第11讲 反比例函数
考纲要求
命题趋势
1．理解反比例函数的概念，能根据已知条件确定反比例函数的解析式．
2．会画反比例函数图象，根据图象和解析式探索并理解其基本性质．
3．能用反比例函数解决简单实际问题.
反比例函数是中考命题热点之一，主要考查反比例函数的图象、性质及解析式的确定，也经常与一次函数、二次函数及几何图形等知识综合考查．考查形式以选择题、填空题、解答题都有可能.
一、反比例函数的概念
一般地，形如y＝(k是常数，k≠0)的函数叫做反比例函数．
1．反比例函数y＝中的是一个分式，所以自变量x≠0，函数与x轴、y轴无交点．
2．反比例函数解析式可以写成xy＝k(k≠0)，它表明在反比例函数中自变量x与其对应函数值y之积，总等于已知常数k.21世纪教育网版权所有
二、反比例函数的图象与性质
1．图象
反比例函数的图象是双曲线．
2．性质
(1)当k＞0时，双曲线的两支分别在一、三象限，在每一个象限内，y随x的增大而减小；当k＜0时，双曲线的两支分别在二、四象限，在每一个象限内，y随x的增大而增大．注意双曲线的两支和坐标轴无限靠近，但永远不能相交．(2)双曲线是轴对称图形，直线y＝x或y＝－x是它的对称轴；双曲线也是中心对称图形，对称中心是坐标原点．
三、反比例函数的应用
1．利用待定系数法确定反比例函数解析式
由于反比例函数y＝中只有一个待定系数，因此只要一对对应的x，y值，或已知其图象上一个点的坐标即可求出k，进而确定反比例函数的解析式．21教育网
2．反比例函数的实际应用
解决反比例函数应用问题时，首先要找出存在反比例关系的两个变量，然后建立反比例函数模型，进而利用反比例函数的有关知识加以解决．21cnjy.com
1．关于x的函数y=k（x+1）和y=（k≠0）在同一坐标系中的图象大致是（ ）
A．B．C．D．
2．在平面直角坐标系中，直线y=﹣x+2与反比例函数y=的图象有唯一公共点，若直线y=﹣x+b与反比例函数y=的图象有2个公共点，则b的取值范围是（ ）
A．b＞2 B．﹣2＜b＜2 C．b＞2或b＜﹣2 D．b＜﹣2
若点A(1，y1)，B(2，y2)是双曲线y＝上的点，则y1 y2(填“＞”“＜”或“＝”)．
4．如图，在函数y1=（x＜0）和y2=（x＞0）的图象上，分别有A、B两点，若AB∥x轴，交y轴于点C，且OA⊥OB，S△AOC=，S△BOC=，则线段AB的长度= ．
5．如图，两个反比例函数y=和y=在第一象限的图象如图所示，当P在y=的图象上，PC⊥x轴于点C，交y=的图象于点A，PD⊥y轴于点D，交y=的图象于点B，则四边形PAOB的面积为 ．21·cn·jy·com
6.如图，一次函数y=kx+b与反比例函数y=（x＞0）的图象交于A（m，6），B（3，n）两点．www.21-cn-jy.com
（1）求一次函数的解析式；
（2）根据图象直接写出使kx+b＜成立的x的取值范围；
（3）求△AOB的面积．
答案
1． D
2． C
3. ＞
4．
解：∵S△AOC=，S△BOC=，
∴|k1|=，|k2|=，
∴k1=﹣1，k2=9，
∴两反比例解析式为y=﹣，y=，
设B点坐标为（，t）（t＞0），
∵AB∥x轴，
∴A点的纵坐标为t，
把y=t代入y=﹣得x=﹣，
∴A点坐标为（﹣，t），
∵OA⊥OB，
∴∠AOC=∠OBC，
∴Rt△AOC∽Rt△OBC，
∴OC：BC=AC：OC，即t：=：t，
∴t=，
∴A点坐标为（﹣，），B点坐标为（3，），
∴线段AB的长度=3﹣（﹣）=．
故答案为．
5．1
解：由于P点在y=上，则S□PCOD=2，A、B两点在y=上，
则S△DBO=S△ACO=×1=．
∴S四边形PAOB=S□PCOD﹣S△DBO﹣S△ACO=2﹣﹣=1．
∴四边形PAOB的面积为1．
故答案为：1．
6.
