课题：实数
教学目标：
知识与技能目标：
1、了解实数的意义，能对实数按要求进行分类
2、了解实数和数轴上的点一一对应，能根据实数在数轴上的位置比较大小.
3、了解实数范围内的相反数、倒数、绝对值的意义和有理数范围内的相反数、倒数、绝对值的意义完全一样.
过程与方法目标：
1、在利用数轴上的点来表示实数的过程中，让学生进一步体会数形结合的思想。
2、能够逐步培养分析和归纳概括的能力，了解辩证统一的思想。
情感态度与价值观目标：
1、在认识“实数”这一新知识时，学生应用已有的“有理数”的相关概念及运算规律类比解决“实数”的相关概念及运算规律，从而获取解决实数相关问题的基本方法。
了解数系扩展对人类认识发展的必要性
重点：
1、了解实数意义，能对实数进行分类；
2、在实数范围求相反数、倒数和绝对值、明确实数的运算运算规律；
3、明确数轴上的点与实数一一对应并能用数轴上的点来表示无理数。
难点：
利用数轴上的点表示无理数
教学流程：
课前回顾
1．有理数是如何分类的？分几种情况？
（1）按定义可分为： 正整数
整数 零
负整数
有理数 正分数
分数
负分数
（2）按数的性质可分为： 正整数
正有理数
正分数
有理数 零
负整数
负有理数
负分数
任何有理数都可以化成有限小数和无限循环小数的形式
2.什么是无理数？带根号的数都是无理数吗？
无理数是无限不循环小数.
带根号的数不一定是无理数.
无理数一般有哪些形式
（1）开不尽方的数是无理数。
（2）π及含有π的数是无理数
（3）有一定的规律，但不循环的无限小数是无理数。
练一练
把下列各数分别填入相应的集合内：
，，，π，﹣，，，﹣，﹣，，0,
0.3737737773……（相邻两个3之间的7的个数逐次加1）
有理数集合 无理数集合
二、探究新知
1、实数的定义
有理数和无理数统称为实数 ，即实数可以分为有理数和无理数。
2、实数的分类
（1）按定义可分为： 正有理数 有限小数和无限
有理数 零 循环小数
负有理数
实数
正无理数
无理数 无限不循环小数
负无理数
无理数和有理数一样，也有正负之分
如：是__正__的，﹣π是__负__的
（2）按数的性质可分为： 正有理数
正实数
正无理数
实数 零
负有理数
负实数
负无理数
三、例题解析
例1、把下列各数填入相应的集合内：
7.5 ，，4 ，，，，0.31 ，﹣π ，
（1）有理数集合：7.5 ，4 ，，，0.31 ，
（2）无理数集合：，，﹣π
（3）正实数集合：7.5 ，， 4 ，，，0.31 ，
（4）负实数集合：，﹣π
在实数范围内 ，相反数、倒数、绝对值的意义 ，和有理数范围内的相反数、倒数、绝对值的意义完全一样。
与﹣互为相反数 与互为倒数
||= |0|=0 |﹣π|=π
练一练
1. a是一个实数,它的相反数是﹣a
a a ＞ 0
绝对值是|a|= 0 a = 0
﹣a a ＜ 0
当a ≠0时，它的倒数是
2. 3－π的绝对值是|3－π|=π－3
四、探究新知
想一想
1.在有理数范围内，能进行哪些运算？用哪些运算律？
在有理数范围内，能进行加、减、乘、除、乘方运算
运算律有：加法交换律、加法结合律
乘法交换律、乘法结合律、乘法分配律
2.判断下列各式成立
成立
成立
成立
有理数的运算法则及运算律对实数仍然适用.
议一议
每个有理数都可以用数轴上的点表示，那么无理数是否也可以用数轴上的点来表示呢？
（1） 如图,OA=OB数轴上的 点A对应的数是什么？ 它介于哪两个整数之间？
（2） 你能在坐标轴上找得到对应的点吗？与同伴进行交流.
也就是说:每一个无理数都可以用数轴上的一个点来表示。
数轴上的点有些表示有理数,有些表示无理数
实数与数轴上的点的对应关系：
每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；
反过来，数轴上的每一点都表示一个实数。
即实数和数轴上的点是一一对应的。
在数轴上，右边的点表示的数比左边的点表示的数大。
例2、 比较下列各组数中两个数的大小：
（1）3.14与π； （2）-与 .
