课件24张PPT。1.1 任意角和弧度制 1.1.1 任意角第一章 三角函数 高中新课程数学必修④问题提出1.角是平面几何中的一个基本图形，角是可以度量其大小的.在平面几何中，角的取值范围如何？ 2.体操是力与美的结合，也充满了角的概念．2002年11月22日，在匈牙利德布勒森举行的第36届世界体操锦标赛中，“李小鹏跳”——“踺子后手翻转体180度接直体前空翻转体900度”，震惊四座，这里的转体180度、 转体900度就是一个角的概念. 3.过去我们学习了0°～360°范围的角，但在实际问题中还会遇到其他角．如在体操、花样滑冰、跳台跳水等比赛中，常常听到“转体10800”、“转体12600”这样的解说．再如钟表的指针、拧动螺丝的扳手、机器上的轮盘等，它们按照不同方向旋转所成的角，不全是0°～3600范围内的角.因此，仅有0°～360°范围内的角是不够的，我们必须将角的概念进行推广. 任意角知识探究（一）：角的概念的推广 思考2：如图，一条射线的端点是O，它从起始位置OA旋转到终止位置OB，形成了一个角α，其中点O，射线OA、OB分别叫什么名称？思考3：在齿轮传动中，被动轮与主动轮是按相反方向旋转的.一般地，一条射线绕其端点旋转，既可以按逆时针方向旋转，也可以按顺时针方向旋转.你认为将一条射线绕其端点按逆时针方向旋转600所形成的角，与按顺时针方向旋转600所形成的角是否相等？ 思考4：为了区分形成角的两种不同的旋转方向，可以作怎样的规定？如果一条射线没有作任何旋转，它还形成一个角吗？ 规定：
按逆时针方向旋转形成的角叫做正角，按顺时针方向旋转形成的角叫做负角．
如果一条射线没有作任何旋转，则称它形成了一个零角.画图表示一个大小一定的角，先画一条射线作为角的始边，再由角的正负确定角的旋转方向，再由角的绝对值大小确定角的旋转量，画出角的终边，并用带箭头的螺旋线加以标注. 思考5：度量一个角的大小，既要考虑旋转方向，又要考虑旋转量，通过上述规定，角的范围就扩展到了任意大小. 对于α＝210°， ＝－150°，＝－660°，你能用图形表示这些角吗？你能总结一下作图的要点吗？ 思考6：如果你的手表慢了20分钟，或快了1.25小时，你应该将分钟分别旋转多少度才能将时间校准？ －120°，450°.思考7：任意两个角的数量大小可以相加、相减，如 50°＋80°=130°， 50°－80°=－30°，你能解释一下这两个式子的几何意义吗？ 以50°角的终边为始边，逆时针（或顺时针）旋转80°所成的角. 思考8：一个角的始边与终边可以重合吗？如果可以，这样的角的大小有什么特点？ k·360°（k∈Z） 知识探究（二）：象限角 思考1：为了进一步研究角的需要，我们常在直角坐标系内讨论角，并使角的顶点与原点重合,角的始边与x轴的非负半轴重合，那么对一个任意角，角的终边可能落在哪些位置？ 思考2：如果角的终边在第几象限，我们就说这个角是第几象限的角；如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于如何象限，或称这个角为轴线角.那么下列各角：-50°，405°，210°,
