课题：二次根式
教学目标：
知识与技能目标：
理解二次根式的概念和性质，
2.最简二次根式的概念
3.会根据二次根式的性质进行二次根式的化简
过程与方法目标：
通过加深对概念的理解，提高对二次根式的性质和运算的认识。
利用二次根式的化简解决简单的数学问题， 通过独立思考，能选择合理的方法解决问题。
情感态度与价值观目标：
通过对实际问题的分析，使学生进一步体会二次根式的性质及运算，培养学生利用数学解决问题的能力。
重点：
掌握二次根式的概念和性质，理解它们解的含义；
能利用二次根式的乘除法的法则进行二次根式的运算。
难点：
1.最简二次根式的概念
2.把根号内含字母的二次根式的化简。
教学流程：
课前回顾
1、 11的算术平方根是 ．
2、 面积为a（a＞０）的正方形的为 ．
3、直角三角形的两直角边分别是1和2，则斜边是 ．
情境引入
探究1：
，，，，，（其中b=24，c=25）
上述式子有什么共同特征？
共同特征: 都含有开方运算，并且被开方数都是非负数。
1.二次根式的概念
一般地，形如 (a≥0)式子叫做二次根式． a叫做被开方数．
＊一个式子是二次根式应满足几个条件？
第一，有二次根号“ ”,
第二，被开方数a是正数或0．（条件：a≥0 ）
练习1
1、判断下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式．
，，，，（x≥0），,，，（x≥0，y≥0）二次根式有：，（x≥0），,，，（x≥0，y≥0）
不是二次根式的有：，，，
2、当x取何值时，二次根式在实数范围内有意义？
解：由x－1≥0 ，得x≥1
3、a≥0时，结果一定是什么数？
解：a≥0时，≥0 (双重非负性)
探究2
1、二次根式性质
（1）计算下列式子，猜想你能得到什么结论？
＝ 6 ，＝ 6 ； ＝ 20 ，＝ 20 ；
＝ ，＝ ； ＝ ，＝ ．
结论：
= ； =
= =
（2）用计算器计算：
＝ 6.480，＝_6.480__；＝0.9255，＝0.9255 ．[来源:学_科
_网Z_发现：
发现：
= =
从上面得出的结论，发现了什么规律？能用字母表示这个规律吗？
（a≥0，b≥0），（a≥0， b＞0）．
说明：公式中字母a≥0，b≥0（或b＞0）这一条件是公式的一部分，不应忽略．注意公式里的条件噢！
探究2
例1 化简（1）；（2）；（3）； （4）。
解：（1） = =9×8=72 ；
（2） =×=5 ；
（3）==；
（4）=×× =3×4×5=60 .
探究3
最简二次根式：一般地，被开方数不含分母，也不含能开得尽方的因数或因式，这样的二次根式，叫做最简二次根式21世纪教育网版权所有
最简二次根式的条件：
（１）是二次根式；
（２）被开方数中不含分母；
（３）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．
化简时，通常要求最终结果中分母不含根号，而且各个二次根式是最简二次根式。
练习2
判断下列各式是否为最简二次根式？
（1） （ × ）；（2） （× ）；（3） （ √ ）；
（4） （ × ）；（5） （ × ）；（6） （√ ）；
（7） （× ）
经典例题
例2 化简：
（1）；（2）；（3） ．[来源
解：（1） = =5 ；
（2） == =；
（3）==。
议一议
（1）你怎么发现含有开得尽方的因数的？你怎么判断是最简二次根式的？
（2）将二次根式化成最简二次根式时，你有哪些经验与体会，与同伴交流。
练习3
把下列各式化成最简二次根式：
（1）=== ；
（2）===；
（3）===；
（4）===.
探究4
还记得吗 二次根式的性质
（a≥0，b≥0），（a≥0， b＞0）．
得到：（a≥0，b≥0），（a≥0， b＞0）．
这就是二次根式的乘法法则和除法法则
经典例题
例3 计算：
（1）；（2）；（3）。
解：（1）= ==2
（2）＝＝＝＝3
（3）＝＝＝=
探究4
同样，二次根式也可以进行加减运算，这时，以前学习的实数的运算法则、运算律仍然适用。当然，如果运算结果中出现某些项，它们各自化简后的被开方数相同，那么应当将这些项合并。21教育网
经典例题
例4 计算：
（1）3（2）；（3）；（4）；
（5）；（6）.
