课题：3.2正方形的性质与判定（2）
教学目标：
一、知识与技能目标：
理解掌握正方形的判定定理．
2．体会证明的必要性以及计算与证明在解决问题中的作用．
二、过程与方法目标：
1.经历探索、猜想、证明的过程，进一步发展推理论证能力．
2．进一步体会证明的必要性以及计算与证明在解决问题中的作用．
3．体会证明过程中所运用的归纳概括以及转化等数学思想方法．
三、情感态度与价值观目标：
1.通过知识的迁移、类比、转化，激发学生探索新知识的积极性和主动性．
2．体会数学与生活的联系．
重点：特殊四边形—— 正方形的判定定理的灵活应用．
难点：特殊四边形—— 正方形的判定定理的灵活应用．
教学流程：
复习导入
__________________________________________是正方形;
正方形的四个角都是___________,四条边________________,对角线____________.
情景创设：
将一张长方形纸对折两次，然后剪下一个角，打开，怎样剪才能剪出一个正方形？
要保证剪的是正方形，则必须保证剪口线与折痕成45°角.
三、探究一
满足怎样的条件的矩形是正方形呢？（从边、角、对角线考虑）
只要在满足对角线互相垂直，就能得到正方形 ；只要在满足邻边相等，就能得到正方形
满足怎样的条件的菱形是正方形呢？（从边、角、对角线考虑）
如果是菱形，只要在满足对角线相等（或者有一个角是直角），就能得到正方形
探究结论：
对角线相等的菱形是正方形.
对角线垂直的矩形是正方形.
有一个角是直角的菱形是正方形.
定理：有一个角是直角的菱形是正方形.
已知:四边形ABCD为菱形,∠ABC=90°
求证:ABCD为正方形
证明:∵四边形ABCD为菱形,
∠ABC=90°
∴AB CD ，BC AD
∠BAD=∠ABC=90°(两直线平行,内对角相等)
同理可得
∠ADC=∠BAD=90°
∠ADC=∠BCD=90°
4个角都相等,4条边都相等的四边形为正方形
定理;对角线相等的菱形是正方形.
已知：四边形ABCD是菱形，且对角线AC=BD.
求证：四边形ABCD是正方形
证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴四边形ABCD也是平行四边形，
又∵AC=BD（且AC，BD互相平分），
∴四边形ABCD也为矩形，
又∵四边形ABCD是菱形，
∴四边形ABCD是正方形．
定理：对角线垂直的矩形是正方形.
已知：矩形ABCD的对角线交于点O,且AC⊥BD.
求证：四边形ABCD是正方形.
证明：∵四边形ABCD是矩形
∴OA=OB=OC=OD
又∵AC⊥BD
∴△OAD≌△OBA(SAS)
∴AD=BA
∴四边形ABCD是正方形(有一组邻边相等的矩形是正方形)
探究二：
请你找出平行四边形、矩形、菱形、正方形之间的关系，并绘制知识网络图表，同时在小组内进行交流.
探究总结：
通过上面的探究活动，我们可以发现：
要证明一个四边形是正方形，只要证明出它既是一个矩形，又是一个菱形即可。
探究三：
1.任意画一个四边形，以四边的中点为顶点可以组成一个什么图形？先猜一猜，再证明.
解：是平行四边形,理由如下
连接AC,∵E 、F、 G、 H是AB、BC、CD、DA的中点,
∴EF、GH是中位线，
∴EF AC 、GH AC
∴EF GH
∴四边形EFGH是平行四边形
2.任意画一个菱形，以四边的中点为顶点可以组成一个什么图形？先猜一猜，再证明.
是矩形
仿上可知EFGH是平行四边形,
∵AC⊥BD,∴EF⊥EH,故EFGH是矩形.
3.任意画一个矩形，以四边的中点为顶点可以组成一个什么图形？先猜一猜，再证明.
是菱形
∵EF ；HG
,∴EF HG,EFGH是平行四边形,
∵AC=BD,EH= ,∴EF=EH,故EFGH是菱形.
4.任意画一个正方形，以四边的中点为顶点可以组成一个什么图形？先猜一猜，再证明.
这是因为正方形兼具矩形和菱形的特点,顺次连接正方形四边的中点,得到的平行四边形
也就既是菱形又是矩形,所以得到的是正方形.