-200°，－450°分别是第几象限的角？－450°思考3：锐角与第一象限的角是什么逻辑关系？钝角与第二象限的角是什么逻辑关系？直角与轴线角是什么逻辑关系？思考4：第二象限的角一定比第一象限的角大吗？ 象限角只能反映角的终边所在象限，不能反映角的大小. 思考5：在直角坐标系中，135°角的终边在什么位置？终边在该位置的角一定是135°吗？知识探究（三）：终边相同的角 思考1：－32°，328°，－392°是第几象限的角？这些角有什么内在联系？－32°－392°328°思考2：与－32°角终边相同的角有多少个？这些角与－32°角在数量上相差多少？ 思考3：所有与－32°角终边相同的角，连同－32°角在内，可构成一个集合S，你能用描述法表示集合S吗？ S={β|β=α＋k·360°，k∈Z}，即任一与α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和.思考4：一般地，所有与角α终边相同的角，连同角α在内所构成的集合S可以怎样表示？ 思考5：终边在x轴正半轴、负半轴，y轴正半轴、负半轴上的角分别如何表示？ x轴正半轴：α= k·360°，k∈Z ； x轴负半轴：α= 180°＋k·360°，k∈Z ；
y轴正半轴：α= 90°＋k·360°，k∈Z ； y轴负半轴：α= 270°＋k·360°，k∈Z .思考6：终边在x轴、y轴上的角的集合分别如何表示？ 终边在x轴上：S={α|α=k·180°，k∈Z}；终边在y轴上：S={α|α=90°＋k·180°， k∈Z}. 思考7：第一、二、三、四象限的角的集合分别如何表示？ 第一象限：S={α | k·360°<α<
90°＋k·360°，k∈Z}；
第二象限：S={α | 90°＋k·360°<α<
180°＋k·360°，k∈Z}；
第三象限：S={α | 180°＋k·360°<α<
270°＋k·360°，k∈Z}；
第四象限：S={α | －90°＋k·360°<
α－315°，-135°，45°，225°，405°，585°. 例2 写出终边在直线y=x上的角的集合S，并把S中适合不等式-360°≤ ＜720°的元素写出来. 小结作业1.角的概念推广后，角的大小可以任意取值. 把角放在直角坐标系中进行研究，对于一个给定的角，都有唯一的一条终边与之对应，并使得角具有代数和几何双重意义.2.终边相同的角有无数个，在0°～360°范围内与已知角β终边相同的角有且只有一个. 用β除以360°，若所得的商为k，余数为α（α必须是正数），则α即为所找的角. 作业：
P5 练习 ：3，4，5. 课件14张PPT。1.1 任意角和弧度制 1.1.1 任意角第二课时知识回顾 1.角的定义 角是由平面内一条射线绕其端点从一个位置旋转到另一个位置所组成的图形.规定：
按逆时针方向旋转形成的角叫做正角，按顺时针方向旋转形成的角叫做负角．
如果一条射线没有作任何旋转，则称它形成了一个零角.2.角的方向3.象限角 在直角坐标系中，角的顶点与原点重合,角的始边与x轴的非负半轴重合. 如果角的终边在第几象限，我们就说这个角是第几象限的角；如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于如何象限，或称这个角为轴线角.4.终边相同的角 所有与角α终边相同的角，连同角α在内所构成的集合:
S={β|β=α＋k·360°，k∈Z}知识拓展 思考1：终边在x轴正半轴、负半轴，y轴正半轴、负半轴上的角分别如何表示？ x轴正半轴：α= k·360°;x轴负半轴：α= 180°＋k·360°;y轴正半轴：α= 90°＋k·360°;y轴负半轴：α= 270°＋k·360°.
