第10讲 一次函数
考纲要求
命题趋势
1．理解一次函数的概念，会利用待定系数法确定一次函数的表达式．
2．会画一次函数的图象，掌握一次函数的基本性质．
3．体会一次函数与二元一次方程的关系，能用一次函数解决简单实际问题.
一次函数是中考的重点，主要考查一次函数的定义、图象、性质及其实际应用，有时与方程、不等式、三角形、四边形相结合．题型有选择题、填空题、解答题.
一、一次函数和正比例函数的定义
一般地，如果y＝kx＋b(k，b是常数，k≠0)，那么y叫做x的一次函数．
特别地，当b＝0时，一次函数y＝kx＋b就成为y＝kx(k是常数，k≠0)，这时y叫做x的正比例函数．21教育网
二、一次函数的图象与性质
1．一次函数的图象
(1)一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象是经过点(0，b)和的一条直线．
(2)正比例函数y＝kx(k≠0)的图象是经过点(0,0)和(1，k)的一条直线．
(3)因为一次函数的图象是一条直线，由两点确定一条直线可知画一次函数图象时，只要取两个点即可．
2．一次函数图象的性质
函数
系数取值
大致图象
经过的象限
函数性质
y＝kx
(k≠0)
k＞0
______
y随x增大而增大
k＜0
______
y随x增大而减小
y＝kx＋b
(k≠0)
k＞0，b＞0
______
y随x增大而增大
k＞0，b＜0
______
k＜0，b＞0
______
y随x增大而减小
k＜0，b＜0
______
一次函数y＝kx＋b的图象可由正比例函数y＝kx的图象平移得到，b＞0，上移b个单位；b＜0，下移|b|个单位．21cnjy.com
三、利用待定系数法求一次函数的解析式
因为在一次函数y＝kx＋b(k≠0)中有两个未知数k和b，所以，要确定其关系式，一般需要两个条件，常见的是已知两点坐标P1(a1，b1)，P2(a2，b2)代入得求出k，b的值即可．21·cn·jy·com
四、一次函数与方程、方程组及不等式的关系
1．y＝kx＋b与kx＋b＝0
直线y＝kx＋b与x轴交点的横坐标是方程kx＋b＝0的解，方程kx＋b＝0的解是直线y＝kx＋b与x轴交点的横坐标．www.21-cn-jy.com
2．y＝kx＋b与不等式kx＋b＞0
从函数值的角度看，不等式kx＋b＞0的解集为使函数值大于零(即kx＋b＞0)的x的取值范围；从图象的角度看，由于一次函数的图象在x轴上方时，y＞0，因此kx＋b＞0的解集为一次函数在x轴上方的图象所对应的x的取值范围．2·1·c·n·j·y
3．一次函数与方程组
两个一次函数图象的交点坐标就是它们的解析式所组成的二元一次方程组的解；以二元一次方程组的解为坐标的点是两个二元一次方程所对应的一次函数图象的交点．
1．已知一次函数y＝x＋b的图象经过一、二、三象限，则b的值可以是( )
A．－2 B．－1 C．0 D．2
2．已知k＞0，b＜0，则一次函数y=kx﹣b的大致图象为（ ）
A． B． C． D．
3．设0＜k＜2，关于x的一次函数y=kx+2（1﹣x），当1≤x≤2时的最大值是（ ）
A．2k﹣2 B．k﹣1 C．k D．k+1
4．如图，直线y=kx+b经过A（2，1），B（﹣1，﹣2）两点，则不等式x＞kx+b＞﹣2的解集为（ ）【来源：21·世纪·教育·网】
A．x＜2 B．x＞﹣1 C．x＜1或x＞2 D．﹣1＜x＜2
5．已知函数y=（k﹣1）x+k2﹣1，当k 时，它是一次函数，当k= 时，它是正比例函数．
6.如图，已知函数y=2x+b与函数y=kx﹣3的图象交于点P，则不等式kx﹣3＞2x+b的解集是 ．21·世纪*教育网
7.把直线y=﹣x﹣1沿x轴向右平移2个单位，所得直线的函数解析式为 ．
8.如图，一次函数y=x+6的图象经过点P（a，b）和Q（c，d），则a（c﹣d）﹣b（c﹣d）的值为 ．www-2-1-cnjy-com
9.如图，直线l1在平面直角坐标系中，直线l1与y轴交于点A，点B（﹣3，3）也在直线l1上，将点B先向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度得到点C，点C恰好也在直线l1上．2-1-c-n-j-y
（1）求点C的坐标和直线l1的解析式；
（2）若将点C先向左平移3个单位长度，再向上平移6个单位长度得到点D，请你判断点D是否在直线l1上；21*cnjy*com
（3）已知直线l2：y=x+b经过点B，与y轴交于点E，求△ABE的面积．
10．甲、乙两车从A地驶向B地，并以各自的速度匀速行驶，甲车比乙车早行驶2h，并且甲车途中休息了0.5h，如图是甲乙两车行驶的距离y（km）与时间x（h）的函数图象．
（1）求出图中m，a的值；
（2）求出甲车行驶路程y（km）与时间x（h）的函数解析式，并写出相应的x的取值范围；
（3）当乙车行驶多长时间时，两车恰好相距50km．
答案
1． D
2． A
解：∵k＞0，
∴一次函数y=kx﹣b的图象从左到右是上升的，
∵b＜0，一次函数y=kx﹣b的图象交于y轴的正半轴，
故选A．
3． C
解：原式可以化为：y=（k﹣2）x+2，