5.以四边的中点为顶点可以组成的四边形的形状与那些线段有关？有怎样的关系？
无论对角线怎样都是平行四边形,对角线相等是菱形,垂直是矩形,垂直相等是正方形
三、典例探究：
如图，在矩形ABCD中，BE平分∠ABC，CE平分∠DCB，BF∥CE，CF∥BE。求证： 四边形BECF是正方形．21世纪教育网版权所有
证明 ∵ BF∥CE，CF∥BE
∴ 四边形BECF是平行四边形
∵四边形ABCD是矩形
∴∠ABC＝90° ∠DCB＝90°
又∵BE平分∠ABC，CE平分∠DCB
∴∠EBC= ∠ABC=45°∠ECB= ∠DCB=45°
∴ ∠EBC∠ECB ∴EB=EC
□ BECF是菱形（菱形的定义）
△EBC中∠EBC=45°∠ECB=45°
∴∠BEC=90°
∴菱形BECF是正方形（有一个角是直角的菱形是正方形）
四、尝试应用
1.四边形ABCD中，AC、BD相交于O，下列条件中，能判定这个四边形是正方形的是（ ）；
A. AO = BO = CO = DO，AC⊥BD B. AB∥CD，AC = BD
C. AD∥BC，∠A =∠C D. AO = CO，BO = CO，AB = BC
2.四边形ABCD的对角线AC = BD，且AC⊥BD，分别过A、B、C、D作对角线的平行线，则所构成的四边形是（ ）.21教育网
A. 平行四边形 B. 矩形 C. 菱形 D. 正方形
3.下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是( )
A．平行四边形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．菱形
4如图，正方形ABCD的边长为8，在各边上顺次截取AE＝BF＝CG＝DH＝5，则四边形EFGH的面积是( )21cnjy.com
A．30 B．34 C．36 D．40
5.如图，在正方形ABCD中，∠DAF＝25°，AF交对角线BD于E 点，则∠BEC＝( )
A．45° B．60° C． 70° D．75°
五、拓展提升
已知：如图点A' 、 B' 、 C'、D'分别是正方形ABCD
四条边上的点，并且AA'=BB'=CC'=DD'。
求证：四边形A'B'C'D'是正方形
证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD=DA。
又∵A`A=B`B=C`C=D`D，
∴D`A=A`B=B`C=C`D.
∵∠A=∠B=∠C=∠D=90°，
∴△AA`D`≌△BB`A`≌△CC`B`≌△DD`C`，
A`D`=A`B`=B`C`=C`D`.
∴四边形A`B`C`D`是菱形.又∵∠AD`A`=∠BA`B`， ∠ AA`D`+∠AD`A`=90°，
∴ ∠AA`D`+∠BA`B`=90 °.
∵∠D`A`B`=180°—（∠AA`D`+∠BA`B`）=90°，
∴四边形A`B`C`D`是正方形.
六、达标测评
1平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有的是（ ）
A．对角线互相平分 B．对角线互相垂直
C．对角线相等 D．对角线互相垂直且相等
2.如图，在正方形ABCD中作等边△AEF，则∠AFD的度数为（ ）
A、40° B、75° C、50° D、55°
3..正方形边长为a，若以此正方形的对角线为一边作正方形，则所作正方形的对角线长为__________..21·cn·jy·com
4.在正方形ABCD的AB边的延长线上取一点E，使BE = BD，连接DE交BC于F，则∠BFD =__________°；www.21-cn-jy.com
5.如图，在正方形ABCD的边BC的延长线上取一点E，使CE＝AC，连结AE交CD于F，则∠AFC＝ ____________ 2·1·c·n·j·y
七、体验收获
正方形的判定有：
既是一个矩形又是一个菱形，即为正方形.
八、布置作业
习题1.8（1、3、5）
F
D
E
A
B
C
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正方形
【义务教育教科书北师版九年级上册】
学校：________
教师：________
复习导入 ：
1._______________________________是正方形;
2.正方形的四个角都是___________,四条边______,对角线__________________.
有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形
直角
相等
垂直平分且相等
将一张长方形纸对折两次，然后剪下一个角，打开，怎样剪才能剪出一个正方形？
情景创设：：
要保证剪的是正方形，
则必须保证剪口线与折痕成45°角.
满足怎样的条件的矩形是正方形呢？
（从边、角、对角线考虑）
探究一：
只要在满足对角线互相垂直，就能得到正方形
只要在满足邻边相等，就能得到正方形
探究一：
如果是菱形，只要在满足对角线相等（或者有一个角是直角），就能得到正方形
满足怎样的条件的菱形是正方形呢？
（从边、角、对角线考虑）
一个角是直角
对角线相等
结论证明：
已知:四边形ABCD为菱形,∠ABC=90°
求证:ABCD为正方形
定理：有一个角是直角的菱形是正方形.
