专题04 导数在研究函数中的应用-2016-2017学年高二数学（文）百所名校好题速递分项解析汇编（选修1-1） Word版含解析
文档属性
| 名称 | 专题04 导数在研究函数中的应用-2016-2017学年高二数学（文）百所名校好题速递分项解析汇编（选修1-1） Word版含解析 |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 577.8KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教新课标A版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2016-12-28 17:01:21 | ||
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文档简介
2016-2017学年高二数学（文）（选修1-1）百所名校速递分项汇编
选择题
1.【江西省新余市第一中学2016-2017学年高二上学期入学考试数学试题】已知函数f（x）=x2﹣2cosx，对于上的任意x1，x2，有如下条件：①x1＞x2；②；
③|x1|＞x2；④x1＞|x2|，其中能使恒成立的条件个数共有（
）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
【答案】C
【解析】
考点：利用导数研究函数的单调性；函数的奇偶性．
2.【辽宁省东北育才学校2015-2016学年高二下学期第二阶段考试数学（文）试题】记函数在的值域在的值域为，若,则实数的取值范围是（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】
考点：函数的值域及导数的应用与集合关系．
3.【辽宁省东北育才学校2015-2016学年高二下学期第二阶段考试数学（文）试题】已知正实数满足，则的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】
考点：对数的运算性质及利用导数研究函数在定区间上的值域．
【方法点睛】本题主要考查了对数的运算性质及利用导数研究函数在定区间上的值域问题，考查了考生的推理能力和利用所学知识解决问题的能力，属于中档题.本题解答的关键是根据对数的运算把变形为，通过换元转化为函数，并求得其定义域，通过导数研究其单调性，求出最值.
4.【湖南省衡阳市第八中学2015-2016学年高二下学期期末考试数学（文）试题】已知函数，若，则的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】
考点：函数的图象．
【易错点睛】画函数图象的一般方法：(1)直接法：当函数表达式(或变形后的表达式)是熟悉的基本函数时，就可根据这些函数的特征直接作出．(2)图象变换法：若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、翻折、对称得到，可利用图象变换作出，但要注意变换顺序，对不能直接找到熟悉的基本函数的要先变形，并应注意平移变换与伸缩变换的顺序对变换单位及解析式的影响．
5.【湖北省荆州市2015-2016学年高二下学期质量检测数学试题】已知函数（）在定义域上为单调递增函数，则的最小值是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】
试题分析：由题意知函数定义域为，，因为函数（）在定义域上为单调递增函数在定义域上恒成立，转化为在恒成立，，故选A.
考点：导数与函数的单调性．
6.【辽宁省东北育才学校2015-2016学年高二下学期第二阶段考试数学（文）试题】已知的定义在的函数，对任意两个不相等的正数，都有，记，则（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】
考点：单调性的定义及利用导数研究函数的单调性．
7.【四川省成都市石室中学2015-2016学年高二下学期期中考试数学（文）试题】设奇函数在上存在导数,且在上,若,则实数的取值范围为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
试题分析：令，因为，所以函数的奇函数，因为时，，所以函数在为减函数，又题意可知，，所以函数在上为减函数，所以，即，所以，所以，故选B.
考点：函数的奇偶性及其应用.
【方法点晴】本题主要考查了函数的奇偶性及其应用，其中解答中涉及到利用导数求函数的单调性、利用导数研究函数的极值、以及函数的奇偶性的判定等知识点的综合考查，着重考查了转化与化归的思想方法，以及学生的推理与运算能力，属于中档试题，解答中得出函数的奇函数和函数的单调性是解答的关键.
