的直角坐标系.
那么，风车上翼片端点所在位置P可由函数x(t)，y(t)来刻画，而且h(t)=y(t)+2.
所以，只需要考虑y(t)的解析式.又设P的初始位置在最低点，即y(0)=0.
在Rt△O1PQ中，由cosθ=，
得y(t)=-8cosθ+8.
又=，所以θ=t，y(t)=-8cost+8，
h(t)=-8cost+10.
4.稳定房价是我国今年实施宏观调控的重点，国家最近出台的一系列政策已对各地的房地产市场产生了影响.北京市某房地产介绍所对本市一楼群在今年的房价进行了统计与预测:发现每个季度的平均单价y(每平方米面积的价格，单位为元)与第x季度之间近似满足:y=500sin(ωx+φ)+9500(φ>0)，已知第一、二季度平均单价如下表所示:
x
1
2
3
y
10
000
9
500
？
则此楼群在第三季度的平均单价大约是　(　　)
A.10000元
B.9500元
C.9000元
D.8500元
【解析】选C.由表格数据可知，10000=500sin(ω+φ)+9500，
9500=500sin(2ω+φ)+9500，
所以sin(ω+φ)=1，sin(2ω+φ)=0；
ω+φ=2k1π+(k1∈Z)，①
2ω+φ=2k2π+π(k2∈Z)，②
②×2-①得3ω+φ=4k2π-2k1π+
=2k3π+(k3∈Z)，
所以x=3时，y=500sin+9500=9000(元).故选C.
二、填空题(每小题5分，共10分)
5.有一种波，其波形为函数y=sin的图像，若在区间[0，t](t>0)上至少有2个波峰(图像的最高点)，则正整数t的最小值是　　　　.
【解析】因为函数y=sin的周期T=4，y=sin的图像在[0，t]上至少有2个波峰，所以t≥T=5，故正整数t的最小值是5.
答案:5
6.某同学利用描点法画函数y=Asin(ωx+φ)的图像，列出的一组数据如下表:
x
0
1
2
3
4
y
1
0
1
-1
-2
经检查，发现表格中恰有一组数据计算错误，请你根据上述信息推断函数y=Asin(ωx+φ)的解析式应是　　　　　　　.
【解析】因为(0，1)和(2，1)关于直线x=1对称，
故x=1与函数图像的交点应是最高点或最低点，
故数据(1，0)错误，从而由(4，-2)在图像上知A=2，
由过(0，1)点知2sinφ=1，
因为-<φ<，所以φ=，
所以y=2sin，再将点(2，1)代入得，2sin=1，
所以2ω+=+2kπ或2ω+=+2kπ，k∈Z，
因为0<ω<2，所以ω=，
所以函数解析式为y=2sin.
答案:y=2sin
三、解答题(每小题12分，共24分)
7.以一年为一个周期调查某商品出厂价格及该商品在商店的销售价格时发现:该商品的出厂价格是在6元基础上按月份随正弦曲线波动的，已知3月份出厂价格最高为8元，7月份出厂价格最低为4元，而该商品在商店的销售价格是在8元基础上按月随正弦曲线波动的，并已知5月份销售价最高为10元，9月份销售价最低为6元，假设某商店每月购进这种商品m件，且当月售完，请估计哪个月盈利最大？并说明理由.
【解析】由条件可得:出厂价格函数为y1=2sin+6，
销售价格函数为y2=2sin+8，
则利润函数为:
y=m(y2-y1)=m2sin+8-2sin-6=m(2-2sinx)，
所以，当x=6时，y=(2+2)m，即6月份盈利最大.
8.如图表示电流I与时间t的函数解析式:I=Asin(ωt+φ)在同一周期内的图像.
(1)根据图像写出I=Asin(ωt+φ)的解析式.
(2)为了使I=Asin(ωt+φ)中t在任意-段秒的时间内电流I能同时取得最大值和最小值，那么正整数ω的最小值是多少？
【解题指南】先由图中的数据观察出函数的最值、周期，从而确定A，ω，再代入图像中的一个点的坐标求φ；根据(1)求出的解析式，列出不等式求ω的范围后确定最小值.
【解析】(1)由图知A=300，t1=-，t3=，
因为T=2(t3-t1)=2=，
所以ω==100π.
由ωt1+φ=0得φ=-ωt1=，
所以I=300sin.
(2)问题等价于≤，即≤，
所以ω≥100π，所以正整数ω的最小值为314.
能力提升训练（30分钟
50分）
一、选择题(每小题4分，共12分)
1.车流量被定义为单位时间内通过十字路口的车辆数，单位为辆/分，上班高峰期某十字路口的车流量由函数F
(t)=50+4sin(0≤t≤20)给出，F(t)的单位是辆/分，t的单位是分，则下列哪个时间段内车流量是增加的　
(　　)
A.[0，5]
B.[5，
10]
C.[10，15]
D.[15，20]
【解析】选C.由2kπ-≤≤2kπ+得4kπ-π≤t≤4kπ+π(k∈Z)，由于0≤t≤20，所以0≤t≤π或3π≤t≤5π，从而车流量在时间段[10，15]内是增加的.
