河南省南阳市宛东五校2016-2017学年高二（上）第一次联考数学试卷（解析版）

2016-2017学年河南省南阳市宛东五校高二（上）第一次联考数学试卷
　
一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）．
1．已知△ABC中，三内角A、B、C成等差数列，则sinB=（　　）
A．
B．
C．
D．
2．7+3与7﹣3的等比中项为（　　）
A．7
B．2
C．±2
D．﹣7
3．△ABC中，a=1，b=，A=30°，则B等于（　　）
A．60°
B．60°或120°
C．30°或150°
D．120°
4．在△ABC中，若lgsinA﹣lgcosB﹣lgsinC=lg2，则△ABC是（　　）
A．等腰三角形
B．直角三角形
C．等边三角形
D．等腰直角三角形
5．在等差数列{an}中，首项a1=﹣20，公差d=3，则|a1|+|a2|+|a3|+…+|a11|=（　　）
A．99
B．100
C．﹣55
D．98
6．在△ABC中，a，b，c分别为三个内角A，B，C所对的边，设向量=（b﹣c，c﹣a），=（b，c+a），若⊥，则角A的大小为（　　）
A．
B．
C．
D．
7．设{an}是任意等比数列，它的前n项和，前2n项和与前3n项和分别为X，Y，Z，则下列等式中恒成立的是（　　）
A．X+Z=2Y
B．Y（Y﹣X）=Z（Z﹣X）
C．Y2=XZ
D．Y（Y﹣X）=X（Z﹣X）
8．如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为75°，30°，此时气球的高是60m，则河流的宽度BC等于（　　）
A．
m
B．
m
C．
m
D．
m
9．在△ABC中，a，b，c分别为三内角A，B，C所对的边，若B=2A，则b：2a的取值范围是（　　）
A．（﹣2，2）
B．（0，2）
C．（﹣1，1）
D．（，1）
10．等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，若=，则=（　　）
A．
B．
C．
D．
11．在数列{an}中，an+1=an+a
（n∈N
，a为常数），若平面上的三个不共线的非零向量，，满足2=a2+a2015，三点A、B、C共线且该直线不过O点，则S2016等于（　　）
A．2016
B．2017
C．1007
D．1008
12．已知函数f（x）=，若数列{an}满足an=f（n）（n∈N
），且对任意的两个正整数m，n（m≠n）都有（m﹣n）（am﹣an）＜0，则实数a的取值范围是（　　）
A．（，]
B．（，）
C．（，1）
D．（，）
　
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在答题卡中的横线上）
13．在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且a2=b2+c2﹣2bcsinA，则∠A=　　．
14．求和：
=　　．
15．已知梯形ABCD的上底AD长为1，下底BC长为4，对角线AC长为4，BD长为3，则梯形ABCD的腰AB长为　　．
16．设数列{an}的前n项和为Sn（n∈N
），关于数列{an}有下列几个命题：
①若an=an+1（n∈N
），则{an]既是等差数列又是等比数列；
②若Sn=an2+bn（a、b∈R），则{an}是等差数列；
③若Sn=1﹣（﹣1）n，则{an}是等比数列；
④若{an}为等差数列，且存在ak+1＞ak＞0（k∈N
），则对于任意自然数n＞k，都有an＞0．
其中正确命题的序号是　　．
　
三、解答题（本大题共6小题，共70分，请在答题卡指定区域内作答，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17．已知等差数列{an}满足：a5=11，a2+a6=18
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）若bn=an+3n，求数列{bn}的前n项和Sn．
18．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且2b cosA=c cosA+a cosC．
（Ⅰ）求角A的大小；
（Ⅱ）若a=，b+c=4，求△ABC的面积．
19．已知数列{an}的前n项和是Sn，满足Sn=2an﹣1
（1）求数列{an}的通项an；