解：（1）∵π≈3.141，
∴3.14<π.
（2）∵ -≈-1.732， ≈-1.442
∴ - <
五、达标测评
1、判断下列说法是否正确：
（1）带根号的数都是无理数； ×
（2）绝对值最小的实数是0； √
（3）数轴上的每一个点都表示一个有理数 ×
2、在实数0，π， ，3.14， ， ， ，
0.3010300100300010003……中，无理数有_3___个。
3、 的相反数是_﹣__，它的绝对值是____,
4－ 的绝对值是_－4___,
4. 2－的相反数是_－2___，－的绝对值是_－_。
5.大于﹣的所有负整数_﹣3 ，﹣2 ，﹣1 .
【解析】∵ 17＞16 ∴＞=4
∴﹣＜﹣4 ∴大于﹣的所有负整数_﹣3 ，﹣2 ，﹣1 .
6.（金华·中考）在 －3，－ ，－1， 0 这四个实数中， 最大的是__0____。
【解析】因为 -3，－，－1为负数，小于0，所以0最大.
7．在数轴上作出对应的点
六、拓展提升
1、如图，在数轴上点A和点B之间的整数是 2 ．
【解析】1＜＜2，2＜＜3，在 与之间的整数是2. 答案：2
2、已知（x－2）2+|y－4|+ =0，求xyz 的值.
【解析】 根据题意得 x-2=0 y-4=0 z-6=0
∴ x=2 y=4 z=6
∴ xyz=2×4×6=48
七、体验收获
今天我们学习了哪些知识？
1、有理数和无理数统称实数.
2、在实数范围内，相反数、倒数、绝对值的意义和有理数范围内的相反数、倒数、绝对值的意义完全一样.
八、名言警句
没有比脚更长的路,
没有比人更高的山.
九、布置作业
教材40页习题第1、2、3题。
，π，﹣，，，，0.3737737773……
，﹣，-，，0
-2
-1
O
1
2
A
B
1
3
-11
0
1
2
4
-2
0
1
2
3
-1
A
B
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班级：___________姓名：___________得分：__________
一、选择题(每小题6分，共36分)
1. 下列说法中①有理数包括整数、分数和零； ②无理数都是开方开不尽的数；③不带根号的数都是有理数；④带根号的数都是无理数；⑤无理数都是无限小数；⑥无限小数都是无理数.正确的个数是（ ）.www.21-cn-jy.com
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
2. .下列叙述中,不正确的是( ).
A.绝对值最小的实数是零 B.算术平方根最小的实数是零
C.平方最小的实数是零 D.立方根最小的实数是零
3. 下列说法中，正确的是（ ）.
A.任何实数的平方都是正数 [来B.正数的倒数必小于这个正数
C.绝对值等于它本身的数必是非负数 [来D.零除以任何一个实数都等于零
4. 与数轴上的点一一对应的数是( ).
A. 整数 B. 有理数 C. 无理数 D. 实数
5. 实数a在数轴上的位置如图所示，则a,－a,,a2的大小关系是（ ）.
A.a<－a<
C.6. .若和都有意义，则的值是（ ）.
A. B. C. D.
二、填空题(每小题6分，共24分)
1．的相反数是 , 倒数是 , -的绝对值是________ .
2．把下列各数填入相应的集合内:
－7, 0.32,,46, 0, ,,,－.
①有理数集合:{ …};
②无理数集合:{ …};
③正实数集合:{ …};
④实数集合:{ …}.
⑤非负数集合：{ …}.
⑥整数集合：{ …}.
3. 在下列说法中：①0.09是0.81的平方根；②9的平方根是±3；③的算术平方根是5；④是一个负数；⑤0的平方根和立方根都是0；⑥；⑦全体实数和数轴上的点一一对应．其中正确的是 _____ ．21cnjy.com
4. 若x，y为实数，且满足|x﹣3|＋＝0，则（）2013的值是 ．
三、解答题(每小题20分，40分)
1、已知，、互为倒数，、互为相反数，
求
2．一架方梯AB长25米，如图所示，斜靠在一面上：
（1）若梯子底端离墙7米，这个梯子的顶端距地面有多高？
（2）在（1）的条件下，如果梯子的顶端下滑了4米，那么梯子的底端在水平方向滑动了几米？
参考答案
一、选择题
1.B
【解析】①有理数包括整数、分数，整数中包含零，此结论错误；②无理数都是开方开不尽的数，如无限循环小数开方开不尽，是有理数，故此结论错误；③不带根号的数都是有理数如π，故此结论错误；④带根号的数都是无理数，如故此结论错误；⑤无理数都是无限小数，此结论正确；⑥无限不循环小数都是无理数. 故此结论错误。
故选B.