2.绳子绕在半径为50cm的轮圈上，绳子的下端B处悬挂着物体W，如果轮子按逆时针方向每分钟匀速旋转4圈，那么把物体W的位置向上提升100cm需要　(　　)
A.s
B.s
C.s
D.s
【解析】选A.设需x秒上升100cm.
则×4×2π×50=100，
所以x=.
3.海水受日月的引力作用，在一定的时候发生涨落的现象叫潮.一般地，早潮叫潮，晚潮叫汐.在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近码头；卸货后，在落潮时返回海洋.下面是港口在某季节每天的时间与水深关系的表格:
时刻
0:00
3:00
6:00
9:00
12:00
15:00
18:00
21:00
24:00
水深
5.0
7.5
5.0
2.5
5.0
7.5
5.0
2.5
5.0
选用函数y=Asin(ωx+φ)+b(A>0，ω>0)来模拟港口的水深与时间的关系.如果一条货船的吃水深度是4米，安全条例规定至少有2.25米的安全间隙(船底与洋底的距离)，则该船一天之内在港口内呆的时间总和为　　小时.　(　　)
A.10
B.8
C.6
D.4
【解析】选B.由题意可得y=2.5sinx+5(0≤x≤24)，则2.5sinx+5≥6.25，
sinx≥，2kπ+≤x≤+2kπ，k∈Z，
即12k+1≤x≤5+12k，该船可以1点进港，5点离港，或13点进港，17点离港，在港口内呆的时间总和为4+4=8小时.
二、填空题(每小题4分，共8分)
4.如图，点P是半径为r的砂轮边缘上的一个质点，它从初始位置P0开始，按逆时针方向以角速度ω(rad/s)做圆周运动，则点P的纵坐标y关于时间t的函数关系式为　　　　.
【解析】当质点P从P0转到点P位置时，点P转过的角度为ωt，则∠POx=ωt+φ，由任意角的三角函数定义知P点的纵坐标y=rsin(ωt+φ).
答案:y=rsin(ωt+φ)
5.一观览车的主架示意图如图所示，其中O为轮轴的中心，距地面32m(即OM长)，巨轮的半径为30m，AM=BP=2m，巨轮逆时针旋转且每12min转动一圈.若点M为吊舱P的初始位置，经过tmin，该吊舱P距离地面的高度为hm，则h=　　　　.
【解析】过点O作地面的平行线ON，过点B作ON的垂线BM交ON于M点.点A在☉O上逆时针运动的角速度是=，所以tmin转过的弧度数为t，设θ=t，当θ>时，∠BOM=θ-，h=OA+BM=30+30sinθ-，当0<θ≤时，上述关系式也适合.故h=30+30sin=30sin+30.
答案:30sin+30
三、解答题(每小题10分，共20分)
6.如图，某地一天从6～14时的温度变化曲线近似满足函数y=Asin(ωx+φ)+b.
(1)求这一天6～14时的最大温差.
(2)写出这段曲线的函数解析式.
【解析】(1)由图可知:这段时间的最大温差是20℃.
(2)从图可以看出:从6～14是y=Asin(ωx+φ)+b的半个周期的图像，
所以=14-6=8，
所以T=16，
因为T=，
所以ω=，
又因为
所以
所以y=10sin+20，
将点(6，10)代入得:sin=-1，
所以+φ=2kπ+，k∈Z，
所以φ=2kπ+，k∈Z，可取φ=，
所以y=10sin+20(6≤x≤14).
【拓展延伸】三角函数的建模问题关键点
(1)解决实际问题时的关键是观察出周期性，搜集数据，作出相应的散点图.
(2)求解的关键是能抽象出三角函数模型，解决的步骤是:审题，建模，求解，还原.
7.某种型号汽车的四个轮胎半径相同，均为R=40cm，该车的底盘与轮胎中心在同一水平面上.该车的涉水安全要求是:水面不能超过它的底盘高度.如图所示:某处有一“坑形”地面，其中坑ABC形成顶角为120°的等腰三角形，且AB=BC=60cm，如果地面上有h(cm)(h<40)高的积水(此时坑内全是水，其他因素忽略不计).
(1)当轮胎与AB，BC同时接触时，求证:此轮胎露在水面外的高度(从轮胎最上部到水面的距离)为d=10+-h.
(2)假定该汽车能顺利通过这个坑(指汽车在过此坑时，符合涉水安全要求)，求h的最大值.(精确到1cm)
【解析】(1)当轮胎与AB，BC同时接触时，
设轮胎与AB边的切点为T，
轮胎中心为O，
则|OT|=40，
由∠ABC=120°，知∠OBT=60°，
故|OB|=.
所以，从B点到轮胎最上部的距离为+40，
此轮胎露在水面外的高度为d=+40-(60·cos60°+h)=+10-h=10+-h，得证.
(2)只要d≥40，即+10-h≥40，解得h≤16cm，所以h的最大值为16cm.
【变式训练】单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位置的距离s(厘米)和时间t(s)的关系式为s=6sin.
(1)作出它的图像.
(2)单摆开始摆动(t=0)时，离开平衡位置多少厘米？
(3)单摆摆到最右边时，离开平衡位置多少厘米？
【解析】(1)列表如下:
t(s)
0
s(厘米)
3
6
0
-6
0
描点作图.
(2)t=0时，s=3厘米，此时离开平衡位置3厘米.
(3)离开平衡位置6厘米.