∵0＜k＜2，
∴k﹣2＜0，则函数值随x的增大而减小．
∴当x=1时，函数值最大，最大值是：（k﹣2）+2=k．
故选：C．
4．D
解：把A（2，1），B（﹣1，﹣2）两点的坐标代入y=kx+b，
得：，
解得：．
解不等式组：x＞x﹣1＞﹣2，
得：﹣1＜x＜2．
故选D．
5．解：∵函数y=（k﹣1）x+k2﹣1是一次函数，
∴k﹣1≠0，即k≠1；
函数y=（k﹣1）x+k2﹣1是正比例函数，则k﹣1≠0，k2﹣1=0，
∴k=﹣1．
故答案为：≠1，﹣1．
6. x＜4 ．
解：把P（4，﹣6）代入y=2x+b得，
﹣6=2×4+b
解得，b=﹣14
把P（4，﹣6）代入y=kx﹣3
解得，k=﹣
把b=﹣14，k=﹣代入kx﹣3＞2x+b得，
﹣x﹣3＞2x﹣14
解得，x＜4．
故答案为：x＜4．
y=﹣x+1
解：把直线y=﹣x﹣1沿x轴向右平移2个单位，所得直线的函数解析式为y=﹣（x﹣2）﹣1，即y=﹣x+1．21世纪教育网版权所有
故答案为y=﹣x+1．
8. 36
解：∵一次函数y=﹣x+6的图象经过点P（a，b）和Q（c，d），
∴b=a+6，d=c+6，
∴a﹣b=﹣6，c﹣d=﹣6，
∴a（c﹣d）﹣b（c﹣d）=（c﹣d）（a﹣b）=（﹣6）×（﹣6）=36．
故答案为36．
9.解：（1）∵B（﹣3，3），将点B先向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度得到点C，
∴﹣3+1=﹣2，3﹣2=1，
∴C的坐标为（﹣2，1），
设直线l1的解析式为y=kx+c，
∵点B、C在直线l1上，
∴代入得：
解得：k=﹣2，c=﹣3，
∴直线l1的解析式为y=﹣2x﹣3；
（2）∵将点C先向左平移3个单位长度，再向上平移6个单位长度得到点D，C（﹣2，1），
∴﹣2﹣3=﹣5，1+6=7，
∴D的坐标为（﹣5，7），
代入y=﹣2x﹣3时，左边=右边，
即点D在直线l1上；
（3）把B的坐标代入y=x+b得：3=﹣3+b，
解得：b=6，
∴y=x+6，
∴E的坐标为（0，6），
∵直线y=﹣2x﹣3与y轴交于A点，
∴A的坐标为（0，﹣3），
∴AE=6+3=9，
∵B（﹣3，3），
∴△ABE的面积为×9×|﹣3|=13.5．
10．解：（1）由题意，得
m=1.5﹣0.5=1．
120÷（3.5﹣0.5）=40，
∴a=40．
答：a=40，m=1；
（2）当0≤x≤1时设y与x之间的函数关系式为y=k1x，由题意，得
40=k1，
∴y=40x
当1＜x≤1.5时，
y=40；
当1.5＜x≤7设y与x之间的函数关系式为y=k2x+b，由题意，得
，
解得：，
∴y=40x﹣20．
y=；
（3）设乙车行驶的路程y与时间x之间的解析式为y=k3x+b3，由题意，得
，
解得：，
∴y=80x﹣160．
当40x﹣20﹣50=80x﹣160时，
解得：x=．
当40x﹣20+50=80x﹣160时，
解得：x=．
=，．
答：乙车行驶小时或小时，两车恰好相距50km．
考点一、一次函数的图象与性质
【例1】已知关于x的一次函数y＝kx＋4k－2(k≠0)．若其图象经过原点，则k＝______；若y随x的增大而减小，则k的取值范围是__________．【来源：21·世纪·教育·网】
方法总结 一次函数的k值决定直线的方向，如果k＞0，直线就从左往右上升，y随x的增大而增大；如果k＜0，直线就从左往右下降，y随x的增大而减小；而b值决定直线和y轴的交点，如果b＞0，则与y轴的正半轴相交；如果b＜0，则与y轴交于负半轴；当b＝0时，一次函数就变成正比例函数，图象过原点. 21*cnjy*com
举一反三 已知一次函数y＝mx＋n－2的图象如图所示，则m，n的取值范围是( )
A．m＞0，n＜2 B．m＞0，n＞2 C．m＜0，n＜2 D．m＜0，n＞2
考点二、确定一次函数的解析式
【例2】已知，A、B分别是x轴上位于原点左、右两侧的点，点P（2，p）在第一象限，直线PA交y轴于点C（0，2），直线PB交y轴于点D，S△AOP=6．【出处：21教育名师】
（1）求△COP的面积；
（2）求点A的坐标和m的值；
（3）若S△BOP=S△DOP，求直线BD的函数解析式．
方法总结 用待定系数法求一次函数的步骤：①设出函数关系式；②把已知条件(自变量与函数的对应值)代入函数关系式中，得到关于待定系数的方程(组)；③解方程(组)，求出待定系数的值，写出函数关系式．【版权所有：21教育】
举一反三 如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=k1x+b的图象与x轴交于点A（﹣3，0），与y轴交于点B，且与正比例函数y=kx的图象交点为C（3，4）．求：
（1）求k值与一次函数y=k1x+b的解析式；
（2）若点D在第二象限，△DAB是以AB为直角边的等腰直角三角形，请求出点D的坐标；
（3）在y轴上求一点P使△POC为等腰三角形，请求出所有符合条件的点P的坐标．
考点三、一次函数与方程(组)、不等式的关系
