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矩形的性质和判定2
【义务教育教科书北师版九年级上册】
学校：________
教师：________
复习导入
1.有一个角是__________的平行四边形是矩形;
2.矩形的四个角都是___________,
矩形的对角线____________.
直角
直角
相等
工人师傅为了检验两组对边相等的四边形窗框是否成矩形，一种方法是量一量这个四边形的两条对角线长度，如果对角线长相等，则窗框一定是矩形，你知道为什么吗？
情境创设：
探究一：
制作一个如图所示的平行四边形的活动框架. 在一个平行四边形活动框架上，用两根橡皮筋分别套在两个相对的顶点上，拉动一对不相邻的顶点时.
1.随着∠ 的变化，两条对角线的长度将发生怎样的变化？
随着∠ 的增大，两条对角线的长度将慢慢的变成相等的；
探究一：
当两条对角线的长度相等时,∠ =90°,此时平行四边形变成了矩形.
（2）当两条对角线的长度相等时，平行四边形又什么特征？由此你能得到一个怎样的猜想？
猜想：对角线相等的平行四边形是矩形.
结论证明：
已知:如图,在 ABCD中,对角线AC=B
求证:平行四边形ABCD是矩形.
证明:∵四边形ABCD是平行四边形.
∴AB=CD,AB∥CD.
又∵AC=DB,BC=CB.
∴ △ABC≌△DCB.
∴∠ABC=∠DCB.
又∵AB∥CD.
∴∠ABC+∠DCB=180°.
∴∠ABC=∠DCB = ×180°=90°.
∴ ABCD是矩形.(矩形的定义)
定理：对角线相等的平行四边形是矩形.
探究结论：
在 ABCD中，
四边形ABCD是矩形
AC=BD
巩固练习：
判断下面的结论是否正确：
1.对角线相等的四边形是矩形；( ).
2.对角线互相平分的四边形是矩形；（ ）
3.对角线相等且互相垂直的四边形是矩形；（ )
4.对角线互相平分且相等的四边形是矩形；( )
5. 对角线相等，且有一个角是直角的四边形是矩形；( )
6.两组对边分别平行，且对角线相等的四边形是矩形．
( )
错
对
错
对
错
对
1.有一个角是直角的 四边形是矩形吗？
探究二：
2.有两个角是直角的 四边形是矩形吗？
3.有三个角是直角的 四边形是矩形吗？
不是
不是
是
2.李芳同学用“边——直角、边——直角、边——直角、边”这样四步，画出了一个四边形，她说这就是一个矩形，她的判断对吗？为什么
探究二：
猜想：有三个角是直角的四边形是矩形
是矩形，因为有三个角是直角
已知:如图,在四边形ABCD中, ∠A=∠B=∠C=900.
求证:四边形ABCD是矩形
结论证明：
证明:∵ ∠A=∠B=∠C=900,
∴∠A+∠B=1800,∠B+∠C=1800
∴AD∥BC,AB∥CD.
∴四边形ABCD是平行四边形.
∴四边形ABCD是矩形.
典例探究
定理:有三个角是直角的四边形是矩形.
几何语言：
在四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=90°，则四边形ABCD是矩形．
巩固练习：
判断下面的结论是否正确：
1.有一个角是直角的四边形是矩形；；( ).
2.有四个角是直角的四边形是矩形；（ ）
3.四个角都相等的四边形是矩形；（ )
4.一组邻边垂直，一组对边平行且相等的四边形是矩形；( )
错
对
对
对
探究总结：
通过上面的探究活动，我们可以发现：
1.一个角是直角的平行四边形是矩形．
2.三个角是直角是四边形是矩形．
3.对角线相等的平行四边形是矩形．
典例探究：
已知平行四边形ABCD的对角线AC、BD交于O，△AOB是等边三角形，AB = 4cm，求这个平行四边形的面积.