2. B
【解析】实数的绝对值是非负数，绝对值最小的实数是0，故A项表述正确。
算术平方根是非负数，因此算术平方根最小的实数是零。故B项表述正确
任何数的平方都是非负数，因此平方最小的实数是零。故C项表述正确。
由于立方根可以是整数、0、负数，不存在立方根最小的实数，故D项表述错误。
故选D.
3.C
【解析】由于0的平方是0，而0不是正数，故A错误；由于1的倒数是1，所以B错误；由绝对值的性质可知，绝对值等于它本身的数必是非负数，故C正确；当除数为0时，没有意义，故D选项错误。21世纪教育网版权所有
故选：C.
4.D
【解析】根据任何一个实数与数轴上的点一一对应可得，D项符合题意。
故选：D.
5.C
【解析】根据数轴上a所在的位置，可以用取特殊值得方法，表示出a ，﹣a , ,a2的值，然后比较即可。因为—1＜a＜0 所以令a=﹣0.5，则﹣a=0.5 ，=﹣2 ，a2=
因为﹣2＜﹣0.5＜＜0.5 所以＜a＜a2＜﹣a .所以C选项是正确的。
故选：C.
6.C
【解析】若和都有意义，则a≥0 ﹣a≥0 即a=0，
故选：C.
二、填空题
1. ﹣
【解析】根据实数的相反数，倒数及绝对值的意义可知，得相反数是﹣，倒数是，﹣的绝对值是。
2. ①有理数集合:{ －7, 0.32,,46, 0, …};
②无理数集合:{ ，，－ …};
③正实数集合:{ 0.32,,46, 0, ,, …};
④实数集合:{ －7, 0.32,,46, 0, ,,,－ …}.
⑤非负数集合：{ 0.32,,46, ,, …}.
⑥整数集合：{ －7, 46, 0, …}.
－7, 0.32,,46, 0, ,,,－.
【解析】对于复杂的数要进行简化，看其最后结果属于哪一类，如=6是有理数，因此对待问题不能只看形式，要看其本质。21教育网
3. ② ③ ⑤ ⑦
【解析】①0.9是0.81的平方根，故①是错误的。②（±3）2=9，所以9的平方根是±3正确的；③=25，25的算术平方根是5 ；④没意义，不正确；⑤正确；⑥=2，故⑥是错误的。⑦全体实数和数轴上的点一一对应，是正确的。21·cn·jy·com
故应填② ③ ⑤ ⑦
4. ﹣1.
【解析】根据题意得：x－3=0，y+3=0；所以 x=3；y=﹣3
（）2013==（﹣1）2013=﹣1.
三 解答题
1、解：依题意得，ab=1，c+d=0；
∴
=﹣++1
=﹣1+0+1=0
解：（1）在Rt△AOB中，AB=25米，OB=7米，OA===24(米)
答:梯子的顶端距地面24米；
（2）在Rt△AOB中，=24－4=20米
===15(米)
=15－7=8（米）
答:梯子的底端在水平方向滑动了8米；
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实数
【义务教育教科书北师版八年级上册】
学校：________
教师：________
课前回顾
1．有理数是如何分类的？分几种情况？
有理数
整数
分数
正整数
零
负整数
正分数
负分数
（1）按定义可分为：
有理数
正有理数
零
负有理数
正整数
正分数
负整数
负分数
（2）按数的性质可分为：
任何有理数都可以化成有限小数和无限循环小数的形式
课前回顾
2.什么是无理数？带根号的数都是无理数吗？
无理数是无限不循环小数.
带根号的数不一定是无理数.