【例3】如图，一次函数y=kx1+b1的图象l1与y=kx2+b2的图象l2相交于点P，则方程组的解是 ．21教育名师原创作品
方法总结 两个函数图象的交点坐标，既满足其中一个函数的表达式，也满足另一个函数的表达式，求函数图象的交点坐标，就是解这两个函数图象的表达式所组成的方程组的解，讨论图象的交点问题就是讨论方程组解的情况．21*cnjy*com
举一反三 如图，经过点B（﹣2，0）的直线y=kx+b与直线y=4x+2相交于点A（﹣1，﹣2），则不等式4x+2＜kx+b＜0的解集为 ．
考点四、一次函数的应用
【例4】A、B两城间的公路长为450千米，甲、乙两车同时从A城出发沿这一公路驶向B城，甲车到达B城1小时后沿原路返回．如图是它们离A城的路程y（千米）与行驶时间 x（小时）之间的函数图象．
（1）求甲车返回过程中y与x之间的函数解析式，并写出函数的定义域；
（2）乙车行驶6小时与返回的甲车相遇，求乙车的行驶速度．
方法总结 用一次函数解决实际问题的一般步骤为：(1)根据题意，设定问题中的变量；(2)建立一次函数关系式模型；(3)确定自变量的取值范围；(4)与方程或不等式(组)结合解决实际问题．
举一反三 在一条笔直的公路上有A、B两地，甲骑自行车从A地到B地；乙骑自行车从B地到A地，到达A地后立即按原路返回，如图是甲、乙两人离B地的距离y（km）与行驶时x（h）之间的函数图象，根据图象解答以下问题：
（1）写出A、B两地直接的距离；
（2）求出点M的坐标，并解释该点坐标所表示的实际意义；
（3）若两人之间保持的距离不超过3km时，能够用无线对讲机保持联系，请直接写出甲、乙两人能够用无线对讲机保持联系时x的取值范围．
考点五、一次函数与三角形、四边形结合
【例5】 如图，在平面直角坐标系中，矩形AOBC的顶点A，B的坐标分别是A（0，4），B（，0），作点A关于直线y=kx（k＞0）的对称点P，△POB为等腰三角形，则点P的坐标为 ．
方法总结 对于考查一次函数与三角形、四边形结合问题，主要会利用到四边形的性质，三角形的性质，勾股定理以及关于直线对称的性质来解题，同时也要重点注意到题型中是否要用到分类讨论思想与数形结合方法．
举一反三 如图，在平面直角坐标系中，直线分别与x轴、y轴交于点B、C，且与直线交于点A．
（1）分别求出点A、B、C的坐标；
（2）若D是线段OA上的点，且△COD的面积为12，求直线CD的函数表达式；
（3）在（2）的条件下，设P是射线CD上的点，在平面内是否存在点Q，使以O、C、P、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
选择题
1．已知（-1，y1），（-0.5，y2），（1.7，y3）是直线y=-9x+b（b为常数）上的三个点，则y1、y2、y3的大小关系是（ ）
A．y1＞y2＞y3 B．y3＞y2＞y1 C．y1＞y3＞y2 D．y3＞y1＞y2
2．在平面直角坐标系中，经过二、三、四象限的直线l过点（-3，-2）.点(-2，a），(0，b)，(c，1)，(d，-1)都在直线l上，则下列判断正确的是 （ ）
A．a= -3 B．b> -2 C．c< -3 D．d= -2
3.一次函数y=﹣2x+3的图象不经过的象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
4．甲、乙两车分别从M，N两地沿同一公路相向匀速行驶，两车分别抵达N，M两地后即停止行驶．已知乙车比甲车提前出发，设甲、乙两车之间的路程S（km），乙行驶的时间为t（h），S与t的函数关系如图所示．有下列说法：
①M、N两地之间公路路程是300km，两车相遇时甲车恰好行驶3小时；
②甲车速度是80km/h，乙车比甲车提前1.5个小时出发；
③当t=5（h）时，甲车抵达N地，此时乙车离M地还有20km的路程；
④a=，b=280，图中P，Q所在直线与横轴的交点恰（，0）．
其中正确的是（ ）
A．①② B．②③ C．③④ D．②④
5．（2016上城区一模）甲、乙两辆遥控车沿直线AC作同方向的匀速运动，甲、乙同时分别从A、B出发，沿轨道到达C处，已知甲的速度是乙的速度的1.5倍，设t分钟后甲、乙两车与B处距离分别为S1，S2，函数关系如图所示，当两车的距离小于10米时，信号会产生相互干扰，那么t是下列哪个值时两车的信号会相互干扰（ ）
A． B．2 C． D．
填空题
1．已知一次函数的图像经过点A（0,2）和点B（2，－2）：（1）求出y关于x的函数表达式为 ；（2）当－2＜y＜4时，x的取值范围是 ．21教育网
2．函数的图象如图，则方程的解为 ，不等式0≤2的解集为 .
无论a取什么实数，点P（，）都在直线l上， Q（m，n）是直线l上的点，则的值为 ．
4．在平面直角坐标系中，有三条直线l1，l2，l3，它们的函数解析式分别是y=x，y=x+1，y=x+2．在这三条直线上各有一个动点，依次为A，B，C，它们的横坐标分别为a，b，c，则当a，b，c满足条件 时，这三点不能构成△ABC．
解答题
1． 一次函数(为常数，且).
(1)若点在一次函数的图象上,求的值；
(2)当时,函数有最大值2,请求出的值.