（2）设，求{bn}的前n项和Tn：
20．如图，在△ABC中，点D在BC边上，AD=33，sin∠BAD=，cos∠ADC=．
（1）求sin∠ABD的值；
（2）求BD的长．
21．已知数列{an}中，a1=1，前n项和Sn=an．
（1）求a2，a3，及{an}的通项公式．
（2）求{}的前n项和Tn，并证明：1≤Tn＜2．
22．已知数列{an}、{bn}满足：a1=，an+bn=1，bn+1=．
（Ⅰ）求b1，b2，b3，b4；
（Ⅱ）设cn=，求数列{cn}的通项公式；
（Ⅲ）设Sn=a1a2+a2a3+a3a4+…+anan+1，不等式4aSn＜bn恒成立时，求实数a的取值范围．
　
2016-2017学年河南省南阳市宛东五校高二（上）第一次联考数学试卷
参考答案与试题解析
　
一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）．
1．已知△ABC中，三内角A、B、C成等差数列，则sinB=（　　）
A．
B．
C．
D．
【考点】等差数列的通项公式；正弦定理．
【分析】由题意可得A+C=2B，结合三角形的内角和可求B，进而可求sinB
【解答】解：由题意可得，A+C=2B
∵A+B+C=180°
∴B=60°，sinB=
故选B
　
2．7+3与7﹣3的等比中项为（　　）
A．7
B．2
C．±2
D．﹣7
【考点】等比数列的通项公式．
【分析】利用等比中项的计算公式即可得出．
【解答】解：7+3与7﹣3的等比中项为：
=±2．
故选：C．
　
3．△ABC中，a=1，b=，A=30°，则B等于（　　）
A．60°
B．60°或120°
C．30°或150°
D．120°
【考点】正弦定理．
【分析】由正弦定理可得，求出sinB的值，根据B的范围求得B的大小．
【解答】解：由正弦定理可得，∴，∴sinB=．
又
0＜B＜π，∴B=
或，
故选B．
　
4．在△ABC中，若lgsinA﹣lgcosB﹣lgsinC=lg2，则△ABC是（　　）
A．等腰三角形
B．直角三角形
C．等边三角形
D．等腰直角三角形
【考点】三角形的形状判断；对数的运算性质．
【分析】由对数的运算性质可得sinA=2cosBsinC，利用三角形的内角和A=π﹣（B+C）及诱导公式及和差角公式可得B，C的关系，从而可判断三角形的形状
【解答】解：由lgsinA﹣lgcosB﹣lgsinC=lg2可得lg
=lg2
∴sinA=2cosBsinC
即sin（B+C）=2sinCcosB
展开可得，sinBcosC+sinCcosB=2sinCcosB
∴sinBcosC﹣sinCcosB=0
∴sin（B﹣C）=0．
∴B=C．
△ABC为等腰三角形．
选：A．
　
5．在等差数列{an}中，首项a1=﹣20，公差d=3，则|a1|+|a2|+|a3|+…+|a11|=（　　）
A．99
B．100
C．﹣55
D．98
【考点】数列的求和．
【分析】由等差数列的通项公式及前n项和公式求得an=3n﹣23，Sn=﹣，由a8＞0，a7＜0，因此|a1|+|a2|+|a3|+…+|a11|=S11﹣2S7，代入即可求得|a1|+|a2|+|a3|+…+|a11|的值．
【解答】解：由a1=﹣20，公差d=3，
∴an=a1+（n﹣1）d=3n﹣23，
前n项和Sn==﹣，
令an=0，即3n﹣23=0，解得：n=，
∵n∈N
，
∴a8＞0，a7＜0，
∴|a1|+|a2|+|a3|+…+|a11|=S11﹣2S7=﹣﹣2（﹣）=99，
故选A．
　
6．在△ABC中，a，b，c分别为三个内角A，B，C所对的边，设向量=（b﹣c，c﹣a），=（b，c+a），若⊥，则角A的大小为（　　）
A．
B．
C．
D．
【考点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角．
【分析】利用⊥，可得=0，再利用余弦定理即可得出．
【解答】解：∵⊥，
∴=b（b﹣c）+（c+a）（c﹣a）=0，
化为b2﹣bc+c2﹣a2=，即b2+c2﹣a2=bc．
∴==．
∵A∈（0，π），
∴．
故选：B．
　
7．设{an}是任意等比数列，它的前n项和，前2n项和与前3n项和分别为X，Y，Z，则下列等式中恒成立的是（　　）
A．X+Z=2Y
B．Y（Y﹣X）=Z（Z﹣X）
C．Y2=XZ
D．Y（Y﹣X）=X（Z﹣X）
【考点】等比数列．
【分析】取一个具体的等比数列验证即可．