填空题
8.【湖北省荆州市2015-2016学年高二下学期质量检测数学试题】已知函数，是函数的一个极值点，则实数
．
【答案】
【解析】
试题分析：．
考点：导数与极值．
9.【湖北省荆州市2015-2016学年高二下学期质量检测数学试题】已知函数，，其图象上任意一点处的切线的斜率恒成立，则实数的取值范围是
．
【答案】
【解析】
考点：导数的几何意义；不等式恒成立问题．
【易错点睛】本题主要考查了导数的几何意义；不等式恒成立问题等知识点求函数的切线方程的注意事项：(1)首先应判断所给点是不是切点，如果不是，要先设出切点．(2)切点既在原函数的图象上也在切线上，可将切点代入两者的函数解析式建立方程组．(3)在切点处的导数值就是切线的斜率，这是求切线方程最重要的条件．
解答题
10.【江西省新余市第一中学2016-2017学年高二上学期入学考试数学试题】已知函数
是奇函数，且满足．
（1）求实数的值；
（2）若，函数的图像上是否存在不同的两点，使过这两点的直线平行于轴：请说明
理由；
（3）是否存在实数同时满足以下两个条件：①不等式对恒成立，②方程
在上有解．若存在，求出实数的取值范围，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
；(2)；（3）．
【解析】
（2）由（1）知，，
任取，且，
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分
∵，∴，
∴，
所以，函数在区间单调递增，
所以在区间任取则必有故函数的图象在区间不存在不同的两点使过两点的直线平行于轴．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．9分
考点：函数的奇偶性的性质；根的存在性及根的个数的判定．
【方法点晴】本题主要考查了函数的奇偶性的性质、根的存在性及根的个数的判定，同时涉及到函数的单调性与函数的值域等知识的应用，解答中根据的单调性，求出函数的值域，若方程在有解，求得，列出同时满足条件①②的不等式组，即可求解的取值范围是解答关键，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，属于难题．
11.【新疆哈密地区第二中学2015-2016学年高二下学期期末考试数学（文）试题】已知函数.
（1）讨论的单调性；
（2）若有两个零点，求的取值范围.
【答案】(1)当时，在单调递减，在单调递增，当时，在单调递增，在单调递减，当时，在单调递增，当时，在单调递增，在单调递减；(2)．
【解析】
③若，则，故当时，，当时，，所以在单调递增，在单调递减.
(2)(i)设，则由(I)知，在单调递减，在单调递增.
又，取b满足b<0且，
则，所以有两个零点.
(ii)设a=0，则所以有一个零点.
(iii)设a<0，若，则由(I)知，在单调递增.
又当时，<0，故不存在两个零点；若，则由(I)知，在单调递减，在单调递增.又当时<0，故不存在两个零点.
综上，a的取值范围为.
考点：利用导数研究函数的单调性；函数的零点判定定理．
【方法点晴】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性、函数的零点判定定理，其中解答中涉及到导数的运算、不等式的求解等知识点的考查，解答中求出的导数，讨论当，和三种情况分类讨论是解答关键，着重考查了分类讨论思想和函数与方程思想，以及转化与化归思想，试题有一定的难度，属于难题．
12.【重庆市第八中学2015-2016学年高二暑期周末阶段性检测（十）数学（文）试题】已知函数．
（1）当时，求函数的单调区间；
（2）当时，若函数有两个极值点，不等式恒成立，求实数的
取值范围．
【答案】（1）函数的单调递增区间为，单调递减区间为；（2）．
【解析】
试题解析：
（1）当时，
；
∴．
．．．．．2分
又函数的定义域为，
令，解得，
令，解得．
．．．．．4分
当变化时，与的变化情况如下表：
0
0
单调递增
极大值
单调递减
极小值
单调递增
当时，函数有两个极值点，则，
．
．．．．．．．8分
由可得，
，
令．
．．．．．．10分
考点：1.函数的单调性与导数的关系；2.不等式的性质；3.函数的极值.
13.【四川省成都市石室中学2015-2016学年高二下学期期中考试数学（文）试题】已知函数.
（1）求的极小值；
（2）对恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）的极小值为；（2）．
【解析】
试题分析：（1）求解函数的导数，判定函数的单调性，即可求解的极小值；（2）当时,
恒成立，令，求解，得出函数的单调性，求解函数的最小值，即可求解实数的取值范围.
试题解析：（1）
极小值
的极小值为.
（2）当时,
恒成立.
令,则,
极小值
,实数的取值范围是.
考点：利用导数研究函数的单调性与极值；恒成立问题的求解.
