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课题：2.4分解因式法
教学目标：
一、知识与技能目标：
能根据具体一元二次方程的特征，灵活选择方程的解法，体会解决问题方法的多样性；会用分解因式法（提公因式法、公式法）解决某些简单的数字系数的一元二次方程；通过分解因式法的学习，培养学生分析问题、解决问题的能力，并体会转化的思想。
二、过程与方法目标：
通过学生探究一元二次方程的解法，使学生知道分解因式法是解一元二次方程的一种简便、特殊的方法，通过“降次”把一元二次方程转化为两个一元一次方程；通过小组合作交流，尝试在解方程过程中，多角度地思考问题，寻求从不同角度解决问题的方法，并初步学会不同方法之间的差异，学会在与他人的交流中获益。21cnjy.com
三、情感态度与价值观目标：
经历观察，归纳分解因式法解一元二次方程的过程，激发好奇心；进一步丰富数学学习的成功体验，使学生在学习中培养良好的情感、态度和主动参与、合作交流的意识，进一步提高观察、分析、概括等能力。www.21-cn-jy.com
重点：会用分解因式法（提公因式法、公式法）解决某些简单的数字系数的一元二次方程。
难点：能根据具体一元二次方程的特征，灵活选择方程的解法。
教学流程：
导入新课
1、用求根公式解一元二次方程:x2-3x=0.
解：这时a= 1, b=-3, c=0.
∴ x1=0. x2=3
2、想一想:如果ab=0, 讨论a和b的情况？
a= 0或者 b = 0.
3、想一想：一元二次方程:x2-3x=0.如果把等号左边分解因式就是x（x-3）=0.讨论因式x和（x-3）的情况？ 21教育网
x = 0或者 x-3 = 0.
这样求出的方程的解和我们前面用求根公式求的解是一样吗？
4、想一想
一个数的平方与这个数的3倍有可能相等吗？如果相等，这个数是几？你是怎样求出来的？
新课讲解
分解因式法
回顾小亮解一元二次方程:x2-3x=0.的过程并说说这个方程有什么特点？
小亮解一元二次方程利用a= 0或者 b = 0. 方程化成一般式后左边能因式分解.
分解因式法：当一元二次方程的一边是0,而另一边易于分解成两个一次因式的乘积时,我们就可以用分解因式的方法求解.这种用分解因式解一元二次方程的方法你为分解因式法. 21·cn·jy·com
2、例题解析
用分解因式法解方程: (1)5x2=4x; (2)x-2=x(x-2).
分解因式法解一元二次方程的步骤
（1）化方程为一般形式;
（2） 将方程左边因式分解;
（3） 根据“至少有一个因式为零”,转化为两个一元一次方程.
（4） 分别解两个一元一次方程，它们的根就是原方程的根.
探究理解
用分解因式法的条件是什么？关键熟练掌握知识是什么？理论依据是什么？
用分解因式法的条件是:方程左边易于分解,而右边等于零; 关键是熟练掌握因式分解的知识; 理论依旧是“如果两个因式的积等于零,那么至少有一个因式等于零.”
四、课堂练习
1、 解下列方程:
解:x1=-2 x2=4 解:4x(2x+1)-3(2x+1)=0 2·1·c·n·j·y
(2x+1)(4x-3)=0
x1=-1/2 x2= 3/421·世纪*教育网
2、你能用分解因式法解下列方程吗？
（1）x2-4=0; （2） (x+1)2-25=0.
这种解法是不是解这两个方程的最好方法 你是否还有其它方法来解
3、说出用因式分解法解方程时，因式分解的方法：
五、课堂小结
1、分解因式法.
当一元二次方程的一边是0,而另一边易于分解成两个一次因式的乘积时,我们就可以用分解因式的方法求解.这种用分解因式解一元二次方程的方法称为分解因式法.
分解因式法的条件是方程左边易于分解,而右边等于零,关键是熟练掌握因式分解的知识,理论依旧是“如果两个因式的积等于零,那么至少有一个因式等于零.”
2、因式分解法解一元二次方程的步骤
(1)化方程为一般形式;
(2)将方程左边因式分解;
(3)根据“至少有一个因式为零”,得到两个一元一次方程
(4)两个一元一次方程的根就是原方程的根.