无理数一般有哪些形式
（1）开不尽方的数是无理数。
（2） 及含有 的数是无理数
（3）有一定的规律，但不循环的无限小数是无理数。
练一练
把下列各数分别填入相应的集合内：
（相邻两个3之间的7的个数逐次加1）
有理数集合
无理数集合
探究新知
有理数和无理数统称为实数
即实数可以分为有理数和无理数
1、实数的定义
实数
有理数
无理数
2、实数的分类
正有理数
负有理数
正无理数
负无理数
（1）按定义可分为：
零
有限小数或无限循环小数
无限不循环小数
探究新知
（2）按数的性质可分为：
实数
正实数
负实数
正有理数
负有理数
正无理数
负无理数
零
无理数和有理数一样，也有正负之分。
如： 是____的，﹣π是____的。
正
负
探究新知
例1、把下列各数填入相应的集合内：
（1）有理数集合：
（2）无理数集合：
（3）正实数集合：
（4）负实数集合：
7.5，4， ， ，0.31，
， ，-π
，
7.5， ，4 ， ， ，0.31，
在实数范围内 ，相反数、倒数、绝对值的意义 ，和有理数范围内的相反数、倒数、绝对值的意义完全一样。
探究新知
与 互为相反数
与 互为倒数
，
，
练一练
1. a是一个实数,它的相反数是
绝对值是
当a ≠0时，它的倒数是
2. 的绝对值是
想一想
1.在有理数范围内，能进行哪些运算？用哪些运算律？
在有理数范围内，能进行加、减、乘、除、乘方运算
运算律有：
加法交换律、加法结合律
乘法交换律、乘法结合律、乘法分配律
想一想
2.判断下列各式成立吗？
有理数的运算法则及运算律对实数仍然适用.
成立
成立
成立
议一议
每个有理数都可以用数轴上的点表示，那么无理数是否也可以用数轴上的点来表示呢？
（1） 如图,OA=OB数轴上的 点A对应的数是什么？ 它
介于哪两个整数之间？
-2
-1
O
1
2
A
B
1
探究新知
（2） 你能在坐标轴上找得到 对应的点吗？
与同伴进行交流.
3
-1
0
1
2
也就是说:每一个无理数都可以用数轴上的一个点来表示。
数轴上的点有些表示有理数,有些表示无理数.
探究新知
实数与数轴上的点的对应关系：
每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；
反过来，数轴上的每一点都表示一个实数。
即实数和数轴上的点是一一对应的。
在数轴上，右边的点表示的数比左边的点表示的数大。
探究新知
例2、 比较下列各组数中两个数的大小：
（1）3.14与π； （2）- 与 .
解：（1）∵π≈3.141，
∴3.14<π.
（2）∵ - ≈-1.732，
≈-1.442
∴ - <
1、判断下列说法是否正确：
（1）带根号的数都是无理数；
（2）绝对值最小的实数是0；
（3）数轴上的每一个点都表示一个有理数。
2、在实数0，π， ，3.14， ， ， ，
0.3010300100300010003……中，无理数有____个。
达标测评
的相反数是______，它的绝对值是______,
的绝对值是______,
×
√
×
3
达标测评
4. 的相反数是______， 的绝对值是________。
5.大于 的所有负整数___________ .
6.（金华·中考）在 －3，－ ，－1， 0 这四个实数中，
最大的是______。
﹣3，﹣2，﹣1
0
【解析】因为 -3，－ ，－1为负数，小于0，所以0最大.
【解析】∵ 17＞16
∴
∴
∴
大于﹣ 的所有负整数﹣3，﹣2，﹣1.
达标测评
7．在数轴上作出 对应的点．
4
-2
0
1
2
3
-1
拓展提升
2、已知 =0，求 的值.
1、如图，在数轴上点A和点B之间的整数是 ．
A
B
【解析】1＜ ＜2，2＜ ＜3，在 与 之间的
整数是2. 答案：2
2
【解析】 根据题意得
x-2=0
y-4=0
z-6=0
∴ x=2 y=4 z=6
∴ xyz=2×4×6=48
2、在实数范围内，相反数、倒数、绝对值的意义和有理数范围内的相反数、倒数、绝对值的意义完全一样.
体验收获
今天我们学习了哪些知识？
1、有理数和无理数统称实数.
没有比脚更长的路,
没有比人更高的山.
名言警句
布置作业
教材40页习题第1、2、3题。