14.【贵州省思南中学2015-2016学年高二下学期期末考试数学（文）试题】已知函数．
（1）当时，求在区间上的最大值和最小值；
（2）若对恒成立，求的取值范围．
【答案】(1)
；(2)．
【解析】
又，
∴．
考点：利用求解函数的最值；利用导数研究函数的单调性．
【方法点晴】本题主要考查了利用导数求解函数的极值与最值、利用导数研究函数的单调性及其应用，属于中档试题，本题的解答中求出函数的导数，通过讨论的取值范围，确定函数的单调区间，从而求出函数的最大值和最小值，通过讨论的取值范围，确定函数的单调区间，从而求出的取值范围，着重考查了分类讨论思想及转化与化归思想的应用．
15.【辽宁省东北育才学校2015-2016学年高二下学期第二阶段考试数学（文）试题】已知函数f（x）=alnx+bx2﹣（b+a）x．
（Ⅰ）当a=1，b=0时，求f（x）的最大值；
（Ⅱ）当b=1时，设α，β是f（x）两个极值点，且α＜β，β∈（1，e]（其中e为自然对数的底数）．求
证：对任意的x1，x2∈α，β]，|f（x1）﹣f（x2）|＜1．
【答案】（I）；（II）证明见解析.
【解析】
（Ⅱ）证明：当b=1时，f（x）=alnx+x2﹣（1+a）x，
导数f′（x）=+x﹣（1+a）=（x＞0），
∵α，β是f（x）两个极值点，且α＜β，β∈（1，e]，
∴α=1，β=a，（1＜a≤e），
∴当1＜x＜a时，f′（x）＜0，即函数f（x）递减，
当x＞a或0＜x＜1，f′（x）＞0，即函数f（x）递增，
∵任意的x1，x2∈α，β]，则函数f（x）在该区间内是减函数，
考点：导数的意义在实际问题中的应用及函数的恒成立问题．
【方法点睛】本题主要考查了导数在研究函数中的综合应用，利用导数研究函数的单调性及极值、最值等，同时考查函数在一个区间内的任意两个函数值的差的绝对值不大于最大值与最小值的差，利用函数的单调性比较大小，是一道综合性较强的题目.本题即得的难点是第二问中转化后构造函数，通过研究其单调性求其最大值使得问题得证.
选择题
1.【江西省新余市第一中学2016-2017学年高二上学期入学考试数学试题】已知函数f（x）=x2﹣2cosx，对于上的任意x1，x2，有如下条件：①x1＞x2；②；
③|x1|＞x2；④x1＞|x2|，其中能使恒成立的条件个数共有（
）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
【答案】C
【解析】
考点：利用导数研究函数的单调性；函数的奇偶性．
2.【辽宁省东北育才学校2015-2016学年高二下学期第二阶段考试数学（文）试题】记函数在的值域在的值域为，若,则实数的取值范围是（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】
考点：函数的值域及导数的应用与集合关系．
3.【辽宁省东北育才学校2015-2016学年高二下学期第二阶段考试数学（文）试题】已知正实数满足，则的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】
考点：对数的运算性质及利用导数研究函数在定区间上的值域．
【方法点睛】本题主要考查了对数的运算性质及利用导数研究函数在定区间上的值域问题，考查了考生的推理能力和利用所学知识解决问题的能力，属于中档题.本题解答的关键是根据对数的运算把变形为，通过换元转化为函数，并求得其定义域，通过导数研究其单调性，求出最值.
4.【湖南省衡阳市第八中学2015-2016学年高二下学期期末考试数学（文）试题】已知函数，若，则的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】
考点：函数的图象．
【易错点睛】画函数图象的一般方法：(1)直接法：当函数表达式(或变形后的表达式)是熟悉的基本函数时，就可根据这些函数的特征直接作出．(2)图象变换法：若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、翻折、对称得到，可利用图象变换作出，但要注意变换顺序，对不能直接找到熟悉的基本函数的要先变形，并应注意平移变换与伸缩变换的顺序对变换单位及解析式的影响．
5.【湖北省荆州市2015-2016学年高二下学期质量检测数学试题】已知函数（）在定义域上为单调递增函数，则的最小值是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】
试题分析：由题意知函数定义域为，，因为函数（）在定义域上为单调递增函数在定义域上恒成立，转化为在恒成立，，故选A.