因式分解的方法,突出了转化的思想方法——“降次”,鲜明地显示了“二次”转化为“一次”的过程.
课堂拓展
已知关于x的一元二次方程x2-mx+m+1=0的一个根为2．
（1）求m的值及另一根；
（2）若该方程的两个根分别是等腰三角形的两条边的长，求此等腰三角形的周长
2、握手时常用的社交礼仪，人与人初次见面，往往以握手示礼．小亮还记得升入中学时参加迎新生活动的场面，负责迎新生的老师为了让同班的新同学互相认识，要求出席的同学互相握手，并彼此互相介绍．热闹一番后，同学们已完成这一项任务，老师随即说：“同学们，你们刚才已经两两之间共握手630次．“同学们听了后都很吃惊：“怎么算的？“假设班里有x名学生，你知道630次是怎样求出来的吗？你能列出求解x的方程吗？【来源：21·世纪·教育·网】
七、达标测评
1、解方程：（3x-1）2=5（3x-1）（用因式分解法）
2、解下列方程
3、 一个数平方的2倍等于这个数的7倍,求这个数.
解：设这个数为x,根据题意,得
2x2=7x.
2x2-7x=0,
x(2x-7) =0,
∴x=0,或2x-7=0.
4、十八大会议歇会期间，代表们在某休息室两两互相握手，共握手190次，求此时共有多少名代表在此休息室？ 21世纪教育网版权所有
七、布置作业
教材47页习题2.7第1、2题。
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《2.4分解因式法》练习
一、基础过关
1．方程x2=x的根是（ ）
A．x=1 B．x=﹣1 C．x1=0，x2=1 D．x1=0，x2=﹣1
2．方程x2+x﹣12=0的两个根为（ ）
A．x1=﹣2，x2=6 B．x1=﹣6，x2=2 C．x1=﹣3，x2=4 D．x1=﹣4，x2=3
3．小华在解一元二次方程x2-x=0时，只得出一个根x=1，则被漏掉的一个根是（ ）
A．x=4 B．x=3 C．x=2 D．x=0
4．已知3是关于x的方程x2﹣（m+1）x+2m=0的一个实数根，并且这个方程的两个实数根恰好是等腰△ABC的两条边的边长，则△ABC的周长为（ ）21教育网
A．7 B．10 C．11 D．10或11
5．一元二次方程x2﹣4x=12的根是（ ）
A．x1=2，x2=﹣6 B．x1=﹣2，x2=6 C．x1=﹣2，x2=﹣6 D．x1=2，x2=6
6．三角形两边长分别是8和6，第三边长是一元二次方程x2﹣16x+60=0一个实数根，则该三角形的面积是（ ）21cnjy.com
A．24 B．48 C．24或8 D．8
二、综合训练
7．已知：（x2+4x﹣5）0=x2﹣5x+5，则x= ．
8．已知关于x的一元二次方程x2-bx+c=0的两根分别为x1=-1，x2=2，则x2+bx+c分解因式的结果为 21·cn·jy·com
9．若方程x2﹣7x+12=0的两根恰好是一个直角三角形两条直角边的长，则这个直角三角形的斜边长是 ．www.21-cn-jy.com
10．方程2x（x﹣3）=5（x﹣3）的根是 ．
11．小明设计了一个魔术盒，当任意实数对（a，b）进入其中，会得到一个新的实数a2﹣2b+3，若将实数对（x，﹣2x）放入其中，得到一个新数为8，则x= ．2·1·c·n·j·y
12．已知（a+b）2﹣2（a+b）﹣3=0，则a+b= ．
三、拓展应用
13．观察下面方程的解法：x4﹣13x2+36=0
解：原方程可化为（x2﹣4）（x2﹣9）=0
∴（x+2）（x﹣2）（x+3）（x﹣3）=0
∴x+2=0或x﹣2=0或x+3=0或x﹣3=0
∴x1=2，x2=﹣2，x3=3，x4=﹣3