解：（1）∵点A（m，6），B（3，n）两点在反比例函数y=（x＞0）的图象上，
∴m=1，n=2，
即A（1，6），B（3，2）．
又∵点A（m，6），B（3，n）两点在一次函数y=kx+b的图象上，
∴．
解得，
则该一次函数的解析式为：y=﹣2x+8；
（2）根据图象可知使kx+b＜成立的x的取值范围是0＜x＜1或x＞3；
（3）分别过点A、B作AE⊥x轴，BC⊥x轴，垂足分别是E、C点．直线AB交x轴于D点．
令﹣2x+8=0，得x=4，即D（4，0）．
∵A（1，6），B（3，2），
∴AE=6，BC=2，
∴S△AOB=S△AOD﹣S△BOD=×4×6﹣×4×2=8．
考点一、反比例函数的图象与性质
【例1】反比例函数y＝的图象在第一、三象限，则m的取值范围是__________．
方法总结 1．.由于双曲线自变量的取值范围是x≠0的实数，故其性质强调在每个象限内y随x的变化而变化的情况．www.21-cn-jy.com
2．反比例函数图象的分布取决于k的符号，当k＞0时，图象在第一、三象限，当k＜0时，图象在第二、四象限．21·世纪*教育网
举一反三 在反比例函数y=图象上有两点A（x1，y1），B （x2，y2），x1＜0＜x2，y1＜y2，则m的取值范围是（ ）www-2-1-cnjy-com
A．m＞ B．m＜ C．m≥ D．m≤
考点二、反比例函数解析式的确定
【例2】如图，在直角坐标系中，有菱形OABC，A点的坐标是（10，0），双曲线经过点C，且OB?AC=160，则k的值为（ ）2-1-c-n-j-y
A．40 B．48 C．64 D．80
方法总结 反比例函数只有一个基本量k，故只需一个条件即可确定反比例函数．这个条件可以是图象上一点的坐标，也可以是x，y的一对对应值．21*cnjy*com
举一反三 如图，已知A （﹣4，n），B （2，﹣4）是一次函数y=kx+b的图象和反比例函数的图象的两个交点；【来源：21cnj*y.co*m】
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）求直线AB与x轴的交点C的坐标及△AOB的面积；
（3）求不等式的解集（请直接写出答案）．
考点三、反比例函数的比例系数k的几何意义
【例3】如图，点A在双曲线上，点B在双曲线y=上，且AB∥x轴，C、D在x轴上，若四边形ABCD为矩形，则它的面积为 ．【版权所有：21教育】
方法总结 过双曲线上任意一点作x轴、y轴的垂线，所得矩形的面积为|k|；过双曲线上任意一点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形的面积S＝|k|.
举一反三 如图，反比例函数y=（x＞0）的图象经过矩形OABC对角线的交点M，分别与AB、BC相交于点D、E．21教育名师原创作品
（1）证明：△OCE与△OAD面积相等；
（2）若CE：EB=1：2，求BD：BA的值；
（3）若四边形ODBE面积为6，求反比例函数的解析式．
考点四、反比例函数的综合应用
【例4】阅读理解：
对于任意正实数a，b，∵≥0，∴a﹣+b≥0，∴a+b≥2，只有点a=b时，等号成立．
结论：在a+b≥2（a，b均为正实数）中，若ab为定值p，则a+b≥，只有当a=b时，a+b有最小值2．21*cnjy*com
根据上述内容，回答下列问题：
（1）若m＞0，只有当m= 时，m+有最小值 ；
（2）思考验证：
①如图1，AB为半圆O的直径，C为半圆上任意一点，（与点A，B不重合）．过点C作CD⊥AB，垂足为D，AD=a，DB=b．试根据图形验证a+b≥，并指出等号成立时的条件；
②探索应用：如图2，已知A（﹣3，0），B（0，﹣4）P为双曲线上的任意一点，过点P作PC⊥x轴于点C，PD⊥y轴于点D．求四边形ABCD面积的最小值，并说明此时四边形ABCD的形状．
方法总结 此题利用了正数中倒数等于它本身的正数只有1解决问题．在后面的问题中注意使用圆中所给线段所在三角形的相似以及特殊四边形的面积的求法．所以在利用反比例函数性质来解决相应问题时也一定要结合已知条件及相似，圆等相关知识点来分析题目。
举一反三 如图，直线y=与双曲线y=（k＞0，x＞0）交于点A，将直线y=向上平移4个单位长度后，与y轴交于点C，与双曲线y=（k＞0，x＞0）交于点B，若OA=3BC，则k的值为（ ）21cnjy.com