证明:∵四边形ABCD为菱形,
∠ABC=90°
∴AB CD ，BC AD
∠BAD=∠ABC=90°(两直线平行,内对角相等)
同理可得
∠ADC=∠BAD=90°
∠ADC=∠BCD=90°
4个角都相等,4条边都相等的四边形为正方形
结论证明：
已知：四边形ABCD是菱形，且对角线AC=BD.
求证：四边形ABCD是正方形
定理;对角线相等的菱形是正方形.
证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴四边形ABCD也是平行四边形，
又∵AC=BD（且AC，BD互相平分），
∴四边形ABCD也为矩形，
又∵四边形ABCD是菱形，
∴四边形ABCD是正方形．
探究结论：
定理：对角线垂直的矩形是正方形.
证明：∵四边形ABCD是矩形
∴OA=OB=OC=OD
又∵AC⊥BD
∴△OAD≌△OBA(SAS)
∴AD=BA
∴四边形ABCD是正方形(有一组邻边相等的矩形是正方形)
已知：矩形ABCD的对角线交于点O,且AC⊥BD.
求证：四边形ABCD是正方形.
结论证明：
已知：四边形ABCD是菱形，且对角线AC=BD.
求证：四边形ABCD是正方形
定理;对角线相等的菱形是正方形.
证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴四边形ABCD也是平行四边形，
又∵AC=BD（且AC，BD互相平分），
∴四边形ABCD也为矩形，
又∵四边形ABCD是菱形，
∴四边形ABCD是正方形．
探究二：
请你找出平行四边形、矩形、菱形、正方形之间的关系，并绘制知识网络图表，同时在小组内进行交流.
通过上面的探究活动，我们可以发现：
要证明一个四边形是正方形，只要证明出它既是一个矩形，又是一个菱形即可。
探究总结：
探究三：
任意画一个四边形，以四边的中点为顶点可以组成一个什么图形？先猜一猜，再证明.
解：是平行四边形,理由如下
连接AC,∵E 、F、 G、 H是AB、BC、CD、DA的中点,
∴EF、GH是中位线，
∴EF AC 、GH AC
∴EF GH
∴四边形EFGH是平行四边形
探究三：
任意画一个菱形，以四边的中点为顶点可以组成一个什么图形？先猜一猜，再证明.
仿上可知EFGH是平行四边形,
∵AC⊥BD,∴EF⊥EH,故EFGH是矩形.
是矩形
探究三：
任意画一个矩形，以四边的中点为顶点可以组成一个什么图形？先猜一猜，再证明.
∵EF ；HG ,∴EF HG,EFGH
是平行四边形,
∵AC=BD,EH= ,∴EF=EH,故EFGH是菱形.
是菱形
∵EF ；HG ,∴EF HG,EFGH
是平行四边形,
∵AC=BD,EH= ,∴EF=EH,故EFGH是菱形.
是菱形
∵EF ；HG ,∴EF HG,EFGH
是平行四边形,
∵AC=BD,EH= ,∴EF=EH,故EFGH是菱形.
探究三：
任意画一个正方形，以四边的中点为顶点可以组成一个什么图形？先猜一猜，再证明.
这是因为正方形兼具矩形和菱形的特点,顺次连接正方形四边的中点,得到的平行四边形
也就既是菱形又是矩形,所以得到的是正方形.
探究总结：
以四边的中点为顶点可以组成的四边形的形状与那些线段有关？有怎样的关系？
无论对角线怎样都是平行四边形,对角线相等是菱形,垂直是矩形,垂直相等是正方形
如图，在矩形ABCD中，BE平分∠ABC，CE平分∠DCB，BF∥CE，CF∥BE。求证： 四边形BECF是正方形．
、典例探究：：
证明 ∵ BF∥CE，CF∥BE
结论论证：
∴ 四边形BECF是平行四边形
∵四边形ABCD是矩形
∴∠ABC＝90° ∠DCB＝90°
又∵BE平分∠ABC，CE平分∠DCB
∴∠EBC= ∠ABC=45°∠ECB= ∠DCB=45°
∴ ∠EBC∠ECB ∴EB=EC
平行四边形BECF是菱形（菱形的定义）
△EBC中∠EBC=45°∠ECB=45°
∴∠BEC=90°
∴菱形BECF是正方形（有一个角是直角的菱形是正方形）
1.四边形ABCD中，AC、BD相交于O，下列条件中，能判定这个四边形是正方形的是（ ）；
A. AO = BO = CO = DO，AC⊥BD
B. AB∥CD，AC = BD
C. AD∥BC，∠A =∠C
D. AO = CO，BO = CO，AB = BC
2.四边形ABCD的对角线AC = BD，且AC⊥BD，分别过A、B、C、D作对角线的平行线，则所构成的四边形是（ ）.