考点：导数与函数的单调性．
6.【辽宁省东北育才学校2015-2016学年高二下学期第二阶段考试数学（文）试题】已知的定义在的函数，对任意两个不相等的正数，都有，记，则（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】
考点：单调性的定义及利用导数研究函数的单调性．
7.【四川省成都市石室中学2015-2016学年高二下学期期中考试数学（文）试题】设奇函数在上存在导数,且在上,若,则实数的取值范围为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
试题分析：令，因为，所以函数的奇函数，因为时，，所以函数在为减函数，又题意可知，，所以函数在上为减函数，所以，即，所以，所以，故选B.
考点：函数的奇偶性及其应用.
【方法点晴】本题主要考查了函数的奇偶性及其应用，其中解答中涉及到利用导数求函数的单调性、利用导数研究函数的极值、以及函数的奇偶性的判定等知识点的综合考查，着重考查了转化与化归的思想方法，以及学生的推理与运算能力，属于中档试题，解答中得出函数的奇函数和函数的单调性是解答的关键.
填空题
8.【湖北省荆州市2015-2016学年高二下学期质量检测数学试题】已知函数，是函数的一个极值点，则实数
．
【答案】
【解析】
试题分析：．
考点：导数与极值．
9.【湖北省荆州市2015-2016学年高二下学期质量检测数学试题】已知函数，，其图象上任意一点处的切线的斜率恒成立，则实数的取值范围是
．
【答案】
【解析】
考点：导数的几何意义；不等式恒成立问题．
【易错点睛】本题主要考查了导数的几何意义；不等式恒成立问题等知识点求函数的切线方程的注意事项：(1)首先应判断所给点是不是切点，如果不是，要先设出切点．(2)切点既在原函数的图象上也在切线上，可将切点代入两者的函数解析式建立方程组．(3)在切点处的导数值就是切线的斜率，这是求切线方程最重要的条件．
解答题
10.【江西省新余市第一中学2016-2017学年高二上学期入学考试数学试题】已知函数
是奇函数，且满足．
（1）求实数的值；
（2）若，函数的图像上是否存在不同的两点，使过这两点的直线平行于轴：请说明
理由；
（3）是否存在实数同时满足以下两个条件：①不等式对恒成立，②方程
在上有解．若存在，求出实数的取值范围，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
；(2)；（3）．
【解析】
（2）由（1）知，，
任取，且，
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分
∵，∴，
∴，
所以，函数在区间单调递增，
所以在区间任取则必有故函数的图象在区间不存在不同的两点使过两点的直线平行于轴．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．9分
考点：函数的奇偶性的性质；根的存在性及根的个数的判定．
【方法点晴】本题主要考查了函数的奇偶性的性质、根的存在性及根的个数的判定，同时涉及到函数的单调性与函数的值域等知识的应用，解答中根据的单调性，求出函数的值域，若方程在有解，求得，列出同时满足条件①②的不等式组，即可求解的取值范围是解答关键，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，属于难题．
11.【新疆哈密地区第二中学2015-2016学年高二下学期期末考试数学（文）试题】已知函数.
（1）讨论的单调性；
（2）若有两个零点，求的取值范围.
【答案】(1)当时，在单调递减，在单调递增，当时，在单调递增，在单调递减，当时，在单调递增，当时，在单调递增，在单调递减；(2)．
【解析】
③若，则，故当时，，当时，，所以在单调递增，在单调递减.
(2)(i)设，则由(I)知，在单调递减，在单调递增.
又，取b满足b<0且，
则，所以有两个零点.
(ii)设a=0，则所以有一个零点.
(iii)设a<0，若，则由(I)知，在单调递增.
又当时，<0，故不存在两个零点；若，则由(I)知，在单调递减，在单调递增.又当时<0，故不存在两个零点.
综上，a的取值范围为.