A．3 B．6 C． D．
选择题
1．函数的自变量满足时，函数值满足，则这个函数可以是（ ）
A. B. C. D.
2．对于反比例函数，如果当≤≤时有最大值，则当≥8时，有（ ）
A．最小值= B．最小值 C．最大值= D．最大值
3．如果点A（﹣4，y1），B（﹣1，y2），C（3，y3）都在反比例函数的图象上，那么y1，y2，y3的大小关系是( )【来源：21·世纪·教育·网】
A．y1＜y3＜y2 B． y3＜y1＜y2 C．y1＜y2＜y3 D．y3＜y2＜y1
4.设函数y=（k≠0，x＞0）的图象如图所示，若z=，则z关于x的函数图象可能为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，Rt△OAB的顶点与坐标原点重合，∠AOB=90°，AO=3BO，当A点在反比例函数y=（x＞0）图象上移动时，B点坐标满足的函数解析式是（ ）
A．y=﹣（x＜0） B．y=﹣（x＜0） C．y=﹣（x＜0） D．y=﹣（x＜0）
填空题
1．反比例函数y=﹣，当y≤3时，x的取值范围是 ．
2.一反比例函数的图象经过第一象限的点A，AB⊥y轴于点B，O为坐标原点，△ABO的面积为2，则此反比例函数的解析式为 ．
3．已知直线与双曲线相交于点（，，
那么它们的另一个交点坐标是 .
4.如图， Rt△ABC的斜边AB经过坐标原点，两直角边分别平行于坐标轴，点C在反比例函数 的图象上，若点A 的纵坐标为，若点B 的横坐标为﹣2，则k的值为 .
5．在平面直角坐标系中，等腰直角△OAB的直角边OB和正方形BCEF的一边BC都在x轴的正半轴上，函数y=（k＞0）的图象过点A，E．若BC=1，则k的值等于 ．
6.在平面直角坐标系中，O为坐标原点，设点P（1，t）在反比例函数y=的图象上，过点P作直线l与x轴平行，点Q在直线l上，满足QP=OP．若反比例函数y=的图象经过点Q，则k= ．
7．如图，一次函数y=kx+1的图象与反比例函数y=（x＞0）的图象交于点P，PA⊥x轴于点A，PB⊥y轴于点B，一次函数的图象分别交x轴，y轴于点C，点D．且
OA=OB，=，则m= ，= ．
三、解答题
1．如图，一次函数y1=﹣x+2的图象与反比例函数y2=的图象交于A，B两点，与x轴交于点C，已知tan∠BOC=．
（1）求反比例函数的解析式．
（2）当y1=y2时，求x的取值范围．
2．在平面直角坐标系中，反比例函数的图象
经过点A（m, n），点B（2 ，1），且n＞1，过点B作y轴的垂线，垂足为C,若△ABC的面积为2，求点A的坐标.
3．平面直角坐标系中，点A在函数y1＝（x＞0）的图象上，点B在y2＝－（x＜0）的图象上，设A的横坐标为a，B的横坐标为b：
（1）当|a|＝|b|＝5时，求△OAB的面积；
（2）当AB∥x轴时，求△OAB的面积；
（3）当△OAB是以AB为底边的等腰三角形，且AB与x轴不平行时，求a·b的值.
4. （1）先求解下列两题：
①如图①，点B，D在射线AM上，点C，E在射线AN上，且AB=BC=CD=DE，已知∠EDM=84°，求∠A的度数；
②如图②，在直角坐标系中，点A在轴正半轴上，AC∥轴，点B，C的横坐标都是3，且BC=2，点D在AC上，且横坐标为1，若反比例函数的图象经过点B，D，求的值。
解题后，你发现以上两小题有什么共同点？请简单地写出。
5．在平面直角坐标系内，反比例函数和二次函数y=k（x2+x﹣1）的图象交于点A（1，k）和点B（﹣1，﹣k）．
（1）当k=﹣2时，求反比例函数的解析式；
（2）要使反比例函数和二次函数都是y随着x的增大而增大，求k应满足的条件以及x的取值范围；
（3）设二次函数的图象的顶点为Q，当△ABQ是以AB为斜边的直角三角形时，求k的值．
6．如图，一次函数的图象与反比例函数y1=﹣（x＜0）的图象相交于A点，与y轴、x轴分别交于B、C两点，且C（4，0），当x＜﹣1时，一次函数值大于反比例函数值；当﹣1＜x＜0时，一次函数值小于反比例函数值．
（1）求一次函数解析式；
（2）设函数y2=（x＞0）的图象与y1=﹣（x＜0）的图象关于y轴对称，在y2=（x＞0）的图象上取一点P（P点横坐标大于4），过P作PQ⊥x轴，垂足为Q，若四边形BCQP的面积等于8，求PQ长度．
7．我们知道，的图象向右平移1个单位得到y=x-1的图象，类似的，的图象向左平移2个单位得到的图象。请运用这一知识解决问题。
如图，已知反比例函数的图象C与正比例函数y=ax（a≠0）的图象l相交于点A（1，m）和点B．
（1）写出点B的坐标，并求a的值；
（2）将函数的图象和直线AB同时向右平移n（n＞0）个单位长度，
得到的图象分别记为C1和l1，已知图象C1经过点M（3，2）．
①分别写出平移后的两个图象C1和l1对应的函数关系式；
②直接写出不等式的解集
8．如图，已知一次函数的图象与x轴相交于点A，与反比例函数的图象相交于B（－1，5），C（，d）两点．【出处：21教育名师】