A. 平行四边形 B. 矩形 C. 菱形 D. 正方形
尝试应用
A
D
3.下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是( )
A．平行四边形 B．等腰三角形
C．等边三角形 D．菱形
4如图(6)，正方形ABCD的边长为 8，在各边上顺次截取AE＝BF＝CG＝DH＝5，则四边形EFGH的面积是( )
A．30 B．34 C．36 D．40
尝试应用：
D
B
尝试应用
5.如图，在正方形ABCD中，∠DAF＝25°，AF交对角线BD于E 点，则∠BEC＝( )
A．45° B．60° C． 70° D．75°
C
已知：如图点A' 、 B' 、 C'、D'分别是正方形ABCD
四条边上的点，并且AA'=BB'=CC'=DD'。
求证：四边形A'B'C'D'是正方形
拓展提升：
证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD=DA。
又∵A`A=B`B=C`C=D`D，
∴D`A=A`B=B`C=C`D.
∵∠A=∠B=∠C=∠D=90°，
∴△AA`D`≌△BB`A`≌△CC`B`≌△DD`C`，
A`D`=A`B`=B`C`=C`D`.
∴四边形A`B`C`D`是菱形.又∵∠AD`A`=∠BA`B`， ∠ AA`D`+∠AD`A`=90°，
∴ ∠AA`D`+∠BA`B`=90 °.
∵∠D`A`B`=180°—（∠AA`D`+∠BA`B`）=90°，
∴四边形A`B`C`D`是正方形.
拓展提升：
1平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有的是（ ）
A．对角线互相平分 B．对角线互相垂直
C．对角线相等 D．对角线互相垂直且相等
2.如图，在正方形ABCD中作等边△AEF，则∠AFD的度数为（ ）
A、40° B、75° C、50° D、55°
达标测评
F
D
E
A
B
C
A
B
达标测评
3.正方形四边中点的连线围成的四边形(最准确的说法)一定是( )
A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．平行四边形
4.正方形边长为a，若以此正方形的对角线为一边作正方形，则所作正方形的对角线长为__________.
5.如图，在正方形ABCD的边BC的延长线上取一点E，使CE＝AC，连结AE交CD于F，则∠AFC＝ ________
2a
C
112.50
体验收获：
正方形的判定有：
既是一个矩形又是一个菱形，即为正方形.。
七、布置作业
习题1.8（1、3、5）1.3正方形的性质和判定（2）
班级：___________姓名：___________得分：__________
一、选择题
1. 顺次连接正方形各边中点的小正方形的面积是原正方形面积的（ ）．
A． B． C． D．
2.如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F．
DE与DF的关系是（ ）．
A. 相等 B.2倍 C.倍 D.倍
3.在△ABC中，∠ACB＝90°，BC的垂直平分线EF交BC于点D，交AB于点E，且BE＝BF.添加一个条件，仍不能证明四边形BECF为正方形的是( ）
A．BC＝AC B．CF⊥BF C．BD＝DF D．AC＝BF
4.如图，将长方形纸片折叠，使A点落在BC上的点F处，折痕为BE，若沿EF剪下，则折叠部分是一个正方形，其数学原理是( )【来源：21cnj*y.co*m】
A．邻边相等的矩形是正方形
B．对角线相等的菱形是正方形
C．两个全等的直角三角形构成正方形
D．轴对称图形是正方形
５.如图，边长为3的正方形ABCD绕点C按顺时针方向旋转30°后得到正方形EFCG，EF交AD于点H，那么DH的长为( )【出处：21教育名师】
A． B．3 C . D .
二、填空题
6.正方形ABCD的对角线相交于O，若AB=2，那么△ABO的周长是_______，面积是________．www.21-cn-jy.com
7.如图，把一个长方形纸片对折两次，然后剪下一个角．为了得到一个正方形，剪刀与折痕所成的角的度数应为____．21·世纪*教育网
8．如图，已知E点在正方形ABCD的BC边的延长线上，且CE=AC，AE与CD相交于点F，则∠AFC=________．21cnjy.com
9. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D，E，F分别是AB，AC，BC的中点，连接DE，DF，EF，要使四边形DECF是正方形，只需增加一个条件为_______________．
三、简答题
10.如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD的顶点坐标分别是A(－2，0)，B(0，－2)，C(2，0)，D(0，2)，求证：四边形ABCD是正方形．2·1·c·n·j·y
11.如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD＝CD，点E是边AC的中点，连接DE，DE的延长线与边BC相交于点F，AG∥BC交DE于点G，连接AF，CG.