解：∵ABCD是平行四边形，
∴AC = 2OA，BD = 2OB。
∵OA = OB，
∴AC =BD，
∴ ABCD是矩形。
在Rt△ABC中，
∵AB = 4cm，AC=2AO=8cm，
∴BC=
∴ AB·BC = 4×4 =16
1.已知：如图（1），ABCD的四个内角的平分线分别相交于点E，F，G，H．求证：四边形EFGH是矩形．
尝试应用：
证明：∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AD∥BC．
∴ ∠DAB＋∠ABC=180°．
又 AE平分∠DAB，BG平分∠ABC ，
∴ ∠EAB＋∠ABG=×180°=90°．
∴ ∠AFB=90°．
同理可证 ∠AED=∠BGC=∠CHD=90°．
∴ 四边形EFGH是平行四边形（有三个角是直角的四边形是矩形）
尝试应用：
尝试应用：
2.已知 ABCD的对角线AC、BD相交于点O，△AOB是等边三角形，AB=4 cm，求这个平行四边形的面积．
解：∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AO= AC，BO= BD．
∵ AO=BO，
∴ AC=BD．
∴ ABCD是矩形（对角线相等的平行四边形是矩形）．
在Rt△ABC中，
∵ AB=4cm，AC=2AO=8cm，
∴ BC= （cm）．
达标测评：
1.如图，四边形ABCD的两条对角线互相平分，要使它变为矩形，需要添加的条件是（ ）
A.AB=CD B.AD=BC C.AB=BC D.AC=BD
2.在数学活动课上，同学们判断一个四边形门框是否为矩形，下面是某学习小组4位同学你定的方案，其中正确的是（ ）
A测量对角线是否互相平分，
B.测量两组对边是否分别相等
C.测量其中三个角是否都是直角
D.测量对角线是否相等.
第一题图
D
C
3.如图，顺次连接四边形ABCD各边的中点，得到四边形EFGH，在下列条件中，能使四边形EFGH为矩形的是( )
A.AB=CD B.AC=BD C.AC⊥ BD D.AD∥BC
4.如图所示，已知 ABCD，下列条件：①AC=BD;②AB=AD;③∠1=∠2;④AB⊥BC中，能说明 ABCD是矩形的有_______（填写序号）
达标测评：
C
①
④
5.如图，直角∠AOB内的一点P到这个角的两边的距离之和为6，则图中四边形的周长为____.
达标测评：
12
已知：如图，四边形ABCD是由两个全等的正三角形ABD和BCD组成的，M，N分别为BC，AD的中点．
求证：四边形BMDN是矩形．
拓展提高：
证明：在正三角形ABD和BCD中，M，N分别为BC，AD的中点.
∴BN⊥AD，DM⊥BC，∠DBC=60°，
∠BND=∠DMB=90°，∠NBD=30°.
∴∠NBM=90°.
∴四边形BMDN是矩形.
体验收获
矩形的判定有：
1.一个角是直角的平行四边形是矩形．
2.三个角是直角是四边形是矩形．
3.对角线相等的平行四边形是矩形
七、布置作业
习题1.5第1题、第2题1.1矩形的性质和判定（2）
班级：___________姓名：___________得分：__________
选择题
1.平行四边形四个内角的平分线，如果能围成一个四边形，那么这个四边形一定是（ ）
A.矩形 B.菱形 C.正方形 D.等腰梯形
2.四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，下列各条件中，能判断四边形ABCD是矩形的是( )2-1-c-n-j-y
A．AO＝CO，BO＝DO B．AO＝BO＝CO＝DO
C．AC＝BD，AO＝CO D．AO＝CO，BO＝DO，AC⊥BD
3.如图，在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，OA＝2，若要使 ABCD为矩形，则OB的长应该为( )【版权所有：21教育】
A．4 B．3 C．2 D．1
4.将矩形ABCD沿AE折叠，得到如图所示的图形，已知∠=60°，则∠AED的大小是（ ） 21教育名师原创作品
A．60°. B．50°. C．75°. D．55°
5.如图，在△ABC中，AB＝AC，将△ABC绕点C旋转180°得到△FEC，连接AE，BF.当∠ACB为____度时，四边形ABFE为矩形．21世纪教育网版权所有
A．60°. B．50°. C．75°. D．55°
二、填空题
6.矩形的一边长为6，各边中点围成的四边形的周长是20 ，则矩形的对角线为 _______，面积为__________.21cnjy.com
7.如图，矩形ABCD中，E是BC中点，∠BAE=30°，AE=4，则AC=______．
8．如图，矩形ABCD中，AB=2BC，在CD上取上一点M，使AM=AB，则∠MBC=_______．
9. 矩形周长为36cm，一边中点与对边两顶点的连线所夹的角是直角，则矩形各边长是______．
三、简答题
10.已知：如图，矩形ABCD中，EF⊥CE，EF=CE，DE=2，矩形的周长为16，求AE的长．www.21-cn-jy.com
11.如图，将矩形ABCD沿AE折叠，使点D落在BC边上的F点处.