其中k∈Z .思考2：终边在x轴、y轴上的角的集合分别如何表示？ 终边在x轴上：
S={α|α=k·180°，k∈Z}.终边在y轴上：
S={α|α=90°＋k·180°,k∈Z}. 思考3：第一、二、三、四象限的角的集合分别如何表示？ 第一象限：
S={α|k·3600<α<900＋k·3600,k∈Z}；第二象限：
S={α|900＋k·3600<α<1800+k·3600,k∈Z}；第三象限：
S={α|1800＋k·3600<α<2700+k·3600,k∈Z}；第四象限：
S={α|－900＋k·3600<αP9 习题1.1 A组：1，3.课件15张PPT。1.1.2 弧度制 1.1 任意角和弧度制 问题提出 1.角是由平面内一条射线绕其端点从一个位置旋转到另一个位置所组成的图形，其中正角、负角、零角分别是怎样规定的？ 2.在直角坐标系内讨论角，象限角是什么概念？ 4.长度可以用米、厘米、英尺、码等不同的单位度量，物体的重量可以用千克、磅等不同的单位度量.不同的单位制能给解决问题带来方便，以度为单位度量角的大小是一种常用方法，为了进一步研究的需要，我们还需建立一个度量角的单位制. 3.与角α终边相同的角的一般表达式是什么？ S={β|β=α＋k·360°，k∈Z}弧度制探究1：弧度的概念思考1：在平面几何中，1°的角是怎样定义的？ 将圆周分成360等份，每一段圆弧所对的圆心角就是1°的角. 思考2：在半径为r的圆中，圆心角n°所对的圆弧长如何计算？ 思考3：如图，把长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，记作1rad，读作1弧度. 那么，1弧度圆心角的大小与所在圆的半径的大小是否有关？为什么？思考4：约定：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数
为0.如果将半径为r圆的一条
半径OA，绕圆心顺时针旋转到
OB，若弧AB长为2r，那么∠AOB
的大小为多少弧度？－2rad.B2r思考5：如果半径为r的圆的圆心角α所对的弧长为l，那么，角α的弧度数的绝对值如何计算？ 思考6：半径为r的圆的圆心与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，交圆于点A，终边与圆交于点B，下表中∠AOB的弧度数分别是多少？ -1-2探究（二）：度与弧度的换算 思考1：一个圆周角以度为单位度量是多少度？以弧度为单位度量是多少弧度？由此可得度与弧度有怎样的换算关系？ 思考2：根据上述关系，1°等于多少弧度？1rad等于多少度？ 180°＝ rad. 思考3：根据度与弧度的换算关系，下表中各特殊角对应的弧度数分别是多少？ 今后用弧度制表示角时，“弧度”二字或“rad”通常略去不写，而只写该角所对应的弧度数.如α=2表示α是2rad的角.思考4：在弧度制下，角的集合与实数集R之间可以建立一个一一对应关系，这个对应关系是如何理解的？ 0思考5：已知一个扇形所在圆的半径为R，弧长为l，圆心角为α（ ）那么扇形的面积如何计算？ 思考6：在弧度制下，与角α终边相同的角如何表示？ 终边在坐标轴上的角如何表示？ 终边x轴上：
终边y轴上： 知识迁移 例1 按照下列要求，把67°30′化成弧度：
（1）精确值； （2）精确到0.001的近似值. 例2 (1) 已知扇形的圆心角为72°，半径等于20cm，求扇形的弧长和面积；
（2）已知扇形的周长为10cm，面积为4cm2，求扇形的圆心角的弧度数. 小结作业1.用度为单位来度量角的单位制叫做角度制，用弧度为单位来度量角的单位制叫做弧度制. 2.度与弧度的换算关系，由180°＝
rad进行转化，以后我们一般用弧度为单位度量角. 3.利用弧度制，使得弧长公式和扇形的面积公式得以简化，这体现了弧度制优点. 作业：
P10 习题1.1 A组：
6，7，8，9，10.