（1）求k，b的值；
（2）设点P（m，n）是一次函数的图象上的动点．
①当点P在线段AB（不与A，B重合）上运动时，过点P作x轴的平行线与函数
的图象相交于点D，求出△PAD面积的最大值．
②若在两个实数m与n之间（不包括m和n）有且只有一个整数，直接写出实数m的取值范围．
1．某反比例函数的图象经过点(－1,6)，则下列各点中，此函数图象也经过的点是( )
A．(－3,2) B．(3,2) C．(2,3) D．(6,1)
2．函数y=（m2﹣m）是反比例函数，则（ ）
A．m≠0 B．m≠0且m≠1 C．m=2 D．m=1或2
3．定义新运算：a⊕b=例如：4⊕5=，4⊕（﹣5）=．则函数y=2⊕x（x≠0）的图象大致是（ ）21·cn·jy·com
A． B． C． D．
4．如图，△ABC的三个顶点分别为A（1，2），B（2，5），C（6，1）．若函数y=在第一象限内的图象与△ABC有交点，则k的取值范围是（ ）
A．2≤k≤ B．6≤k≤10 C．2≤k≤6 D．2≤k≤
5．已知(x1，y1)，(x2，y2)，(x3，y3)是反比例函数y＝－的图象上的三点，且x1＜x2＜0，x3＞0，则y1，y2，y3的大小关系是( )
A．y3＜y1＜y2 B．y2＜y1＜y3 C．y1＜y2＜y3 D．y3＜y2＜y1
6．类比二次函数图象的平移，把双曲线y=向左平移2个单位，再向上平移1个单位，其对应的函数解析式变为（ ）
A． B． C． D．
7．已知点P（a，b）是反比例函数y=图象上异于点（﹣1，﹣1）的一个动点，则+=（ ）
A．2 B．1 C． D．
8．如图，在平面直角坐标系中，∠AOB=90°，∠OAB=30°，反比例函数的图象经过点A，反比例函数的图象经过点B，则下列关于m，n的关系正确的是（ ）
A．m=﹣3n B．m=﹣n C．m=﹣n D．m=n
9．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y=（x＞0）的图象交矩形OABC的边AB于点D，交边BC于点E，且BE=2EC．若四边形ODBE的面积为6，则k= ．21世纪教育网版权所有
10．如图，已知直线y=x与双曲线y=（k＞0）交于A、B两点，点B的坐标为（﹣4，﹣2），C为双曲线y=（k＞0）上一点，且在第一象限内，若△AOC的面积为6，则点C的坐标为 ．
11．如图，M为双曲线y=上的一点，过点M作x轴、y轴的垂线，分别交直线y=﹣x+m于D、C两点，若直线y=﹣x+m与y轴交于点A，与x轴相交于点B．则AD?BC的值为 ．
12． 如图，在平面直角坐标系xOy中，已知四边形DOBC是矩形，且D（0，4），B（6，0）．若反比例函数y=（x＞0）的图象经过线段OC的中点A，交DC于点E，交BC于点F．设直线EF的解析式为y=k2x+b．
（1）求反比例函数和直线EF的解析式；
（2）求△OEF的面积；
（3）请结合图象直接写出不等式k2x+b﹣＞0的解集．
13． 如图，正比例函数y1=k1x与反比例函数y2= 相交于A、B点．已知点A的坐标为A（4，n），BD⊥x轴于点D，且S△BDO=4．过点A的一次函数y3=k3x+b与反比例函数的图象交于另一点C，与x轴交于点E（5，0）．2·1·c·n·j·y
（1）求正比例函数y1、反比例函数y2和一次函数y3的解析式；
（2）结合图象，求出当k3x+b＞＞k1x时x的取值范围．
14.我们规定：形如的函数叫做“奇特函数”．当a=b=0时，“奇特函数”就是反比例函数．
（1）若矩形的两边长分别是2和3，当这两边长分别增加x和y后，得到的新矩形的面积为8，求y与x之间的函数关系式，并判断这个函数是否为“奇特函数”；
（2）如图，在平面直角坐标系中，点O为原点，矩形OABC的顶点A，C的坐标分别为（9，0）、（0，3）．点D是OA的中点，连结OB，CD交于点E，“奇特函数”的图象经过B，E两点．
①求这个“奇特函数”的解析式；
②把反比例函数的图象向右平移6个单位，再向上平移 2 个单位就可得到①中所得“奇特函数”的图象．过线段BE中点M的一条直线l与这个“奇特函数”的图象交于P，Q两点，若以B、E、P、Q为顶点组成的四边形面积为16，请直接写出点P的坐标．
15.平面直角坐标系中，点P（x，y）的横坐标x的绝对值表示为|x|，纵坐标y的绝对值表示为|y|，我们把点P（x，y）的横坐标与纵坐标的绝对值之和叫做点P（x，y）的勾股值，记为「P」，即「P」=|x|+|y|．（其中的“+”是四则运算中的加法）21教育网
（1）求点A（﹣1，3），B（+2，﹣2）的勾股值「A」、「B」；
（2）点M在反比例函数y=的图象上，且「M」=4，求点M的坐标；
（3）求满足条件「N」=3的所有点N围成的图形的面积．
答案
【例1】解析：∵函数的图象在第一、三象限，∴m－1＞0，∴m＞1.