2．写出以下命题的逆命题，判断逆命题的真假．若为假命题，请举反例；若为真命题，请给予证明．
（1）一次函数y=kx+b，若k＞0，b＜0，则它的图象不经过第二象限；
（2）等腰三角形底边上的中点到两腰的距离相等．
3．如图，一次函数y=kx+b的图象交y轴于点B（0，3），与x轴正半轴交于点A，cos∠BAO=
（1）求一次函数的解析式；
（2）OC是△AOB的角平分线，交AB于C，反比例函数y=的图象经过点C，求m的值．
4．如图，点A的坐标为（﹣1，0），点B在直线y=2x﹣4上运动．
（1）若点B的坐标是（1，﹣2），把直线AB向上平移m个单位后，与直线y=2x﹣4的交点在第一象限，求m的取值范围；2-1-c-n-j-y
（2）当线段AB最短时，求点B的坐标．
5．某商店采购甲、乙两种型号的电风扇，共花费15000元，所购进甲型电风扇的数量不少于乙型数量的2倍，但不超过乙型数量的3倍. 现已知甲型每台进价150元，乙型每台进价300元，并且销售甲型每台获得利润30元，销售乙型每台获得利润75元. 设商店购进乙型电风扇x台.
（1）商店共有多少种采购电风扇方案？
（2）若商店将购进的甲、乙两种型号的电风扇全部售出，写出此商店销售这两种电风扇所获得的总利润y（元）与购进乙型电风扇的台数x（台）之间的函数关系式；
（3）商店怎样的采购方案所获得的利润最大？求出此时利润最大值.
6．方成同学看到一则材料：甲开汽车，乙骑自行车从M地出发沿一条公路匀速前往N地．设乙行驶的时间为t（h），甲乙两人之间的距离为y（km），y与t的函数关系如图1所示．
方成思考后发现了如图1的部分正确信息：乙先出发1h；甲出发0.5小时与乙相遇；…．
请你帮助方成同学解决以下问题：
（1）分别求出线段BC，CD所在直线的函数表达式；
（2）当20＜y＜30时，求t的取值范围；
（3）分别求出甲，乙行驶的路程S甲，S乙与时间t的函数表达式，并在图2所给的直角坐标系中分别画出它们的图象；【来源：21cnj*y.co*m】
（4）丙骑摩托车与乙同时出发，从N地沿同一公路匀速前往M地，若丙经过h与乙相遇，问丙出发后多少时间与甲相遇？
7.已知函数y1=ax2+bx，y2=ax+b（ab≠0）．在同一平面直角坐标系中．
（1）若函数y1的图象过点（﹣1，0），函数y2的图象过点（1，2），求a，b的值．
（2）若函数y2的图象经过y1的顶点．
①求证：2a+b=0；
②当1＜x＜时，比较y1，y2的大小．
1．直线y=2x+2沿y轴向下平移6个单位后与x轴的交点坐标是（ ）
A．（﹣4，0） B．（﹣1，0） C．（0，2） D．（2，0）
2．如图，直线y=﹣x+m与y=nx+4n（n≠0）的交点的横坐标为﹣2，则关于x的不等式﹣x+m＞nx+4n＞0的整数解为（ ）
A．﹣1 B．﹣5 C．﹣4 D．﹣3
3．已知两直线y1=kx+k﹣1、y2=（k+1）x+k（k为正整数），设这两条直线与x轴所围成的三角形的面积为Sk，则S1+S2+S3+…+S2013的值是（ ）
A． B． C． D．
4．一次函数y=kx+b，当1≤x≤4时，3≤y≤6，则的值是 ．
5．直线y=k1x+b1（k1＞0）与y=k2x+b2（k2＜0）相交于点（﹣2，0），且两直线与y轴围成的三角形面积为4，那么b1﹣b2等于 ．
6．已知直线y=x+（n为正整数）与坐标轴围成的三角形的面积为Sn，则S1+S2+S3+…+S2012= ．
7．如图，平面直角坐标系中，已知直线y=x上一点P（1，1），C为y轴上一点，连接PC，线段PC绕点P顺时针旋转90°至线段PD，过点D作直线AB⊥x轴，垂足为B，直线AB与直线y=x交于点A，且BD=2AD，连接CD，直线CD与直线y=x交于点Q，则点Q的坐标为 ．
8．如图，已知点A是第一象限内横坐标为2的一个定点，AC⊥x轴于点M，交直线y=﹣x于点N．若点P是线段ON上的一个动点，∠APB=30°，BA⊥PA，则点P在线段ON上运动时，A点不变，B点随之运动．求当点P从点O运动到点N时，点B运动的路径长是 ．
9.在平面直角坐标系xOy中，以原点O为圆心的圆过点A（13，0），直线y=kx﹣3k+4与⊙O交于B、C两点，则弦BC的长的最小值为 ．
10.已知，直线与x轴、y轴分别交于点A、B，以线段AB为直角边在第一象限内作等腰Rt△ABC，∠BAC=90°．且点P（1，a）为坐标系中的一个动点．
（1）求三角形ABC的面积S△ABC；
（2）请说明不论a取任何实数，三角形BOP的面积是一个常数；
（3）要使得△ABC和△ABP的面积相等，求实数a的值．
11.如图，A（0，1），M（3，2），N（4，4）．动点P从点A出发，沿y轴以每秒1个单位长的速度向上移动，且过点P的直线l：y=﹣x+b也随之移动，设移动时间为t秒．
（1）当t=3时，求l的解析式；
（2）若点M，N位于l的异侧，确定t的取值范围；
（3）直接写出t为何值时，点M关于l的对称点落在坐标轴上．
12.2008年5月12日14时28分四川汶川发生里氏8.0级强力地震．某市接到上级通知，立即派出甲、乙两个抗震救灾小组乘车沿同一路线赶赴距出发点480千米的灾区．乙组由于要携带一些救灾物资，比甲组迟出发1.25小时（从甲组出发时开始计时）．图中的折线、线段分别表示甲、乙两组的所走路程y甲（千米）、y乙（千米）与时间x（小时）之间的函数关系对应的图象．请根据图象所提供的信息，解决下列问题：
（1）由于汽车发生故障，甲组在途中停留了 小时；
（2）甲组的汽车排除故障后，立即提速赶往灾区．请问甲组的汽车在排除故障时，距出发点的路程是多少千米？
（3）为了保证及时联络，甲、乙两组在第一次相遇时约定此后两车之间的路程不超过25千米，请通过计算说明，按图象所表示的走法是否符合约定？
13．某农庄计划在30亩空地上全部种植蔬菜和水果，菜农小张和果农小李分别承包了种植蔬菜和水果的任务．小张种植每亩蔬菜的工资y（元）与种植面积m（亩）之间的函数如图①所示，小李种植水果所得报酬z（元）与种植面积n（亩）之间函数关系如图②所示．
（1）如果种植蔬菜20亩，则小张种植每亩蔬菜的工资是 元，小张应得的工资总额是 元，此时，小李种植水果 亩，小李应得的报酬是 元；
（2）当10＜n≤30时，求z与n之间的函数关系式；
（3）设农庄支付给小张和小李的总费用为w（元），当10＜m≤30时，求w与m之间的函数关系式．
答案
【例1】解析：∵一次函数图象经过原点，∴4k－2＝0，∴k＝；
若y随x的增大而减小，则k＜0.