课件23张PPT。1.2 任意角的三角函数
1.2.1 任意角的三角函数第一课时问题提出1.角的概念是由几个要素构成的，具体怎样理解？ （1）角是由平面内一条射线绕其端点从一个位置旋转到另一个位置所组成的图形.（2）按逆时针方向旋转形成的角为正角，按顺时针方向旋转形成的角为负角，没有作任何旋转形成的角为零角.（3）角的大小是任意的.2.什么叫做1弧度的角？度与弧度是怎样换算的？（1）等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角. 3. 与角α终边相同的角的一般表达式是什么？β=α＋k·360°（k∈Z）或 （2）180°＝ rad.4.如图，在直角三角形ABC中，sinα，cosα，tanα分别叫做角α的正弦、余弦和正切，它们的值分别等于什么？5.当角α不是锐角时，我们必须对sinα，cosα，tanα的值进行推广，以适应任意角的需要. 任意角的三角
函数的概念知识探究（一）：任意角的三角函数 思考1：为了研究方便，我们把锐角α放到直角坐标系中，并使角α的顶点与原点O重合,始边与x轴的非负半轴重合.在角α的终边上取一点P（a，b）,设点P与原点的距离为r，那么，sinα，cosα，tanα的值分别如何表示？思考2：对于确定的角α，上述三个比值是否随点P在角α的终边上的位置的改变而改变呢？为什么？ 思考3：为了使sinα，cosα的表示式更简单，你认为点P的位置选在何处最好？此时，sinα，cosα分别等于什么？思考4：在直角坐标系中，以原点O为圆心，以单位长度为半径的圆称为单位圆.对于角α的终边上一点P，要使|OP|=1，点P的位置如何确定？ 思考5：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P（x，y），为了不与当α为锐角时的三角函数值发生矛盾，
你认为sinα，cosα，tanα对应的值应分别如何定义？ 思考6：对于一个任意给定的角α，按照上述定义，对应的sinα，cosα，tanα的值是否存在？是否惟一？正、余弦函数的定义域为R，
正切函数的定义域是 思考8：若点P（x，y）为角α终边上任意一点，那么sinα，cosα，tanα对应的函数值分别等于什么？知识探究（二）：三角函数符号与公式 思考2：设α是一个任意的象限角，那么当α在第一、二、三、四象限时，sinα的取值符号分别如何？cosα，tanα的取值符号分别如何？思考4：如果角α与β的终边相同，那么sinα与sinβ有什么关系？cosα与cosβ有什么关系？tanα与tanβ有什么关系？思考5：上述结论表明，终边相同的角的同名三角函数值相等，如何将这个性质用一组数学公式表达？公式一： （ )思考6：若sinα=sinβ，则角α与β的终边一定相同吗？ 思考7：在求任意角的三角函数值时，上述公式有何功能作用？可将求任意角的三角函数值，转化为求0～ （或0°～360°)范围内的三角函数值. 思考8：函数的对应形式有一对一和多对一两种，三角函数是哪一种对应形式？ 理论迁移例1 求 的正弦、余弦和正切值.例2 已知角的终边过点P（－3，－4），求角的正弦、余弦和正切值. 例3 求证：当且仅当不等式组
成立时，角θ为第三象限角. 小结作业1.三角函数都是以角为自变量，在弧度制中，三角函数的自变量与函数值都是在实数范围内取值.2.三角函数的定义是三角函数的理论基础，三角函数的定义域、函数值符号、公式一等，都是在此基础上推导出来的. 4.一个任意角的三角函数只与这个角的终边位置有关，与点P（x，y）在终边上的位置无关.公式一揭示了三角函数值呈周期性变化，即角的终边绕原点每旋转一周，函数值重复出现.3.若已知角α的一个三角函数符号，则角α所在的象限有两种可能；若已知角α的两个三角函数符号，则角α所在的象限就惟一确定.作业：
P15 练习：1，2，5，7.3，4，6 做在书上课件23张PPT。1.2 任意角的三角函数
1.2.1 任意角的三角函数第二课时问题提出1.设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P（x，y），角α的三角函数是怎样定义的？2.三角函数在各象限的函数值符号分别如何？ 一全正，二正弦，三正切，四余弦.3.公式 ， ， ( ).其数学意义如何？ 4.角是一个几何概念，同时角的大小也具有数量特征.我们从数的观点定义了三角函数，如果能从图形上找出三角函数的几何意义，就能实现数与形的完美统一. 终边相同的角的同名三角函数值相等.单位圆中的