考点：利用导数研究函数的单调性；函数的零点判定定理．
【方法点晴】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性、函数的零点判定定理，其中解答中涉及到导数的运算、不等式的求解等知识点的考查，解答中求出的导数，讨论当，和三种情况分类讨论是解答关键，着重考查了分类讨论思想和函数与方程思想，以及转化与化归思想，试题有一定的难度，属于难题．
12.【重庆市第八中学2015-2016学年高二暑期周末阶段性检测（十）数学（文）试题】已知函数．
（1）当时，求函数的单调区间；
（2）当时，若函数有两个极值点，不等式恒成立，求实数的
取值范围．
【答案】（1）函数的单调递增区间为，单调递减区间为；（2）．
【解析】
试题解析：
（1）当时，
；
∴．
．．．．．2分
又函数的定义域为，
令，解得，
令，解得．
．．．．．4分
当变化时，与的变化情况如下表：
0
0
单调递增
极大值
单调递减
极小值
单调递增
当时，函数有两个极值点，则，
．
．．．．．．．8分
由可得，
，
令．
．．．．．．10分
考点：1.函数的单调性与导数的关系；2.不等式的性质；3.函数的极值.
13.【四川省成都市石室中学2015-2016学年高二下学期期中考试数学（文）试题】已知函数.
（1）求的极小值；
（2）对恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）的极小值为；（2）．
【解析】
试题分析：（1）求解函数的导数，判定函数的单调性，即可求解的极小值；（2）当时,
恒成立，令，求解，得出函数的单调性，求解函数的最小值，即可求解实数的取值范围.
试题解析：（1）
极小值
的极小值为.
（2）当时,
恒成立.
令,则,
极小值
,实数的取值范围是.
考点：利用导数研究函数的单调性与极值；恒成立问题的求解.
14.【贵州省思南中学2015-2016学年高二下学期期末考试数学（文）试题】已知函数．
（1）当时，求在区间上的最大值和最小值；
（2）若对恒成立，求的取值范围．
【答案】(1)
；(2)．
【解析】
又，
∴．
考点：利用求解函数的最值；利用导数研究函数的单调性．
【方法点晴】本题主要考查了利用导数求解函数的极值与最值、利用导数研究函数的单调性及其应用，属于中档试题，本题的解答中求出函数的导数，通过讨论的取值范围，确定函数的单调区间，从而求出函数的最大值和最小值，通过讨论的取值范围，确定函数的单调区间，从而求出的取值范围，着重考查了分类讨论思想及转化与化归思想的应用．
15.【辽宁省东北育才学校2015-2016学年高二下学期第二阶段考试数学（文）试题】已知函数f（x）=alnx+bx2﹣（b+a）x．
（Ⅰ）当a=1，b=0时，求f（x）的最大值；
（Ⅱ）当b=1时，设α，β是f（x）两个极值点，且α＜β，β∈（1，e]（其中e为自然对数的底数）．求
证：对任意的x1，x2∈α，β]，|f（x1）﹣f（x2）|＜1．
【答案】（I）；（II）证明见解析.
【解析】
（Ⅱ）证明：当b=1时，f（x）=alnx+x2﹣（1+a）x，
导数f′（x）=+x﹣（1+a）=（x＞0），
∵α，β是f（x）两个极值点，且α＜β，β∈（1，e]，
∴α=1，β=a，（1＜a≤e），
∴当1＜x＜a时，f′（x）＜0，即函数f（x）递减，
当x＞a或0＜x＜1，f′（x）＞0，即函数f（x）递增，
∵任意的x1，x2∈α，β]，则函数f（x）在该区间内是减函数，
考点：导数的意义在实际问题中的应用及函数的恒成立问题．
【方法点睛】本题主要考查了导数在研究函数中的综合应用，利用导数研究函数的单调性及极值、最值等，同时考查函数在一个区间内的任意两个函数值的差的绝对值不大于最大值与最小值的差，利用函数的单调性比较大小，是一道综合性较强的题目.本题即得的难点是第二问中转化后构造函数，通过研究其单调性求其最大值使得问题得证.