答案： k＜0
举一反三 D
【例2】解：（1）作PE⊥y轴于E，
∵P的横坐标是2，则PE=2．
∴S△COP=OC?PE=×2×2=2；
（2）∴S△AOC=S△AOP﹣S△COP=6﹣2=4，
∴S△AOC=OA?OC=4，即×OA×2=4，
∴OA=4，
∴A的坐标是（﹣4，0）．
设直线AP的解析式是y=kx+b，则
，
解得：．
则直线的解析式是y=x+2．
当x=2时，y=3，即m=3；
（3）设直线BD的解析式为y=ax+c（a≠0），
∵P（2，3），
∴2a+c=3，
∴D（0，c），B（﹣，0），
∵S△BOP=S△DOP，
∴OD?2=OB?3，即c=﹣，
解得a=﹣，
∴c=6，
∴BD的解析式是：y=﹣x+6．
举一反三
解：（1）∵正比例函数y=kx的图象经过点C（3，4），
∴4=3k，
k=，
∵一次函数y=k1x+b的图象经过A（﹣3，0），C（3，4）
∴，
∴，
∴一次函数为y=．
（2）①当DA⊥AB时，作DM⊥x轴垂足为M，
∵∠DAM+∠BAO=90°，∠BAO+∠ABO=90°，
∴∠DAM=∠ABO，
∵DA=AB，∠DMA=∠AOB，
∴△DAM≌△ABO，
∴DM=AO=3，AM=BO=2，
∴D（﹣5，3），
②当D′B⊥AB时，作D′N⊥y轴垂足为N，
同理得△D′BN≌△BAO
∴D′N=BO=2，BN=AO=3，
∴D′（﹣2，5）
∴D点坐标为（﹣5，3）或（﹣2，5）．
（3）当OP=OC时，OC==5，
则P的坐标为（0，5）或（0，﹣5），
当CP=CO时，则P的坐标是（0，8），
当PO=PC时，作CK⊥y轴垂足为K，设P的坐标为，（0，t）
在Rt△PCK中，∵PC=t，PK=4﹣t，KC=3，
∴（4﹣t）2+32=t2解得
此时P的坐标是
综上可知P的坐标为（0，5）或（0，﹣5）或（0，8）或．
【例3】
举一反三
解：∵经过点B（﹣2，0）的直线y=kx+b与直线y=4x+2相交于点A（﹣1，﹣2），
∴直线y=kx+b与直线y=4x+2的交点A的坐标为（﹣1，﹣2），直线y=kx+b与x轴的交点坐标为B（﹣2，0），www.21-cn-jy.com
又∵当x＜﹣1时，4x+2＜kx+b，
当x＞﹣2时，kx+b＜0，
∴不等式4x+2＜kx+b＜0的解集为﹣2＜x＜﹣1．
故答案为：﹣2＜x＜﹣1．
【例4】
解：（1）设甲车返回过程中y与x之间的函数解析式y=kx+b，
∵图象过（5，450），（10，0）两点，
∴，
解得，
∴y=﹣90x+900．
函数的定义域为5≤x≤10；
（2）当x=6时，y=﹣90×6+900=360，
（千米/小时）．
举一反三
解：（1）x=0时，甲距离B地30千米，
所以，A、B两地的距离为30千米；
（2）由图可知，甲的速度：30÷2=15千米/时，
乙的速度：30÷1=30千米/时，
30÷（15+30）=，
×30=20千米，
所以，点M的坐标为（，20），表示小时后两车相遇，此时距离B地20千米；
（3）设x小时时，甲、乙两人相距3km，
①若是相遇前，则15x+30x=30﹣3，
解得x=，
②若是相遇后，则15x+30x=30+3，
解得x=，
③若是到达B地前，则15x﹣30（x﹣1）=3，
解得x=，
所以，当≤x≤或≤x≤2时，甲、乙两人能够用无线对讲机保持联系．
【例4】
解：∵矩形AOBC的顶点A，B的坐标分别是A（0，4），B（，0），
∴OA=4，OB=4，
∵点P关于直线y=kx（k＞0）与点A对称，
∴OP=OA=4，
∵△POB为等腰三角形
∴BP=BO，OP=PB，OB=OP（不成立，因为OA=4，OB=4）
当BP=BO=4时，如图，
作PH⊥OB，BG⊥OP垂足分别为H、G，
∴OG=PG=OP=2
∴BG==2
∵×OP×BG=×OB×PH
即4×2=4×PH
∴PH=
∴OH==，
∴点P坐标为（，），（，﹣），
当OP=PB=4时，如图，
作PF⊥OB垂足为F
∴OF=FB=OB=2
∴PF==2
∴点P坐标为（2，2），（2，﹣2）；
综上所知点P坐标为（，），（，﹣），（2，﹣2）或（2，2）．
故答案为：（，），（，﹣），（2，﹣2）或（2，2）．
举一反三
解：（1）直线，
当x=0时，y=6，
当y=0时，x=12，
∴B（12，0），C（0，6），
解方程组：得：，
∴A（6，3），
答：A（6，3），B（12，0），C（0，6）．
（2）解：设D（x，x），
∵△COD的面积为12，
∴×6×x=12，
解得：x=4，
∴D（4，2），
设直线CD的函数表达式是y=kx+b，把C（0，6），D（4，2）代入得：
，
解得：，
∴y=﹣x+6，
答：直线CD的函数表达式是y=﹣x+6．