举一反三 B
解：∵x1＜0＜x2时，y1＜y2，
∴反比例函数图象在第一，三象限，
∴1﹣3m＞0，
解得：m＜．
【例2】B
解：∵四边形OABC是菱形，OB与AC为两条对角线，且OB?AC=160，
∴菱形OABC的面积为80，即OA?CD=80，
∵OA=OC=10，
∴CD=8，
在Rt△OCD中，OC=10，CD=8，
根据勾股定理得：OD=6，即C（6，8），
则k的值为48．
故选B．
举一反三
解：（1）∵B（2，﹣4）在y=上，
∴m=﹣8．
∴反比例函数的解析式为y=﹣．
∵点A（﹣4，n）在y=﹣上，
∴n=2．
∴A（﹣4，2）．
∵y=kx+b经过A（﹣4，2），B（2，﹣4），
∴．
解之得
．
∴一次函数的解析式为y=﹣x﹣2．
（2）∵C是直线AB与x轴的交点，
∴当y=0时，x=﹣2．
∴点C（﹣2，0）．
∴OC=2．
∴S△AOB=S△ACO+S△BCO=×2×2+×2×4=6．
（3）不等式的解集为：﹣4＜x＜0或x＞2．
【例3】 2
解：过A点作AE⊥y轴，垂足为E，
∵点A在双曲线上，
∴四边形AEOD的面积为1，
∵点B在双曲线y=上，且AB∥x轴，
∴四边形BEOC的面积为3，
∴矩形ABCD的面积为3﹣1=2．
故答案为：2．
举一反三
解：（1）∵四边形OABC为矩形，
∴BC⊥OC，BA⊥OA，
∵D、E在反比例函数的图象上，
∴S△OCE=S△OAD=，
∴△OCE与△OAD面积相等；
（2）∵CE：EB=1：2，
∴设点E的坐标为（m，n），则点B的坐标为（3m，n）．
设点D坐标为（3m，y），
∵E（m，n），D（3m，y）均在反比例函数y=（x＞0）的图象上，
∴k=mn=3my，解得y=n．
∴DA=n，BD=BA﹣DA=n，
∴BD：BA=n：n=2：3．
（3）设M点坐标为（a，b），则k=ab，即y=，
∵点M为矩形OABC对角线的交点，
∴A（2a，0），C（0，2b），B（2a，2b），
∴D点的横坐标为2a，E点的纵坐标为2b，
又∵点D、点E在反比例函数y=的图象上，
∴D点的纵坐标为b，E点的横坐标为a，
∵S矩形OABC=S△OAD+S△OCE+S四边形ODBE，
∴2a?2b=?2a?b+?2b?a+6，
∴ab=2，
∴k=2．
考点四、反比例函数的综合应用
【例4】
解：（1）关键题意得m=1，最小值为2；
（2）①∵AB是⊙O的直径，
∴AC⊥BC，
又∵CD⊥AB，
∴∠CAD=∠BCD=90°﹣∠B，
∴Rt△CAD∽Rt△BCD，
∴CD2=AD?DB，
∴CD=，
若点D与O不重合，连OC，
在Rt△OCD中，∵OC＞CD，
∴，
若点D与O重合时，OC=CD，
∴，
综上所述，，即a+b≥2，当CD等于半径时，等号成立；
②探索应用：设P（x，），
则C（x，0），D（0，），CA=x+3，DB=+4，
∴S四边形ABCD=CA×DB=（x+3）×（+4），
化简得：S=2（x+）+12，
∵x＞0，＞0，
∴x+≥2=6，
只有当x=，即x=3时，等号成立．
∴S≥2×6+12=24，
∴S四边形ABCD有最小值24，
此时，P（3，4），C（3，0），D（0，4），AB=BC=CD=DA=5，
∴四边形ABCD是菱形．
举一反三 D
解：∵将直线y=向上平移4个单位长度后，与y轴交于点C，
∴平移后直线的解析式为y=x+4，
分别过点A、B作AD⊥x轴，BE⊥x轴，CF⊥BE于点F，设A（3x，x），
∵OA=3BC，BC∥OA，CF∥x轴，
∴△BCF∽△AOD，