【解答】解：取等比数列1，2，4，令n=1得X=1，Y=3，Z=7代入验算，只有选项D满足．
故选D
　
8．如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为75°，30°，此时气球的高是60m，则河流的宽度BC等于（　　）
A．
m
B．
m
C．
m
D．
m
【考点】解三角形的实际应用．
【分析】由题意画出图形，由两角差的正切求出15°的正切值，然后通过求解两个直角三角形得到DC和DB的长度，作差后可得答案．
【解答】解：如图，∠DAB=15°，
∵tan15°=tan（45°﹣30°）==2﹣．
在Rt△ADB中，又AD=60，
∴DB=AD tan15°=60×（2﹣）=120﹣60．
在Rt△ADC中，∠DAC=60°，AD=60，
∴DC=AD tan60°=60．
∴BC=DC﹣DB=60﹣=120（﹣1）（m）．
∴河流的宽度BC等于120（﹣1）m．
故选：B．
　
9．在△ABC中，a，b，c分别为三内角A，B，C所对的边，若B=2A，则b：2a的取值范围是（　　）
A．（﹣2，2）
B．（0，2）
C．（﹣1，1）
D．（，1）
【考点】正弦定理．
【分析】利用正弦定理可得：
=cosA，再利用三角形内角和定理、三角函数的单调性即可得出．
【解答】解：在△ABC中，∵B=2A，
∴===cosA，
又A+B+C=π，故0＜A＜，
∴cosA∈（，1）．
答案：D．
　
10．等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，若=，则=（　　）
A．
B．
C．
D．
【考点】等差数列的前n项和．
【分析】利用等差数列的通项公式及其求和公式性质即可得出．
【解答】解：由等差数列的性质可得：
======．
故选：C．
　
11．在数列{an}中，an+1=an+a
（n∈N
，a为常数），若平面上的三个不共线的非零向量，，满足2=a2+a2015，三点A、B、C共线且该直线不过O点，则S2016等于（　　）
A．2016
B．2017
C．1007
D．1008
【考点】平面向量的基本定理及其意义．
【分析】先可判断数列{an}为等差数列，而根据及三点A，B，C共线即可得出，从而，根据等差数列的前n项和公式即可求出S2016的值．
【解答】解：由an+1=an+a得，an+1﹣an=a；
∴{an}为等差数列；
由得，
，且A，B，C三点共线；
∴；
∴
=
=2016．
故选A．
　
12．已知函数f（x）=，若数列{an}满足an=f（n）（n∈N
），且对任意的两个正整数m，n（m≠n）都有（m﹣n）（am﹣an）＜0，则实数a的取值范围是（　　）
A．（，]
B．（，）
C．（，1）
D．（，）
【考点】分段函数的应用．
【分析】由题意可得数列{an}是递减数列，根据函数得单调性可得，解得即可．
【解答】解：∵对任意的两个正整数m，n（m≠n）都有（m﹣n）（am﹣an）＞＜0，
∴数列{an}是递减数列，
又∵f（x）=，an=f（n）（n∈N
），
∴，
解得＜a≤
故实数a的取值范围是（，]
故选A．
　
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在答题卡中的横线上）
13．在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且a2=b2+c2﹣2bcsinA，则∠A=　　．
【考点】余弦定理．
【分析】根据余弦定理，建立方程关系即可得到结论．
【解答】解：由余弦定理得且a2=b2+c2﹣2bccosA，
∵a2=b2+c2﹣2bcsinA，
∴a2=b2+c2﹣2bcsinA=b2+c2﹣2bccosA，
则sinA=cosA，
即tanA=1，
解得A=；
故答案为：
　
14．求和：
=　　．
【考点】数列的求和．
【分析】由，知Sn=a1+a2+a3+…+an=2（）
，再用裂项求和法能够得到这个数列的和．
【解答】解：，
∴Sn=a1+a2+a3+…+an
=2（）
=2×
=2（1﹣）=．
故答案：．
　
15．已知梯形ABCD的上底AD长为1，下底BC长为4，对角线AC长为4，BD长为3，则梯形ABCD的腰AB长为　　．
【考点】解三角形．
【分析】已知梯形ABCD中AD=1，BC=4，BD=3，AC=4，过点A作AE平行于BD交CB延长线于E，则AEBD为平行四边形，所以EC=EB+BC=AD+BC=5，又AE=3，AC=4，可得△AEC为Rt△，设∠EBA=α，在△ABE中由余弦定理建立关系式，在△ABD中由余弦定理建立关系式，可求腰AB的长．