你能否求出方程x2﹣7|x|+10=0的解吗？
14．阅读下面的例题，
范例：解方程x2﹣|x|﹣2=0，
解：（1）当x≥0时，原方程化为x2﹣x﹣2=0，解得：x1=2，x2=﹣1（不合题意，舍去）．
（2）当x＜0时，原方程化为x2+x﹣2=0，解得：x1=﹣2，x2=1（不合题意，舍去）．
∴原方程的根是x1=2，x2=﹣2
请参照例题解方程x2﹣|x﹣1|﹣1=0．
15．已知关于x的一元二次方程kx2﹣4x+2=0有实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）若△ABC中，AB=AC=2，AB，BC的长是方程kx2﹣4x+2=0的两根，求BC的长．
16．若规定两数a、b通过“※”运算，得到4ab，即a※b=4ab，例如2※6=4×2×6=48
（1）求3※5的值；
（2）求x※x+2※x﹣2※4=0中x的值；
（3）若无论x是什么数，总有a※x=x，求a的值．
17．当x为何值时，代数式x2﹣13x﹣12的值等于18．
18．已知，求一元二次方程bx2﹣x+a=0的解．
参考答案
一、基础过关
1．C．
解：x2=x，
x2﹣x=0，
x（x﹣1）=0，
x=0，x﹣1=0，
x1=0，x2=1，
故选C．
2．D．
解：x2+x﹣12=（x+4）（x﹣3）=0，
则x+4=0，或x﹣3=0，
解得：x1=﹣4，x2=3．
故选D．
3．D．
解：x2-x=0，
提公因式得：x（x-1）=0，
可化为：x=0或x-1=0，
解得：x1=0，x2=1，
则被漏掉的一个根是0．
故选D．
4．D．
解：把x=3代入方程得9﹣3（m+1）+2m=0，
解得m=6，
则原方程为x2﹣7x+12=0，
解得x1=3，x2=4，
因为这个方程的两个根恰好是等腰△ABC的两条边长，
①当△ABC的腰为4，底边为3时，则△ABC的周长为4+4+3=11；
②当△ABC的腰为3，底边为4时，则△ABC的周长为3+3+4=10．
综上所述，该△ABC的周长为10或11．
故选：D．
5．B
解：方程整理得：x2﹣4x﹣12=0，
分解因式得：（x+2）（x﹣6）=0，
解得：x1=﹣2，x2=6，
故选B
6．C．
解：x2﹣16x+60=0
（x﹣6）（x﹣10）=0，
x﹣6=0或x﹣10=0，
所以x1=6，x2=10，
当第三边长为6时，如图，
在△ABC中，AB=AC=6，BC=8，作AD⊥BC，则BD=CD=4，AD===2，
所以该三角形的面积=×8×2=8；
当第三边长为10时，由于62+82=102，此三角形为直角三角形，
所以该三角形的面积=×8×6=24，
即该三角形的面积为24或8．
故选C．
二、综合训练
7．答案为4．
解：x2﹣5x+5=1，
x2﹣5x+4=0，
（x﹣1）（x﹣4）=0，
x﹣1=0或x﹣4=0，
所以x1=1，x2=4，
当x=1时，x2+4x﹣5=0；
当x=4时，x2+4x﹣5≠0，
所以x=4．
故答案为4．
8．答案为：（x-1）（x+2）
解：∵关于x的一元二次方程x2-bx+c=0的两根分别为x1=-1，x2=2，
∴x1+x2=b=-1+2=1，x1 x2=c=-1×2=-2，
即：b=1，c=-2．
∴x2+bx+c=x2+x-2，
∵-2=-1×2，且-1+2=1，
∴∴x2+bx+c=x2+x-2=（x-1）（x+2），
故答案为：（x-1）（x+2）．． 21世纪教育网版权所有
9．斜边长是5
解：解方程x2﹣7x+12=0
解得x=3，x=4；
由勾股定理得：斜边长==5．
故这个直角三角形的斜边长是5.