（3）答：存在点Q，使以O、C、P、Q为顶点的四边形是菱形，点Q的坐标是（6，6）或（﹣3，3）或．www-2-1-cnjy-com
一、选择题
1． A
2． C
3. C
4． D
解：①当t=0时，S=300，可知M、N两地之间公路路程是300km；
当t=3时，S=0，可知两车相遇时乙车恰好行驶3小时，
由乙车比甲车提前出发可知①不正确；
②乙车的速度为（300﹣210）÷1.5=60km/h，
甲车的速度为210÷（3﹣1.5）﹣60=80km/h．
由图象转折点在1.5小时处，故乙车比甲车提前1.5个小时出发，②正确；
③∵乙车到M地的时间为300÷60=5（h），
∴当t=5（h）时，乙车抵达M地，③不正确；
④乙到达M地时，甲车行驶的路程b=80×（5﹣1.5）=280，
甲车到达N地的时间a=300÷80+1.5=．
设P，Q所在直线解析式为S=kt+b，
将点P（5，280）、Q（，300）代入，得
，解得：．
故P，Q所在直线解析式为S=80t﹣120，
令S=0，则有80t﹣120=0，解得t=，
故图中P，Q所在直线与横轴的交点恰（，0），即④成立．
5．D
解：乙的速度v2=120÷3=40（米/分），甲的速度v甲=40×1.5=60米/分．
所以a==1分．
设函数解析式为d1=kt+b，
0≤t≤1时，把（0，60）和（1，0）代入得d1=﹣60t+60，
1＜t≤3时，把（1，0）和（3，120）代入得d1=60t﹣60；
d2=40t，
当0≤t＜1时，d2+d1＜10，
即﹣60t+60+40t＜10，
解得t＞2.5，
因为0≤t＜1，
所以当0≤t＜1时，两遥控车的信号不会产生相互干扰；
当1≤t≤3时，d2﹣d1＜10，
即40t﹣（60t﹣60）＜10，
所以t＞2.5，
当2.5＜t≤3时，两遥控车的信号会产生相互干扰．
故选D．
填空题
,－1＜x＜2
2． x=3， 0x<3
3. 16
4．解：（1）动点的横坐标相等时：a=b=c．
（2）动点的纵坐标相等时：∵y=a，y=b+1，y=c+2，
∴a=b+1=c+2．
（3）三点满足一次函数式，三点可以表示一次函数的斜率：
∵三点的坐标为（a，a），（b，b+1），（c，c+2），
∴=，
1+=1+，
∴=2．
故答案为：a=b=c或a=b+1=c+2或=2
解答题
1．解：(1) 把代入得 3=
解得a=
(2) ①a>0时,y随x的增大而增大,
则当x=2时,y有最大值2.
代入函数关系式得2=2a-a+1,
∴a=1
②a<0时,y随x的增大而减小,
则当x=-1时,y有最大值2.
代入函数关系式得 2=-a-a+1,
∴
∴或者a=1
2．
解：（1）逆命题：一次函数y=kx+b，若它的图象不经过第二象限，则k＞0，b＜0，
是假命题，k＞0，b=0也可以；
（2）逆命题，一边上的中点到其余两边的距离相等的三角形是等腰三角形；
已知：如图，D为BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，且DE=DF，
求证：三角形ABC为等腰三角形；
证明：如图，∵DE=DF，BD=CD，DE⊥AB，DF⊥AC
∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL），
∴∠B=∠C，
∴AB=AC（等角对等边）
∴△ABC为等腰三角形．
3．
解：（1）∵B（0，3），
∴OB=3，
∵∠AOB=90°，cos∠BAO=，
∴sin∠BAO=
∴AB=5，OA=4，
∴OA=4，即A（4，0），
将A（4，0）和B（0，3）代入y=kx+b得：，
解得：，
则一次函数解析式为y=﹣x+3；
（2）过C作CD⊥OA，设OD=a，
∵OC平分∠AOB，∠AOB=90°，
∴∠COD=∠AOB=45°，
∵CD⊥OA，
∴△CDO为等腰直角三角形，
∴CD=OD=a，即C（a，a），
∵C点在直线AB上，
将C坐标代入直线AB得：﹣a+3=a，
解得：a=，
∴C（，），
将C坐标代入反比例解析式得：m=．
4．
解：（1）设直线AB的解析式为y=kx+b．
∵点A的坐标为（﹣1，0），点B的坐标是（1，﹣2），
∴，
解得，
∴直线AB的解析式为y=﹣x﹣1，
把直线AB向上平移m个单位后得y=﹣x+m﹣1．
由，解得，
即交点为（，）．
由题意，得，
解得m＞3；
（2）AB最短时有AB⊥CD，设此时直线AB的解析式为y=﹣x+n，
将A（﹣1，0）代入，得0=﹣×（﹣1）+n，
解得n=﹣．
即直线AB的解析式为y=﹣x﹣．
由，解得，
所以B点坐标为（，﹣）．
5．解：（1）∵购进乙型电风扇x台，∴购进甲型电风扇台数是＝100－2x
由题意得：2x≤100－2x≤3x ，∴解得20≤x≤25
∴购电风扇方案有6种：