（1）若∠BAF＝60°，求∠EAF的度数；
（2）若AB＝6cm，AD＝10cm，求线段CE的长及△AEF的面积.
参考答案
选择题
A
【解析】∵AB//CD，
∴∠ABC十∠BCD= 180°。
∵BG平分∠ABC。OG平分∠BCD
∴∠GBC= ∠ABC，∠BCG= ∠BCD
∴∠BGC+∠BCG =（∠ABC+∠BCD）=×180°=90°
同理可证∠GHE=∠EFG=∠FEH=90°
∴四边形EFGH是矩形。所以答案选A21教育网
B
【解析】∵AO＝BO＝CO＝DO，∴对角线相互平分，且AC=BD，所以四边形是矩形.所以答案选B
C
【解析】根据矩形的性质得到OA=OC，OB=OD，AC=BD，求出OA=OB即可．
假如平行四边形ABCD是矩形，
OA=OC，OB=OD，AC=BD，
∴OA=OB=2．
故选C．所以答案选C2·1·c·n·j·y
4.A
【解析】∵∠CED′=60°，
∴∠DED′=180°-60°=120°，
∵∠AED=∠AED′，
∴∠AED=∠DED′=60°．
故答案为：60°．
故选：A．21·cn·jy·com
5A.
【解析】如果四边形ABFE为矩形，根据矩形的性质，
那么AF=BE，AC=BC，
又因为AC=AB，
那么三角形ABC是等边三角形，
所以∠ACB=60°．
故答案为60.故选：A．【来源：21·世纪·教育·网】
二、填空题
6.10，48
【解析】四边形ABCD为矩形,∠A=90°，因为E、F、M、N是AB,AD,BC、CD中点，所以EFNM是菱形，有因为周长为20，所以EF=5，AB=6，AE=3，在RT△AEF中，利用勾股定理可得AF=8，则AD=8，在RT△ABD中，利用勾股定理可得BD=10，,所以矩形ABCD的面积=48.
7.