解：（1）3=3=6； 乘法交换律
（2）＝＝＝6－5＝1；[来源:21世纪教育网.C乘法法则乘法法om]
（3）＝＝5＋＋1＝6＋；完全平方公式
（4）＝＝4；平方差公式
（5）；乘法分配律
（6）。分配律、除法法则
例5 计算：
（1）；（2）；（3）。
解：（1）＝＝＝＝；
（2）＝＝＝＝；
（3）。
练习3
巧用运算法则、运算律，简化运算过程，提高速度。
1、计算
（1） ； （2）；2 （3）；
（4）； （5）；10
（6）. 1
例6 计算：
（1）； （2）；
（3）． （4）
解：（1）＝＝＝＝；
（2）＝＝＝；
（3）＝＝
＝＝＝＝．
对于第（3）题，你还有哪些做法？试一试，看一看结果是否一致
（4）=
= =
练习4
1、化简：
（1）； （2）； （3）．10
2、求代数式 的值，其中a=3，b=2.
解：由题意知 a＞0，b＞0.
===
=
当a=3，b=2时
原式=
想一想
你能化简吗？
自主合作，解决问题
例7 化简：
（1）（a＞0，b＞0）； （2）（x+y＞0）；（3）（a＞0，b＞0）
解：（1）∵a＞0，b＞0 ∴==5ab；
（2）∵x+y＞0 ∴==；
（3）∵a＞0，b＞0 ∴====；
练习5
当a＞0，b＞0时，化简下列各式
（1）；===a+b
（2）；==
（3）.==
===
=.
做一做
如图所示，图中小正方形的边长为1，试求图中梯形的面积，你有哪些方法 与同伴交流．
（1）直接求法
由图形知AB//CD，过点D作DE⊥AB于E.
在三个小直角三角形中，利用勾股定理可分别求出：
DC= ,AB=5,DE=3.
则梯形ABCD的面积=（5+）×3=18
（2）间接求法
如图，将梯形ABCD补成一个长方形 .
用长方形的面积减去四周三个小三角形的面积就是梯形的面积.
则梯形ABCD的面积=5×7－×5×5－×4×2－×1×1=18
五、达标测评
1、如果代数式有意义，那么x的取值范围是（ D ）
A.x≥0 B. x≠0 C. x＞0 D. x≥0，且x≠1
2、下列二次根式中，不能与合并的是（ C ）
A. B. C. D.
3、下列计算正确的是（ C ）
A.
B. =—4×（—3）=12
C.
D.
4、当x=﹣4时，的值是________
5、下列二次根式：， ，，，， ，，是最简二次根式的是___，_，___，_______________
6、计算：
（1） ；
（2）；
7、在Rt△ABC中，∠C=900，AC= ，BC= ，求它的面积及斜边长。
解：Rt△ABC的面积S= ×AC×BC= ×（） ×（）= 。
根据勾股定理得：AB=
所以Rt△ABC的面积为 ，斜边长为
六、体验收获
今天我们学习了哪些知识？
1.什么是二次根式？
2.二次根式的性质是什么？
3.什么叫最简二次根式
4.二次根式的乘除法的法则是什么
5.怎样进行二次根式的加减乘除的混合运算？
七、布置作业
教材48页习题第1、3、4题。
=
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21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品资料·第 1 页 （共 1 页） 版权所有@21世纪教育网二次根式
班级：___________姓名：___________得分：__________
一、选择题(每小题6分，共36分)
1. 等式成立的条件是（ ）
A.同号 B. C.异号 D.
2. 在根式①；②；③；④中，最简二次根式是（ ）
A.①② B.③④ C.①③ D.①④
3. 下列二次根式中与合并的二次根式的是（ ）.
A. B. C. D.
4. 估计的结果在（ ）.
A.6至7之间 B.7至8之间
C.8至9之间 D.9至10之间
5. 下列运算正确的是( ).
A. + = B. ×=
C.(－1)2=3－1 D. =5－3
6. 若代数式有意义，则的取值范围是( ).
A. B. C. D.
二、填空题(每小题6分，共24分)
1．计算：__________._________.
2．若x＜0，则等于__________.
3．若+有意义，则=______.
4. 已知实数a在数轴上的位置如图所示，则化简| 1－a|+的结果为________.