（题目没要求写具体的6种，写了更好。没写具体不扣分，需答出6种）
（2）∵，∴ （20≤x≤25）
（3）∵y随x增大而增大，∴当x＝25时利润最大，∴（元）
6．
解：（1）直线BC的函数解析式为y=kt+b，
把（1.5，0），（）代入得：
解得：，
∴直线BC的解析式为：y=40t﹣60；
设直线CD的函数解析式为y1=k1t+b1，
把（），（4，0）代入得：，解得：，
∴直线CD的函数解析式为：y=﹣20t+80．
（2）设甲的速度为akm/h，乙的速度为bkm/h，根据题意得；
，
解得：，
∴甲的速度为60km/h，乙的速度为20km/h，
∴OA的函数解析式为：y=20t（0≤t≤1），所以点A的纵坐标为20，
当20＜y＜30时，
即20＜40t﹣60＜30，或20＜﹣20t+80＜30，
解得：或．
（3）根据题意得：S甲=60t﹣60（）
S乙=20t（0≤t≤4），
所画图象如图2所示：
（4）当t=时，，丙距M地的路程S丙与时间t的函数表达式为：
S丙=﹣40t+80（0≤t≤2），
如图3，
S丙=﹣40t+80与S甲=60t﹣60的图象交点的横坐标为，
所以丙出发h与甲相遇．
7.
解：（1）由题意得：，解得：，
故a=1，b=1．
（2）①证明：∵y1=ax2+bx=a，
∴函数y1的顶点为（﹣，﹣），
∵函数y2的图象经过y1的顶点，
∴﹣=a（﹣）+b，即b=﹣，
∵ab≠0，
∴﹣b=2a，
∴2a+b=0．
②∵b=﹣2a，
∴y1=ax2﹣2ax=ax（x﹣2），y2=ax﹣2a，
∴y1﹣y2=a（x﹣2）（x﹣1）．
∵1＜x＜，
∴x﹣2＜0，x﹣1＞0，（x﹣2）（x﹣1）＜0．
当a＞0时，a（x﹣2）（x﹣1）＜0，y1＜y2；
当a＜0时，a（x﹣1）（x﹣1）＞0，y1＞y2．
1． D
2． D
3． D
解：∵方程组的解为，
∴两直线的交点是（﹣1，﹣1），
∵直线y1=kx+k﹣1与x轴的交点为（，0），y2=（k+1）x+k与x轴的交点为（，0），
∴Sk=×|﹣1|×|﹣|=|﹣|，
∴S1+S2+S3+…+S2013=×（1﹣+﹣+﹣+…+﹣）
=×（1﹣）
=×
=．
4． 2或﹣7
解：当k＞0时，此函数是增函数，
∵当1≤x≤4时，3≤y≤6，
∴当x=1时，y=3；当x=4时，y=6，
∴，解得，
∴=2；
当k＜0时，此函数是减函数，
∵当1≤x≤4时，3≤y≤6，
∴当x=1时，y=6；当x=4时，y=3，
∴，解得，
∴=﹣7．
5． 4
6．解：令x=0，则y=，
令y=0，则﹣x+=0，
解得x=，
所以，Sn=??=（﹣），
所以，S1+S2+S3+…+S2012=（﹣+﹣+﹣+…+﹣）=（﹣）=．21cnjy.com
故答案为：．
7． （，）
解：
过P作MN⊥y轴，交y轴于M，交AB于N，过D作DH⊥y轴，交y轴于H，
∠CMP=∠DNP=∠CPD=90°，
∴∠MCP+∠CPM=90°，∠MPC+∠DPN=90°，
∴∠MCP=∠DPN，
∵P（1，1），
∴OM=BN=1，PM=1，
在△MCP和△NPD中
∴△MCP≌△NPD（AAS），
∴DN=PM，PN=CM，
∵BD=2AD，
∴设AD=a，BD=2a，
∵P（1，1），
∴DN=2a﹣1，
则2a﹣1=1，
a=1，即BD=2．
∵直线y=x，
∴AB=OB=3，
在Rt△DNP中，由勾股定理得：PC=PD==，
在Rt△MCP中，由勾股定理得：CM==2，
则C的坐标是（0，3），
设直线CD的解析式是y=kx+3，
把D（3，2）代入得：k=﹣，
即直线CD的解析式是y=﹣x+3，
即方程组得：，
即Q的坐标是（，），
故答案为：（，）．
8．
解：由题意可知，OM=，点N在直线y=﹣x上，AC⊥x轴于点M，则△OMN为等腰直角三角形，ON=OM=×=．21·cn·jy·com
如答图①所示，设动点P在O点（起点）时，点B的位置为B0，动点P在N点（终点）时，点B的位置为Bn，连接B0Bn2·1·c·n·j·y
∵AO⊥AB0，AN⊥ABn，∴∠OAC=∠B0ABn，
又∵AB0=AO?tan30°，ABn=AN?tan30°，∴AB0：AO=ABn：AN=tan30°（此处也可用30°角的Rt△三边长的关系来求得），21·世纪*教育网
∴△AB0Bn∽△AON，且相似比为tan30°，
∴B0Bn=ON?tan30°=×=．
现在来证明线段B0Bn就是点B运动的路径（或轨迹）．
如答图②所示，当点P运动至ON上的任一点时，设其对应的点B为Bi，连接AP，ABi，B0Bi
∵AO⊥AB0，AP⊥ABi，∴∠OAP=∠B0ABi，
又∵AB0=AO?tan30°，ABi=AP?tan30°，∴AB0：AO=ABi：AP，
∴△AB0Bi∽△AOP，∴∠AB0Bi=∠AOP．