【解析】在直角△ABE中，∠BAE=30°．
∴BE=AE=4=2，在直角△ABE中利用勾股定理得到21·世纪*教育网
．
∴BC=2BE=4．
在直角△ABC中利用勾股定理得到：
8.15°
【解析】∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D=∠ABC=90°，AD=BC，DC∥AB，
∵AB=AM，AB=2CB，
∴AM=2AD，
∴∠DMA=30°，
∵DC∥AB，
∴∠DMA=∠MAB=30°，
∵AE=AB，
∴∠ABE=∠AEB=（180°-∠MAB）=75°，
∵∠ABC=90°，
∴∠EBC=90°-75°=15°，
故答案为：15°．www-2-1-cnjy-com
9. 矩形的长为12、宽为6
【解析】设这个矩形为矩形ABCD，E是BC的中点，∠AED＝90
∵矩形ABCD
∴AB＝CD，AD＝BC，∠B＝∠D＝∠BAD＝90
∴矩形的周长＝AB+CD+AD+BC＝2（AB+BC）
∴2（AB+BC）＝36
∴AB+BC＝18
∵E是BC的中点
∴BE＝CE＝BC21*cnjy*com
∴△ABE≌△DCE （SAS）
∴AE＝DE
∵∠AED＝90
∴∠EAD＝45
∴∠BAE＝∠BAD-∠EAD＝45
∴AB＝BE＝BC/2
∴BC＝2AB
∴3AB＝18
∴AB＝6
∴BC＝2AB＝12
答：矩形的长为12、宽为6【出处：21教育名师】
三、解答题
10.∵EF⊥CE
∴∠FEC＝90°
∴∠AEF＝∠DCE,
∵EF=CE ∠A＝∠D
∴△AEF≌△CDE
∴AE＝CD
∴AD＝AE＋DE＝CD＋2
∴4CD＋4＝16∴CD＝3
∴AE＝3
11. 解：长方形ABCD沿AE折叠,使D点落在BC边上的F点处
所以：AE垂直平分DF
AD=AF，∠DAE=∠DAF
又因为： ∠BAF=60°,∠BAD=90°
所以：∠DAF=∠BAD-∠BAF=30°
∠DAE=∠DAF=15°【来源：21cnj*y.co*m】
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精品资料·第 1 页 （共 1 页） 版权所有@21世纪教育网课题： 1.2矩形的性质与判定（2）
教学目标：
一、知识与技能目标：
理解并掌握矩形的判定方法,并能利用判定方法证明一个图形是矩形.
二、过程与方法目标：
经历探索、猜测、证明的过程，发展学生的推理论证能力，培养学生找到解题思路的能力，
三、情感态度与价值观目标：
进一步体会证明的必要性以及计算与证明在解决问题中的作用，培养学生的数学推理意识.
重点：矩形的判定．
难点：矩形的判定及性质的综合应用．
教学流程：
复习导入
有一个角是__________的平行四边形是矩形;
矩形的四个角都是___________,矩形的对角线____________.
情景创设：
工人师傅为了检验两组对边相等的四边形窗框是否成矩形，一种方法是量一量这个四边形的两条对角线长度，如果对角线长相等，则窗框一定是矩形，你知道为什么吗？
三、探究一
制作一个如图所示的平行四边形的活动框架. 在一个平行四边形活动框架上，用两根橡皮筋分别套在两个相对的顶点上，拉动一对不相邻的顶点时.21世纪教育网版权所有
随着∠的变化，两条对角线的长度将发生怎样的变化？
当两条对角线的长度相等时，平行四边形又什么特征？由此你能得到一个怎样的猜想？
（1）随着∠的增大，两条对角线的长度将慢慢的变成相等的；
（2）当两条对角线的长度相等时,∠ =90°,此时平行四边形变成了矩形.
由此可以得到如下猜想：对角线相等的平行四边形是矩形.
我们来证明：
已知:如图,在 ABCD中,对角线AC=B
求证:平行四边形ABCD是矩形.
证明:∵四边形ABCD是平行四边形.
∴AB=CD,AB∥CD.
又∵AC=DB,BC=CB.
∴ △ABC≌△DCB.
∴∠ABC=∠DCB.
又∵AB∥CD.
∴∠ABC+∠DCB=180°.
∴∠ABC=∠DCB = ×180°=90°.
∴ ABCD是矩形.(矩形的定义)
定理:对角线相等的平行四边形是矩形.
几何语言：在 ABCD中，
四边形ABCD是矩形
AC=BD
巩固练习：
判断下面的结论是否正确：
1.对角线相等的四边形是矩形；( ).