∴CF=OD，
∵点B在直线y=x+4上，
∴B（x，x+4），
∵点A、B在双曲线y=上，
∴3x?x=x?（x+4），解得x=1，
∴k=3×1××1=．
故选：D．
一、选择题
1． A
2． A
3． B
4. D
5． A
解：设B点坐标满足的函数解析式是y=，
过点A作AC⊥x轴于点C，过点B作BD⊥x轴于点D，
∴∠ACO=∠BDO=90°，
∴∠AOC+∠OAC=90°，
∵∠AOB=90°，
∴∠AOC+∠BOD=90°，
∴∠BOD=∠OAC，
∴△AOC∽△OBD，
∴S△AOC：S△BOD=（）2，
∵AO=3BO，
∴S△AOC：S△BOD=9，
∵S△AOC=OC?AC=×9=，S△BOD=OD?BD=|k|，
∴k=﹣1，
∴设B点坐标满足的函数解析式是y=﹣．
二、填空题
1．x≤﹣1或x＞0
2. y=
3．( ，2)
4. 7
解：BC与y轴交于点D，AC与x轴交于点E，如图，设C（a，b），
∵点A的纵坐标为，若点B的横坐标为﹣2，
∴BD=2，AE=，
∵∠BOD=∠A，
∴Rt△BOD∽Rt△OAE，
∴BD：OE=OD：AE，即2：a=b：，
∴ab=7，
∴C（a，b）在反比例函数的图象上，
∴k=ab=7．
5．
解：设OB=AB=a，则OC=a+1，
即A点的坐标为（a，a），E点的坐标为（a+1，1），
把A、E的坐标代入函数解析式得：
所以a=，
∵a为正数，
∴a=，
∴k=+1=，
故答案为：．
6. 2+2或2﹣2
解：∵点P（1，t）在反比例函数y=的图象上，
∴t==2，
∴P（1.2），
∴OP==，
∵过点P作直线l与x轴平行，点Q在直线l上，满足QP=OP．
∴Q（1+，2）或（1﹣，2）
∵反比例函数y=的图象经过点Q，
∴2=或2=，解得k=2+2或2﹣2
故答案为2+2或2﹣2．
7．
解：∵一次函数y=kx+1的图象交y轴于点D，
令x=0，得y=1，
∴点D的坐标为（0，1）；
设OC=a，则CA=2OC=2a，OA=3a=OB，P（3a，﹣3a）．
∵OC∥BP，
∴△DOC∽△DBP，
∴=，即==，
∴a=，
∴P（2，﹣2）．
∵反比例函数y=（x＞0）的图象过点P，
∴m=2×（﹣2）=﹣4；
===．
故答案为﹣4；．
三、解答题
1．
解：（1）∵tan∠BOC=，
∴OD=2BD，
∴设B（﹣2m，m），
代入y1=﹣x+2得m=2m+2，
解得m=﹣2，
∴B（4，﹣2），
∴k=﹣2×4=﹣8，
∴反比例函数的解析式为y=﹣；
（2）解﹣=﹣x+2得x=﹣2或x=4，
故当y1=y2时，x的取值为﹣2或4．
2．
解：∵B（2，1），
∴BC=2，
∵△ABC的面积为2，
∴×2×（n﹣1）=2，
解得：n=3，
∵B（2，1），∴k=2，
反比例函数解析式为：y=，
∴n=3时，m=，
∴点A的坐标为（，3）．
3．
解：（1）∵a＞0，b＜0，当|a|=|b|=5时，可得A（5，），B（﹣5，），
∴S△OAB=×10×=2；
（2）如图1，设A（a，），B（b，﹣），当AB∥x轴时，=﹣，
∴a=﹣b，
∴S△OAB=×（a﹣b）×=×2a×=2；
（3）设A（a，），B（b，﹣），
∵△OAB是以AB为底边的等腰三角形，OA=OB
由OA2=a2+（）2，OB2=b2+（﹣）2，
∴a2+（）2=b2+（﹣）2，
整理得：（ a2﹣b2）（1﹣）=0．
∵AB与x轴不平行，
∴|a|≠|b|，
∴1﹣=0，
∴a?b=±2．
∵a＞0，b＜0，
∴ab＜0．
∴a?b=﹣2．
4.