(1)求证：AF＝BF；
(2)如果AB＝AC，求证：四边形AFCG是正方形．
参考答案
一、选择题
1.A
【解析】连接个边中点得到的是正方形，其面积是原来的，所以答案选A
2.A
【解析】∵AB=AC，那么∠B=∠C DE⊥AB，DF⊥AC，那么∠BED=∠CED=90° D是BC中点，那么BD=CD ∴△BDE≌△CDF(AAS) ∴DE=DF,所以答案选A
3.Ｄ
【解析】∵EF垂直平分BC，
∴BE=EC，BF=CF，
∵BF=BE，
∴BE=EC=CF=BF，
∴四边形BECF是菱形；
当BC=AC时，
∵∠ACB=90°，
则∠A=45°时，菱形BECF是正方形．
∵∠A=45°，∠ACB=90°，
∴∠EBC=45°
∴∠EBF=2∠EBC=2×45°=90°
∴菱形BECF是正方形．
故选项A正确，但不符合题意；
当CF⊥BF时，利用正方形的判定得出，菱形BECF是正方形，故选项B正确，但不符合题意；
当BD=DF时，利用正方形的判定得出，菱形BECF是正方形，故选项C正确，但不符合题意；
当AC=BF时，无法得出菱形BECF是正方形，故选项D错误，符合题意．
故选：D．21世纪教育网版权所有
4.A
【解析】∵将长方形纸片折叠，A落在BC上的F处，
∴BA=BF，
∵折痕为BE，沿EF剪下，
∴四边形ABFE为矩形，
∴四边形ABEF为正方形．
故用的判定定理是；邻边相等的矩形是正方形．
故选A．21教育网
5Ｃ.
【解析】连结CH，如图，
∵正方形ABCD绕点C按顺时针方向旋转30°后得到正方形EFCG，
∴∠BCF=30°，CB=CF=3，∠F=∠B=90°，
∴∠DCF=60°，
而CB=CD=3，
∴CD=CF，
在Rt△CHF和Rt△CHD中【来源：21·世纪·教育·网】
CF＝CD，CH=CH
∴Rt△CHF≌Rt△CHD，
∴∠FCH=∠DCH，
∴∠DCH=∠DCF=30°，
∴DH=DC=×3=www-2-1-cnjy-com
故选C．
二、填空题
6.，4.
【解析】①若OA=OB，且OA⊥OB，AB=2，OA=OB=,所以三角形周长为；
②ABCD是正方形，面积为4..
7.45°
【解析】一张长方形纸片对折两次后，剪下一个角，是菱形，
而出现的四边形的两条对角线分别是两组对角的平分线，
所以当剪口线与折痕成45°角，菱形就变成了正方形．21·cn·jy·com
8.112.5
【解析】ABCD是正方形
∴∠ACB=∠CAD=45
∵CE=AC,∠E+∠EAC =∠ACB
∴∠E=∠EAC=∠CAD/2=45 /2=22.5
∴∠AFC=180 -∠EAC-∠ACD
=180 -22.5 -45
=112.5 2-1-c-n-j-y
AC=BC
【解析】由已知可得,四边形ECFD是矩形，所以只要AC=BC即可.
三、解答题
10.解：由图知道,在△BCD中,有计算得该三角形是等腰直角三角形,所以同理,△ABC是等腰直角三角形,又因为CD=AC=AB=BD,∠BDC是直角,所以四边形是正方形
11.（1）∵AD=CD，点E是边AC的中点，
∴DE⊥AC．
即得DE是线段AC的垂直平分线．
∴AF=CF．
∴∠FAC=∠ACB．
在Rt△ABC中，由∠BAC=90°，
得∠B+∠ACB=90°，∠FAC+∠BAF=90°．
∴∠B=∠BAF．
∴AF=BF．
（2）∵AG∥CF，∴∠AGE=∠CFE．
又∵点E是边AC的中点，∴AE=CE．
在△AEG和△CEF中，
，
∴△AEG≌△CEF（AAS）．
∴AG=CF．
又∵AG∥CF，∴四边形AFCG是平行四边形．
∵AF=CF，∴四边形AFCG是菱形．
在Rt△ABC中，由AF=CF，AF=BF，得BF=CF．
即得点F是边BC的中点．
又∵AB=AC，∴AF⊥BC．即得∠AFC=90°．
∴四边形AFCG是正方形．21*cnjy*com
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