10．x=3或x=．
解：原方程可化为：2x（x﹣3）﹣5（x﹣3）=0，
（2x﹣5）（x﹣3）=0，
2x﹣5=0或x﹣3=0，
解得：x1=，x2=3；
故原方程的解为x=3或x=．
11．答案为﹣5或1．
解：根据题意得x2﹣2 （﹣2x）+3=8，
整理得x2+4x﹣5=0，
（x+5）（x﹣1）=0，
所以x1=﹣5，x2=1．
故答案为﹣5或1．
12．答案为：3或﹣1．
解：（a+b）2﹣2（a+b）﹣3=0，
（a+b﹣3）（a+b+1）=0，
a+b﹣3=0，a+b+1=0，
a+b=3，a+b=﹣1，
故答案为：3或﹣1．
三、拓展应用
13．解：x2﹣7|x|+10=0
（|x|﹣2）（|x|﹣5）=0
∴|x|﹣2=0或|x|﹣5=0，
解得，x1=2，x2=﹣2，x3=5，x4=﹣5．
14．解：x2﹣|x﹣1|﹣1=0，
（1）当x≥1时，原方程化为x2﹣x=0，解得：x1=1，x2=0（不合题意，舍去）．
（2）当x＜1时，原方程化为x2+x﹣2=0，解得：x1=﹣2，x2=1（不合题意，舍去）．
故原方程的根是x1=1，x2=﹣2．
15．解：（1）∵方程有实数根，
∴△=b2﹣4ac=（﹣4）2﹣4×k×2=16﹣8k≥0，
解得：k≤2，
又因为k是二次项系数，所以k≠0，
所以k的取值范围是k≤2且k≠0．
（2）由于AB=2是方程kx2﹣4x+2=0，
所以把x=2代入方程，可得k=，
所以原方程是：3x2﹣8x+4=0，
解得：x1=2，x2=，
所以BC的值是．
16．解：（1）∵a※b=4ab，
∴3※5=4×3×5=60，
（2）由x※x+2※x﹣2※4=0得，
4x2+8x﹣32=0，
即x2+2x﹣8=0，
∴x1=2，x2=﹣4，
（3）由a*x=x得，
4ax=x，
无论x为何值总有4ax=x，
∴a=．
17．解：由题意可得，
x2﹣13x﹣12=18
移项及合并同类项，得
x2﹣13x﹣30=0
∴（x﹣15）（x+2）=0
∴x﹣15=0或x+2=0，
解得x=15或x=﹣2，
即当x=15或x=﹣2时，代数式x2﹣13x﹣12的值等于18．
18．解：∵|a﹣1|+=0，
∴a﹣1=0，b+2=0，
解得：a=1，b=﹣2，
代入方程得：﹣2x2﹣x+1=0，即2x2+x﹣1=0，
分解因式得：（2x﹣1）（x+1）=0，
解得：x=﹣1或x=．
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2.4分解因式法
【义务教育教科书北师版九年级上册】
学校：________
教师：________
导入新课
1、用求根公式解一元二次方程:x2-3x=0.
解：这时a= 1, b=-3, c=0.
∴ x1=0. x2=3
导入新课
2、想一想:如果ab=0, 讨论a和b的情况？
a= 0或者 b = 0.
3、想一想：一元二次方程:x2-3x=0.如果把等号左边分解因式就是x（x-3）=0.讨论因式x和（x-3）的情况？
x = 0或者 x-3 = 0.
这样求出的方程的解和我们前面用求根公式求的解是一样吗？
一个数的平方与这个数的3倍有可能相等吗？如果相等，这个数是几？你是怎样求出来的？
小颖,小明,小亮都设这个数为x,根据题意得
小颖做得对.
想一想
小颖做得对吗
一个数的平方与这个数的3倍有可能相等吗？如果相等，这个数是几？你是怎样求出来的？
小颖,小明,小亮都设这个数为x,根据题意得
小明做得对吗
想一想
小明做得不对.
一个数的平方与这个数的3倍有可能相等吗？如果相等，这个数是几？你是怎样求出来的？
小颖,小明,小亮都设这个数为x,根据题意得
小亮做得对吗
想一想
小亮做得对.
新课讲解
回顾小亮解一元二次方程:x2-3x=0.的过程并说说这个方程有什么特点？
小亮解一元二次方程利用a= 0或者 b = 0.
方程化成一般式后左边能因式分解.
当一元二次方程的一边是0,而另一边易于分解成两个一次因式的乘积时,我们就可以用分解因式的方法求解.这种用分解因式解一元二次方程的方法你为分解因式法.
探究理解
议一议
用分解因式法的条件是什么？关键熟练掌握知识是什么？理论依据是什么？
用分解因式法的条件是:方程左边易于分解,而右边等于零; 关键是熟练掌握因式分解的知识; 理论依旧是“如果两个因式的积等于零,那么至少有一个因式等于零.”
用分解因式法解方程: (1)5x2=4x; (2)x-2=x(x-2).