解：（1）①∵AB=BC=CD=DE，
∴∠A=∠BCA，∠CBD=∠BDC，∠ECD=∠CED，
根据三角形的外角性质，∠A+∠BCA=∠CBD，∠A+∠CDB=∠ECD，∠A+∠CED=∠EDM，
又∵∠EDM=84°，
∴∠A+3∠A=84°，
解得，∠A=21°；
②∵点B在反比例函数y=图象上，点B，C的横坐标都是3，
∴点B（3，），
∵BC=2，
∴点C（3，+2），
∵AC∥x轴，点D在AC上，且横坐标为1，
∴D（1，+2），
∵点D也在反比例函数图象上，
∴+2=k，
解得，k=3；
（2）用已知的量通过关系去表达未知的量，使用转换的思维和方法．（开放题）
5．
解：（1）当时，
在反比例函数图像上
设反比例函数为，
代入A点坐标可得
（2）要使得反比例函数与二次函数都是随着的增大而增大，
而对于二次函数，其对称轴为，
要使二次函数满足上述条件，在的情况下，
则必须在对称轴的左边，
即时，才能使得随着的增大而增大
综上所述，则，且
（3）由(2)可得
是以AB为斜边的直角三角形
点与点关于原点对称，所以原点平分
又直角三角形中斜边上的中线是斜边的一半
作，
而
，
则，或
6．
解：（1）在y=﹣中，令x=﹣1，解得：y=6，
∴A的坐标是（﹣1，6），
设直线AC的解析式是：y=kx+b，
将A（﹣1，6），C（4，0）代入得：，
解得：，
则一次函数的解析式是：y=﹣x+；
（2）∵函数y2=（x＞0）的图象与y1=﹣（x＜0）的图象关于y轴对称，
∴函数y2=（x＞0）的解析式是：y=，
在y=﹣x+中，令x=0，解得：y=，则OB=，
∴S△OBC=××4=，
设P的纵坐标是a，则横坐标是，
则OQ=，PQ=a，
S梯形OBPQ=（a+）×，
则（a+）×﹣=8，
解得：a=，
则PQ=．
7．解：（1）m=2,点B的坐标为（-1，-2），a=2
（2）①
②不等式为：结合图像知解集为
8．
解:（1）将点B 的坐标代入，得 ，解得c=－5
∴反比例函数解析式为
将点C（，d）的坐标代入，得 ∴C（，－2）
∵一次函数的图象经过B（－1，5）、C（，－2）两点，
∴ ，解得
（2）点P（m，n）是一次函数的图象上的动点．
①令y=0，即－2x＋3=0，解得x= ∴A（，0）
由题意，点P（m，n）在线段AB 上运动（不含A、B）.设P（，n）
∵DP∥x轴，且点D在的图象上，∴yD=yP=n，xD=－，即D（－，n）
∴△PAD的面积为
∴S关于n的二次函数的图象开口向下，有最大值.
又∵n =－2m＋3，－1＜m＜，得0＜n＜5，而0＜n=＜5
∴当n=时，即P（）时，△PAD的面积S最大，为.
②实数m的取值范围为≤m＜1或1＜m≤ (写成≤m≤且m≠1也对)
1． A
2． C
3．D
解：由题意得：y=2⊕x=，
当x＞0时，反比例函数y=在第一象限，
当x＜0时，反比例函数y=﹣在第二象限，
又因为反比例函数图象是双曲线，因此D选项符合．
故选：D．
4．A
A．2≤k≤ B．6≤k≤10 C．2≤k≤6 D．2≤k≤
解：反比例函数和三角形有交点的第一个临界点是交点为A，
∵过点A（1，2）的反比例函数解析式为y=，
∴k≥2．
随着k值的增大，反比例函数的图象必须和线段BC有交点才能满足题意，
经过B（2，5），C（6，1）的直线解析式为y=﹣x+7，
，得x2﹣7x+k=0
根据△≥0，得k≤
综上可知2≤k≤．
5． A
6． A
7． B
解：∵点P（a，b）是反比例函数y=图象上异于点（﹣1，﹣1）的一个动点，
∴ab=1，
∴+=+===1．
故选：B．
8．A
A．m=﹣3n B．m=﹣n C．m=﹣n D．m=n
解：过点B作BE⊥x轴于点E，过点A作AF⊥x轴于点F，
∵∠OAB=30°，
∴OA=OB，
设点B坐标为（a，），点A的坐标为（b，），
则OE=﹣a，BE=，OF=b，AF=，
∵∠BOE+∠OBE=90°，∠AOF+∠BOE=90°，
∴∠OBE=∠AOF，
又∵∠BEO=∠OFA=90°，
∴△BOE∽△OAF，
∴==，即==，
解得：m=﹣ab，n=，