【解答】解：已知梯形ABCD中AD=1，BC=4，BD=3，AC=4，过点B作BE平行于AC交AE延长线于E，则AEBC为平行四边形，∴ED=EA+BC=AD+BC=5，又BD=3，AC=4，∴△DEC为Rt△，∠EBD=90°（如图）
设∠EBA=α，
在△ABE中由余弦定理：可得：．
∴AB=8cosα…①
在△ABD中由余弦定理：
，
sinα=…②
sin2α+co2sα=1…③
由①②③解得：AB=
故答案为．
　
16．设数列{an}的前n项和为Sn（n∈N
），关于数列{an}有下列几个命题：
①若an=an+1（n∈N
），则{an]既是等差数列又是等比数列；
②若Sn=an2+bn（a、b∈R），则{an}是等差数列；
③若Sn=1﹣（﹣1）n，则{an}是等比数列；
④若{an}为等差数列，且存在ak+1＞ak＞0（k∈N
），则对于任意自然数n＞k，都有an＞0．
其中正确命题的序号是　②③④　．
【考点】等差数列的性质．
【分析】对于①，直接据反例进行判断；
对于②和③，利用数列中an与Sn的关系式求出数列的通项，由等差数列和等比数列的定义加以验证；
对于④依题意，可得公差d＞0，从而可判断④正确．
【解答】解：①如：数列0、0、0、…，是等差数列但不是等比数列，则①不正确；
②由Sn=an2+bn，（a，b∈R），当n=1时，a1=S1=a+b，
当n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1=an2+bn﹣[a（n﹣1）2+b（n﹣1）]=2an﹣a+b．
当n=1时a1适合上式．
∴an=2an﹣a+b．满足an+1﹣an=2a为常数，则{an}是等差数列，
当{an}是等差数列时，Sn=na1+d=n2+（a1﹣）n，
即为Sn=an2+bn（a，b∈R）形式，成立，则②正确；
③若Sn=1﹣（﹣1）n，当n=1时，a1=S1=2，
当n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1=1﹣（﹣1）n﹣[1﹣（﹣1）n﹣1]=（﹣1）n+1+（﹣1）n﹣1，
当n为奇数时，an=2．当n为偶数时，an=﹣2．
所以{an}是等比数列，则③正确；
④一个等差数列{an}中，若存在ak+1＞ak＞0（k∈N
），由ak+1=ak+d知ak+d＞ak＞0，
故d＞0，所以，对于任意自然数n＞k，都有an＞0，则④正确；
故答案为：②③④．
　
三、解答题（本大题共6小题，共70分，请在答题卡指定区域内作答，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17．已知等差数列{an}满足：a5=11，a2+a6=18
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）若bn=an+3n，求数列{bn}的前n项和Sn．
【考点】数列的求和；等差数列的通项公式．
【分析】（I）利用等差数列的通项公式即可得出；
（II）利用等差数列与等比数列的前n项和公式即可得出．
【解答】解：（Ⅰ）设等差数列{an}的公差为d，∵a5=11，a2+a6=18，
∴，解得a1=3，d=2．
∴a1=2n+1．
（Ⅱ）由（I）可得：bn=2n+1+3n．
∴Sn=[3+5+…+（2n+1）]+（3+32+…+3n）
=+
=n2+2n+﹣．
　
18．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且2b cosA=c cosA+a cosC．
（Ⅰ）求角A的大小；
（Ⅱ）若a=，b+c=4，求△ABC的面积．
【考点】正弦定理；余弦定理．
【分析】（Ⅰ）根据正弦定理把题设等式中的边换成相应角的正弦，化简整理可求得cosA，进而求得A．
（Ⅱ）根据余弦定理得a2=b2+c2﹣2bccos60°=7，进而根据b+c=4求得bc，进而根据三角形的面积公式求得△ABC面积．
【解答】解：（Ⅰ）根据正弦定理∵2b cosA=c cosA+a cosC．
∴2sinB cosA=sinC cosA+sinA cosC，
∵sinB≠0
∴cosA=
又∵0°＜A＜180°，∴A=60°．
（Ⅱ）由余弦定理得：
a2=b2+c2﹣2bccos60°=7，
代入b+c=4得bc=3，