例题解析
2. 将方程左边因式分解;
3. 根据“至少有一个因式为零”,转化为两个一元一次方程.
4. 分别解两个一元一次方程，它们的根就是原方程的根.
1.化方程为一般形式;
分解因式法解一元二次方程的步骤
解下列方程:
课堂练习
解:x1=-2 x2=4
解:4x(2x+1)-3(2x+1)=0
(2x+1)(4x-3)=0
x1=-1/2 x2= 3/4
1.x2-4=0; 2.(x+1)2-25=0.
你能用分解因式法解下列方程吗？
这种解法是不是解这两个方程的最好方法 你是否还有其它方法来解
方程可以变为1.x2=4; 2.(x+1)2=25.
x2=4; (x+1)2=25
x=±2. x+1 =±5
x=-1±5
x1=4, x2=-6
直接开方法
想一想
1、说出用因式分解法解方程时，因式分解的方法：
直接提公因式.
整体思想提公因式.
变号、整体思想提公因式.
平方差公式.
完全平方公式.
整理成一般形式.
课堂练习
当一元二次方程的一边是0,而另一边易于分解成两个一次因式的乘积时,我们就可以用分解因式的方法求解.这种用分解因式解一元二次方程的方法称为分解因式法.
分解因式法的条件是方程左边易于分解,而右边等于零,关键是熟练掌握因式分解的知识,理论依旧是“如果两个因式的积等于零,那么至少有一个因式等于零.”
课堂小结
1、分解因式法.
(1)化方程为一般形式;
(2)将方程左边因式分解;
(3)根据“至少有一个因式为零”,得到两个一元一次方程
(4)两个一元一次方程的根就是原方程的根.
因式分解的方法,突出了转化的思想方法——“降次”,鲜明地显示了“二次”转化为“一次”的过程.
课堂小结
2、因式分解法解一元二次方程的步骤
课堂拓展
1、已知关于x的一元二次方程x2-mx+m+1=0的一个根为2．（1）求m的值及另一根； （2）若该方程的两个根分别是等腰三角形的两条边的长，求此等腰三角形的周长
解：（1）∵关于x的一元二次方程x2-mx+m+1=0的一个根为2，
∴m=5．
∴一元二次方程为x2-5x+6=0．
解得x=2或x=3
∴m=5，方程另一根为3；
课堂拓展
1、已知关于x的一元二次方程x2-mx+m+1=0的一个根为2．（1）求m的值及另一根； （2）若该方程的两个根分别是等腰三角形的两条边的长，求此等腰三角形的周长
当长度为2的线段为等腰三角形底边时，则腰长为3，此时三角形的周长为2+3+3=8； 当长度为3的线段为等腰三角形底边时，则腰长为2，此时三角形的周长为2+2+3=7
课堂拓展
2、握手时常用的社交礼仪，人与人初次见面，往往以握手示礼．小亮还记得升入中学时参加迎新生活动的场面，负责迎新生的老师为了让同班的新同学互相认识，要求出席的同学互相握手，并彼此互相介绍．热闹一番后，同学们已完成这一项任务，老师随即说：“同学们，你们刚才已经两两之间共握手630次．“同学们听了后都很吃惊：“怎么算的？“假设班里有x名学生，你知道630次是怎样求出来的吗？你能列出求解x的方程吗？
课堂拓展
解：设该班有x人，由题意得： x（x-1）=1260； 解得：x=36或x=-35． 答：x的值为36
达标测评
1、解方程：（3x-1）2=5（3x-1）（用因式分解法）
解：（3x-1）2=5（3x-1）， 移项得：（3x-1）2-5（3x-1）=0， ∴（3x-1）（3x-1-5）=0， 即3x-1=0，3x-1-5=0， 解得：x1= ，x2=2．
参考答案：
达标测评
2、用适当的方法解方程
解：设这个数为x,根据题意,得
∴x=0,或2x-7=0.
2x2=7x.
2x2-7x=0,
x(2x-7) =0,
3、一个数平方的2倍等于这个数的7倍,求这个数.
达标测评
4、十八大会议歇会期间，代表们在某休息室两两互相握手，共握手190次，求此时共有多少名代表在此休息室？
解：设小组有x人，由题意得：
x（x-1）=380； 解得：x=20或x=-19（舍去） 答：共有20名代表休息
教材47页习题2.7第1、2题。
布置作业