又∵△AB0Bn∽△AON，∴∠AB0Bn=∠AOP，
∴∠AB0Bi=∠AB0Bn，
∴点Bi在线段B0Bn上，即线段B0Bn就是点B运动的路径（或轨迹）．
综上所述，点B运动的路径（或轨迹）是线段B0Bn，其长度为．
故答案为：．
9. 24
解：∵直线y=kx﹣3k+4=k（x﹣3）+4，
∴k（x﹣3）=y﹣4，
∵k有无数个值，
∴x﹣3=0，y﹣4=0，解得x=3，y=4，
∴直线必过点D（3，4），
∴最短的弦CB是过点D且与该圆直径垂直的弦，
∵点D的坐标是（3，4），
∴OD=5，
∵以原点O为圆心的圆过点A（13，0），
∴圆的半径为13，
∴OB=13，
∴BD=12，
∴BC的长的最小值为24；
10.解：（1）令中x=0，得点B坐标为（0，2）；
令y=0，得点A坐标为（3，0）．
由勾股定理可得，
所以S△ABC=6.5；
（2）不论a取任何实数，三角形BOP都可以以BO=2为底，点P到y轴的距离1为高，
所以S△BOP=1为常数；
（3）当点P在第四象限时，
因为，S△BOP=1，
所以，
即3﹣a﹣1=，解得a=﹣3，
当点P在第一象限时，
∵S△ABO=3，S△APO=a，S△BOP=1，
∴S△ABP=S△BOP+S△AOP﹣S△ABO=，
即1+a﹣3=，
用类似的方法可解得．
11.
解：（1）直线y=﹣x+b交y轴于点P（0，b），
由题意，得b＞0，t≥0，b=1+t．
当t=3时，b=4，
故y=﹣x+4．
（2）当直线y=﹣x+b过点M（3，2）时，
2=﹣3+b，
解得：b=5，
5=1+t，
解得t=4．
当直线y=﹣x+b过点N（4，4）时，
4=﹣4+b，
解得：b=8，
8=1+t，
解得t=7．
故若点M，N位于l的异侧，t的取值范围是：4＜t＜7．
（3）如右图，过点M作MF⊥直线l，交y轴于点F，交x轴于点E，则点E、F为点M在坐标轴上的对称点．21世纪教育网版权所有
过点M作MD⊥x轴于点D，则OD=3，MD=2．
已知∠MED=∠OEF=45°，则△MDE与△OEF均为等腰直角三角形，
∴DE=MD=2，OE=OF=1，
∴E（1，0），F（0，﹣1）．
∵M（3，2），F（0，﹣1），
∴线段MF中点坐标为（，）．
直线y=﹣x+b过点（，），则=﹣+b，解得：b=2，
2=1+t，
解得t=1．
∵M（3，2），E（1，0），
∴线段ME中点坐标为（2，1）．
直线y=﹣x+b过点（2，1），则1=﹣2+b，解得：b=3，
3=1+t，
解得t=2．
故点M关于l的对称点，当t=1时，落在y轴上，当t=2时，落在x轴上．
12.
解：（1）1.9；
（2）设直线EF的解析式为y乙=kx+b
∵点E（1.25，0）、点F（7.25，480）均在直线EF上
∴（3分）
解得∴直线EF的解析式是y乙=80x﹣100；
∵点C在直线EF上，且点C的横坐标为6，
∴点C的纵坐标为80×6﹣100=380；
∴点C的坐标是（6，380）；（5分）
设直线BD的解析式为y甲=mx+n；
∵点C（6，380）、点D（7，480）在直线BD上，
∴；
解得；∴BD的解析式是y甲=100x﹣220；
∵B点在直线BD上且点B的横坐标为4.9，代入y甲得B（4.9，270），
∴甲组在排除故障时，距出发点的路程是270千米．
（3）符合约定；
由图象可知：甲、乙两组第一次相遇后在B和D相距最远．
在点B处有y乙﹣y甲=80×4.9﹣100﹣（100×4.9﹣220）=22千米＜25千米
在点D有y甲﹣y乙=100×7﹣220﹣（80×7﹣100）=20千米＜25千米
∴按图象所表示的走法符合约定．
13．
解：（1）由图可知，如果种植蔬菜20亩，则小张种植每亩蔬菜的工资是（160+120）=140元，
小张应得的工资总额是：140×20=2800元，
此时，小李种植水果：30﹣20=10亩，
小李应得的报酬是1500元；
故答案为：140；2800；10；1500；
（2）当10＜n≤30时，设z=kn+b（k≠0），
∵函数图象经过点（10，1500），（30，3900），
∴，
解得，
所以，z=120n+300（10＜n≤30）；
（3）当10＜m≤30时，设y=km+b，
∵函数图象经过点（10，160），（30，120），
∴，
解得，
∴y=﹣2m+180，
∵m+n=30，
∴n=30﹣m，
∴①当10＜m≤20时，10＜m≤20，
w=m（﹣2m+180）+120n+300，
=m（﹣2m+180）+120（30﹣m）+300，
=﹣2m2+60m+3900，
②当20＜m≤30时，0＜n≤10，
w=m（﹣2m+180）+150n，
=m（﹣2m+180）+150（30﹣m），
=﹣2m2+30m+4500，
所以，w与m之间的函数关系式为w=．