故可得：m=﹣3n．
故选A．
9． 3
解：连接OB，如图所示：
∵四边形OABC是矩形，
∴∠OAD=∠OCE=∠DBE=90°，△OAB的面积=△OBC的面积，
∵D、E在反比例函数y=（x＞0）的图象上，
∴△OAD的面积=△OCE的面积，
∴△OBD的面积=△OBE的面积=四边形ODBE的面积=3，
∵BE=2EC，∴△OCE的面积=△OBE的面积=，
∴k=3；
故答案为：3．
10．（2，4）或（8，1）
解：∵点B（﹣4，﹣2）在双曲线y=上，
∴=﹣2，
∴k=8，
根据中心对称性，点A、B关于原点对称，
所以，A（4，2），
如图，过点A作AE⊥x轴于E，过点C作CF⊥x轴于F，设点C的坐标为（a，），
若S△AOC=S△COF+S梯形ACFE﹣S△AOE，
=×8+×（2+）（4﹣a）﹣×8，
=4+﹣4，
=，
∵△AOC的面积为6，
∴=6，
整理得，a2+6a﹣16=0，
解得a1=2，a2=﹣8（舍去），
∴==4，
∴点C的坐标为（2，4）．
若S△AOC=S△AOE+S梯形ACFE﹣S△COF=，
∴=6，
解得：a=8或a=﹣2（舍去）
∴点C的坐标为（8，1）．
故答案为：（2，4）或（8，1）．
11．2
解：设M点的坐标为（a，），则C（m﹣，）、D（a，m﹣a），
∵直线y=﹣x+m与y轴交于点A，与x轴相交于点B，
∴A（0，m）、B（m，0），
∴AD?BC=?=a?=2．
12．
解：（1）∵四边形DOBC是矩形，且D（0，4），B（6，0），
∴C点坐标为（6，4），
∵点A为线段OC的中点，
∴A点坐标为（3，2），
∴k1=3×2=6，
∴反比例函数解析式为y=；
把x=6代入y=得y=1，则F点的坐标为（6，1）；
把y=4代入y=得x=，则E点坐标为（，4），
把F（6，1）、E（，4）代入y=k2x+b得，解得，
∴直线EF的解析式为y=﹣x+5；
（2）△OEF的面积=S矩形BCDO﹣S△ODE﹣S△OBF﹣S△CEF
=4×6﹣×4×﹣×6×1﹣×（6﹣）×（4﹣1）
=；
（3）由图象得：不等式k2x+b﹣＞0的解集为＜x＜6．
13．
解：（1）∵S△BDO=4．
∴k2=2×4=8，
∴反比例函数解析式；y2=，
∵点A（4，n）在反比例函数图象上，
∴4n=8，
n=2，
∴A点坐标是（4，2），
∵A点（4，2）在正比例函数y1=k1x图象上，
∴2=k1?4，
k1=，
∴正比例函数解析式是：y1=x，
∵一次函数y3=k3x+b过点A（4，2），E（5，0），
∴，
解得：，
∴一次函数解析式为：y3=﹣2x+10；
（2）联立y3=﹣2x+10与y2=，
消去y得：﹣2x+10=，解得x1=1，x2=4，
另一交点C的坐标是（1，8），
点A（4，2）和点B关于原点中心对称，
∴B（﹣4，﹣2），
∴由观察可得x的取值范围是：x＜﹣4，或1＜x＜4．
14.
解：（1）由题意得：（2+x）（3+y）=8，
∵x+2≠0，
∴3+y=，
∴y=﹣3=，
根据新定义判断得到y=是“奇特函数”；
（2）①由题意得：B（9，3），E（3，1），
得到直线OB解析式为y=x，直线CD解析式为y=﹣x+3，
联立得：，
解得：，即E（3，1），
将B（9，3），E（3，1）代入函数y=得：，
整理得：，
解得：，
则“奇特函数”的解析式为y=；
②把反比例函数的图象向右平移6个单位，再向上平移 2个单位就可得到①中所得“奇特函数”的图象，
P1 （7，5），，P3 （﹣3，），P4（5，﹣1）．
15.
解：（1）∵A（﹣1，3），B（+2，﹣2），
∴「A」=|﹣1|+|3|=4，「B」=|+2|+|﹣2|=+2+2﹣=4；
（2）设：点M的坐标为（m，n），
由题意得
解得：，，，，
∴M（1，3），（﹣1，﹣3），（3，1），（﹣3，﹣1）．
（3）设N点的坐标为（x，y），
∵「N」=3，
∴|x|+|y|=3，
∴x+y=3，﹣x﹣y=3，x﹣y=3，﹣x+y=3，
∴y=﹣x+3，y=﹣x﹣3，y=x﹣3，y=x+3，
如图：所有点N围成的图形的面积=3=18．