故△ABC面积为S=bcsinA=
　
19．已知数列{an}的前n项和是Sn，满足Sn=2an﹣1
（1）求数列{an}的通项an；
（2）设，求{bn}的前n项和Tn：
【考点】数列的求和；等比关系的确定．
【分析】（1）当n=1时，代入可得a1=1，当n≥2时，可得an=2an﹣1，由等比数列的通项公式可得；
（2）由（1）可得Sn=2n﹣1，由错位相减法可得．
【解答】解：（1）当n=1时，S1=2a1﹣1，解得a1=1，
当n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1=2an﹣2an﹣1，可得an=2an﹣1，
故数列{an}是首项为1，公比为2的等比数列，
故数列{an}的通项an=2n﹣1
（2）由（1）可得Sn=2an﹣1=2 2n﹣1﹣1=2n﹣1，
∴==，
∴，①
两边同乘以可得，，②
①﹣②可得
==2﹣，
∴Tn=4﹣
　
20．如图，在△ABC中，点D在BC边上，AD=33，sin∠BAD=，cos∠ADC=．
（1）求sin∠ABD的值；
（2）求BD的长．
【考点】正弦定理；同角三角函数间的基本关系．
【分析】（1）通过cos∠ADC=，求出sin∠ADC，利用，求出cos∠BAD，通过sin∠ABD=sin（∠ADC﹣∠BAD），直接利用两角差的正弦函数求解即可．
（2）在△ABD中，由正弦定理，直接求BD的长．
【解答】（本小题满分12分）
解：（1）因为cos∠ADC=，
所以．…
因为，
所以．…
因为∠ABD=∠ADC﹣∠BAD，
所以sin∠ABD=sin（∠ADC﹣∠BAD）
=sin∠ADCcos∠BAD﹣cos∠ADCsin∠BAD
…
=．…
（2）在△ABD中，由正弦定理，得，…
所以．…
　
21．已知数列{an}中，a1=1，前n项和Sn=an．
（1）求a2，a3，及{an}的通项公式．
（2）求{}的前n项和Tn，并证明：1≤Tn＜2．
【考点】数列的求和．
【分析】（1）根据已知等式确定出a2，a3，得出{an}的通项公式即可；
（2）表示出{}的前n项和Tn，根据前n项和Tn为递增数列，确定出Tn的范围，即可得证．
【解答】解：（1）由S2=a2，a1=1，得到3（a1+a2）=4a2，
解得：a2=3a1=3；
由S3=a3得3（a1+a2+a3）=5a3，
解得：a3=（a1+a2）=6．
由题设知a1=1，
当n＞1时有an=Sn﹣Sn﹣1=an﹣an﹣1，
整理得：an=an﹣1．
于是a1=1，a2=a1，a3=a2，…，an﹣1=an﹣2，an=an﹣1，
将以上n个等式两端分别相乘，整理得an=，
综上，{an}的通项公式an=；
（2）∵=，
∴Tn=2[++…+]=2（1﹣+﹣+…+﹣）=2（1﹣）=2﹣＜2，即Tn＜2，
又Tn+1＞Tn，{Tn}单调增，
∴Tn＞=T1=1，
则1≤Tn＜2．
　
22．已知数列{an}、{bn}满足：a1=，an+bn=1，bn+1=．
（Ⅰ）求b1，b2，b3，b4；
（Ⅱ）设cn=，求数列{cn}的通项公式；
（Ⅲ）设Sn=a1a2+a2a3+a3a4+…+anan+1，不等式4aSn＜bn恒成立时，求实数a的取值范围．
【考点】数列递推式；函数恒成立问题．
【分析】（Ⅰ），由[lg（Sn﹣m）+lg（Sn+2﹣m）]=2lg（Sn+1﹣m），能求出b1，b2，b3，b4．
（Ⅱ）由，知，由此能求出cn．
（Ⅲ）由于，所以，从而，所以由条件知（a﹣1）n2+（3a﹣6）n﹣8＜0恒成立即可满足条件，由此能够推导出a≤1时，4aSn＜bn恒成立．
【解答】（本题14分）
解：（Ⅰ），
∵[lg（Sn﹣m）+lg（Sn+2﹣m）]=2lg（Sn+1﹣m），
∴．…
（Ⅱ）∵，
∴，…
∴数列{cn}是以﹣4为首项，﹣1为公差的等差数列．
∴cn=﹣4+（n﹣1） （﹣1）=﹣n﹣3．…
（Ⅲ）由于，
所以，
从而..…
∴
∴…
由条件知（a﹣1）n2+（3a﹣6）n﹣8＜0恒成立即可满足条件，
设f（n）=（a﹣1）n2+（3a﹣6）n﹣8，
当a=1时，f（n）=﹣3n﹣8＜0恒成立
当a＞1时，由二次函数的性质知不可能成立，
当a＜1时，对称轴，
f（n）在（1，+∞）为单调递减函数．
f（1）=（a﹣1）n2+（3a﹣6）n﹣8=（a﹣1）+（3a﹣6）﹣8=4a﹣15＜0，
∴，
∴a＜1时4aSn＜bn恒成立
综上知：a≤1时，4aSn＜bn恒成立…
　
2016年12月28日