2.对角线互相平分的四边形是矩形；（ ）
3.对角线相等且互相垂直的四边形是矩形；（ )
4.对角线互相平分且相等的四边形是矩形；( )
5. 对角线相等，且有一个角是直角的四边形是矩形；( )
6.两组对边分别平行，且对角线相等的四边形是矩形．( )
探究二：
1.有一个角是直角的 四边形是矩形吗？
有两个角是直角的 四边形是矩形吗？
有三个角是直角的 四边形是矩形吗？
李芳同学用“边——直角、边——直角、边——直角、边”这样四步，画出了一个四边形，她说这就是一个矩形，她的判断对吗？为什么21教育网
由此可以得到如下猜想：有三个角是直角的四边形是矩形
我们来证明它：
已知:如图,在四边形ABCD中, ∠A=∠B=∠C=900.
求证:四边形ABCD是矩形
证明:∵ ∠A=∠B=∠C=900,
∴∠A+∠B=1800,∠B+∠C=1800
∴AD∥BC,AB∥CD.
∴四边形ABCD是平行四边形.
∴四边形ABCD是矩形.
定理:有三个角是直角的四边形是矩形.
几何语言：
在四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=90°，则四边形ABCD是矩形．
巩固练习：
判断下面的结论是否正确：
1.有一个角是直角的四边形是矩形；；( ).
2.有四个角是直角的四边形是矩形；（ ）
3.四个角都相等的四边形是矩形；（ )
4.一组邻边垂直，一组对边平行且相等的四边形是矩形；( )
探究总结：
通过上面的探究活动，我们可以发现：
1.一个角是直角的平行四边形是矩形．
2.三个角是直角是四边形是矩形．
3.对角线相等的平行四边形是矩形．
三、典例探究：
已知平行四边形ABCD的对角线AC、BD交于O，△AOB是
等边三角形，AB = 4cm，求这个平行四边形的面积.
解：∵ABCD是平行四边形，
∴AC = 2OA，BD = 2OB。
∵OA = OB，
∴AC =BD，
∴ ABCD是矩形。
在Rt△ABC中，
∵AB = 4cm，AC=2AO=8cm，
∴BC=
∴ AB·BC = 4×4 =16
四、尝试应用
1.已知：如图（1），ABCD的四个内角的平分线分别相交于点E，F，G，H．求证：四边形EFGH是矩形．21cnjy.com
2.已知 ABCD的对角线AC、BD相交于点O，△AOB是等边三角形，AB=4 cm，求这个平行四边形的面积．21·cn·jy·com
五、达标测评
如图，四边形ABCD的两条对角线互相平分，要使它变为矩形，需要添加的条件是（ ）
AB=CD B.AD=BC C.AB=BC D.AC=BD
在数学活动课上，同学们判断一个四边形门框是否为矩形，下面是某学习小组4位同学你定的方案，其中正确的是（ ）www.21-cn-jy.com
A测量对角线是否互相平分； B.测量两组对边是否分别相等
C.测量其中三个角是否都是直角 D.测量对角线是否相等.
3.如图，顺次连接四边形ABCD各边的中点，得到四边形EFGH，在下列条件中，能使四边形EFGH为矩形的是( )2·1·c·n·j·y
A.AB=CD B.AC=BD C.ACBD D.AD∥BC
4.如图所示，已知 ABCD，下列条件：①AC=BD;②AB=AD;③∠1=∠2;④AB⊥BC中，能说明 ABCD是矩形的有_______（填写序号）【来源：21·世纪·教育·网】
5.如图，直角∠AOB内的一点P到这个角的两边的距离之和为6，则图中四边形的周长为____.
拓展提升
已知：如图，四边形ABCD是由两个全等的正三角形ABD和BCD组成的，M，N分别为BC，AD的中点．21·世纪*教育网
求证：四边形BMDN是矩形．
证明：在正三角形ABD和BCD中，M，N分别为BC，AD的中点.
∴BN⊥AD，DM⊥BC，∠DBC=60°，
∠BND=∠DMB=90°，∠NBD=30°.
∴∠NBM=90°.
∴四边形BMDN是矩形.
七、体验收获
矩形的判定有：
1.一个角是直角的平行四边形是矩形．
2.三个角是直角是四边形是矩形．
3.对角线相等的平行四边形是矩形
八、布置作业
习题1.5第1题、第2题
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