三、解答题(每小题20分，40分)
1. 计算：(1)
(2) ．
2．已知,求的值.
参考答案
一、选择题
1.D
【解析】∵ b是分母，∴b≠0，
又a，b是被开方数，所以a≥0，b＞0，
故选D.
2. C
【解析】①是最简二次根式；②不是最简二次根式，因为被开方数中含有字母；③是最简二次根式；④被开方数含有能开得尽方的因数，不是最简二次根式，故最简二次根式①③21世纪教育网版权所有
故选C.
3.D
【解析】A、=3，与的被开方数不同，故本选项错误；
B、=，与的被开方数不同，故本选项错误；
C、与的被开方数不同，故本选项错误；
D、=，与的被开方数相同故本选项正确；
故选：D.
4.B
【解析】=4++
∵1.42=1.96,1.422=2.0164,2.32=5.29,2.222=4.9284，21教育网
∴1.4＜＜1.42 2.22＜＜2.3
∴4+1.4+2.22＜4++＜4+1.42+2.3
即7.62＜4++＜7.72
即结果在7至8之间
故选：B.
5.B
【解析】A项，根据二次根式的运算法则可知： 和不能合并，故A错误。
B项，根据二次根式的运算法则可知：×==.故B正确。
C项，根据二次根式的运算法则和完全平方公式可知：(－1)2=3-2+1=4-2。故C错误
D项，根据二次根式的运算法则可知：=。故D错误
故选：B.
6.D
【解析】由分式及二次根式有意义的条件可得：x-1≥0，x-2≠0，解得：x≥1，x≠2
故选：D.
二、填空题
1.48 32
【解析】=8×6=48
=8×4=32
2. -2x
【解析】若x＜0，则，。∴。
3.
【解析】∵+有意义，
∴≥0，≥0
∴=0，∴x=，
∴==
4.1.
【解析】由数轴可知0＜a＜1，所以1-a＞0，所以| 1－a|+ =1-a+a=1
三、解答题
1. 解：(1)
=-2-+1+-2
=-2+1-2-+
=-3-
(2) =-+2=4+
2.解： 因为x-24≥0,24-x≤0，可得出：x=24，代入 =-8
再将x、y代入=
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二次根式
【义务教育教科书北师版八年级上册】
学校：________
教师：________
课前回顾
1、 11的算术平方根是 ．
2、 面积为a（a＞０）的正方形的为 ．
3、直角三角形的两直角边分别是1和2，则斜边
是 ．
探究1
（其中b=24,c=25）．
上述式子有什么共同特征？
都含有开方运算，并且被开方数都是非负数。
共同特征：
探究1
1.二次根式的概念
一般地，形如 式子叫做二次根式．
a叫做被开方数．
＊一个式子是二次根式应满足几个条件？
第一，有二次根号“ ”,
第二，被开方数a是正数或0．（条件： ）
1、判断下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式．
二次根式有：
不是二次根式的有：
（x>０），
（x≥0，y≥0）
，
，
，
，
，
，
，
（x≥0，y≥0）;
（x>０）
，
，
，
，
，
，
，
练习1
练习1
2、当x取何值时，二次根式 在实数范围内有意义？
时， 结果一定是什么数？
3、
解：由x－1≥0 ，得x≥1
解：a≥0时， ≥0 (双重非负性)
探究2
1、二次根式性质
（1）计算下列式子，猜想你能得到什么结论？
＝ ， ＝ ；
＝ ， ＝ ；
＝ ， ＝ ；
＝ ， ＝ ．
６
６
20
20
结论：
探究2
6.480
（2）用计算器计算：
6.480
0.9255
＝ ，
＝ ，
＝ ，
＝ ．
0.9255
发现：
探究2
从上面得出的结论，发现了什么规律？
能用字母表示这个规律吗？
注意公式里的条件噢！
探究2
例1 化简：
（2）
（3）
（4）
（1）
解：
（1）
=9×8=72
（2）
（3）
（4）
=3×4×5=60
探究3
最简二次根式：
一般地，被开方数不含分母，也不含能开得尽方的因数或因式，这样的二次根式，叫做最简二次根式
最简二次根式的条件：
（１）是二次根式；
（２）被开方数中不含分母；
（３）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．
化简时，通常要求最终结果中分母不含根号，而且各个二次根式是最简二次根式。
练习2
判断下列各式是否为最简二次根式？
（4） （ ）；
（1） （ ）；
（2） （ ）；
（6） （ ）
（3） （ ）；
（5） （ ）；
（7） （ ）；
×
√
×
×
×
×
√
经典例题
例2 化简：
（1） ；
（2） ；
（3） .
解：（1） ；
（2） ；
（3） .
（1）你怎么发现 含有开得尽方的因数的？
你怎么判断 是最简二次根式的？
议一议
（2）将二次根式化成最简二次根式时，你有哪些经验
与体会，与同伴交流。
练习3
把下列各式化成最简二次根式：
（3）
（1）
（2）
（4）
探究4
还记得吗 二次根式的性质
（a≥0，b≥0），
（a≥0，b＞0）．
得到：
（a≥0，b≥0），
（a≥0，b＞0）．
这就是二次根式的乘法法则和除法法则
经典例题
例3 计算：
（1） ；
（2） ；
（3） .
（2） =3 ；
（3） .
解：（1） =2 ；
同样，二次根式也可以进行加减运算，这时，以前学习的实数的运算法则、运算律仍然适用。当然，如果运算结果中出现某些项，它们各自化简后的被开方数相同，那么应当将这些项合并。
探究4
经典例题
例4 计算：
解：（1） ；
（2） ；
（3） ；
乘法交换律
乘法法则
完全平方公式
（4） =4 ；
（5） =6－1=5 ；
（6） =2+3=5 ；
平方差公式
乘法分配律
分配律、除法法则
经典例题
例5 计算：
解：（1） ；
（2） ；
（3） ；
练习3
巧用运算法则、运算律，简化运算过程，提高速度。
1、计算
（2） ；
（1） ；
（3） ；
（4） ；
（5） ；
（6） ；
随堂练习
例6 计算：
（2） ；
（1） ；
（3） ；
（4）
经典例题
解：（1）
（2）
（3）
对于第（3）题，你还有哪些做法？试一试，看一看结果是否一致
（4）
练习4
1、化简：
（1） ；
（2） ；
（3） .
10
2、求代数式 的值，其中a=3，b=2.
当a=3，b=2时
原式=
解：由题意知 a＞0，b＞0.
想一想
你能化简 吗？
=
经典例题
例7 化简：
（2） （x+y＞0）；
（1） （a＞0，b＞0）；
（3） （a＞0，b＞0）；
（3）∵ a＞0，b＞0
∴
（2）∵ x+y＞0
∴
解：（1）∵ a＞0，b＞0
∴
练习5
当a＞0，b＞0时，化简下列各式
（1） ；
（2） ；
（3） ；
做一做
如图所示，图中小正方形的边长为1，试求图中梯形的面积，你有哪些方法 与同伴交流．
（1）直接求法
由图形知AB//CD，过点D作DE⊥AB于E.
在三个小直角三角形中，利用勾股定理可分别求出：
则梯形ABCD的面积
＝18 .
E
做一做
（2）间接求法
如图，将梯形ABCD补成一个长方形 .
用长方形的面积减去四周三个小三角形的面积就是梯形的面积.
则梯形ABCD的面积
＝18 .
达标测评
1、如果代数式 有意义，那么x的取值范围是（ ）
A.x≥0 B. x≠0 C. x＞0 D. x≥0，且x≠1
2、下列二次根式中，不能与 合并的是（ ）
A. B. C. D.
3、下列计算正确的是（ ）
A.
B.
C.
D.
D
C
C
达标测评
4、当x=﹣4时， 的值是________
5、下列二次根式： ， ， ， ， ， ，
，是最简二次根式的是______________________
6、计算：
（1） ；
（2）
，
，
，
.
达标测评
7、在Rt△ABC中，∠C=900，AC= ，BC= ，
求它的面积及斜边长。
解：Rt△ABC的面积S= ×AC×BC= ×（ ）
×（ ）= 。
根据勾股定理得：AB= =
所以Rt△ABC的面积为 ，斜边长为
1.什么是二次根式？
2.二次根式的性质是什么？
3.什么叫最简二次根式
4.二次根式的乘除法的法则是什么
5.怎样进行二次根式的加减乘除的混合运算？
体验收获
今天我们学习了哪些知识？
布置作业
教材48页习题第1、3、4题。