三角函数线知识探究（一）：正弦线和余弦线 思考2：若角α为第三象限角，其终边与单位圆的交点为P（x，y），则
， 都是负数，此时角α的正弦值和余弦值分别用哪条线段表示？思考3：为了简化上述表示，我们设想将线段的两个端点规定一个为始点，另一个为终点，使得线段具有方向性，带有正负值符号.根据实际需要，应如何规定线段的正方向和负方向？规定：线段从始点到终点与坐标轴同向时为正方向，反向时为负方向. 思考4：规定了始点和终点，带有方向的线段，叫做有向线段.由上分析可知，当角α为第一、三象限角时，sinα、cosα可分别用有向线段MP、OM表示，即MP= sinα，OM=cosα，那么当角α为第二、四象限角时，你能检验这个表示正确吗？ 思考5：设角α的终边与单位圆的交点为P，过点P作x轴的垂线，垂足为M，称有向线段MP，OM分别为角α的正弦线和余弦线.当角α的终边在坐标轴上时，角α的正弦线和余弦线的含义如何？思考6：设α为锐角，你能根据正弦线和余弦线说明sinα＋cosα>1吗？MP＋OM>OP=1知识探究（二）：正切线 思考5：根据上述分析，你能描述正切线的几何特征吗？过点A（1，0）作单位圆的切线，与角α的终边或其反向延长线相交于点T，则AT=tanα.思考6：当角α的终边在坐标轴上时，角α的正切线的含义如何？当角α的终边在x轴上时，角α的正切线是一个点；当角α的终边在y轴上时，角α的正切线不存在.思考7：观察下列不等式：
你有什么一般猜想？ 思考8：对于不等式
（其中α为锐角），你能用数形结合思想证明吗？理论迁移 例1 作出下列各角的正弦线、余弦线、正切线： （1） ； （2） ；
（3） ； （4） . 例2 在0～ 内，求使 成立的α的取值范围.例3 求函数 的定义域.小结作业1.三角函数线是三角函数的一种几何表示，即用有向线段表示三角函数值，是今后进一步研究三角函数图象的有效工具.2.正弦线的始点随角的终边位置的变化而变化，余弦线和正切线的始点都是定点，分别是原点O和点A（1，0）.3.利用三角函数线处理三角不等式问题，是一种重要的方法和技巧，也是一种数形结合的数学思想.作业：
P17 练习：1，2.
P21习题1.2A组：5，7.课件15张PPT。1.2.2 同角三角函数的基本关系1.2 任意角的三角函数 问题提出1.任意角的正弦、余弦、正切函数分别是如何定义的？2.在单位圆中，任意角的正弦、余弦、正切函数线分别是什么？ MP=sinα，
OM=cosα，
AT=tanα.3.对于一个任意角α，sinα，cosα，tanα是三个不同的三角函数，从联系的观点来看，三者之间应存在一定的内在联系，我们希望找出这种同角三角函数之间的基本关系，实现正弦、余弦、正切函数的互相转化，为进一步解决三角恒等变形问题提供理论依据． 同角三角函数
的基本关系知识探究（一）：基本关系 思考2：上述关系反映了角α的正弦和余弦之间的内在联系，根据等式的特点，将它称为平方关系.那么当角α的终边在坐标轴上时，上述关系成立吗？思考3：设角α的终边与单位圆交于点 P（x，y），根据三角函数定义，有
， ， ， 由此可得sinα，cosα，tanα满足什么关系？思考4：上述关系称为商数关系，那么商数关系成立的条件是多么？同一个角的正弦、余弦的平方和等于1，商等于这个角的正切.思考5：平方关系和商数关系是反映同一个角的三角函数之间的两个基本关系，它们都是恒等式，如何用文字语言描述这两个关系？ 知识探究（二）：基本变形 思考1：对于平方关系 可作哪些变形？ 思考2：对于商数关系 可作哪些变形？思考3：结合平方关系和商数关系，可得到哪些新的恒等式？思考4：若已知sinα的值，如何求cosα和tanα的值？ 思考5：若已知tanα的值，如何求sinα和cosα的值？ 理论迁移例1 求证：例2 已知 ,求 ， 的值.若α是第三象限角，则 ， .若α是第四象限角，则 ， . 例4 已知 ，
求 的值. 小结作业1.同角三角函数的两个基本关系是对同一个角而言的，由此可以派生出许多变形公式，应用中具有灵活、多变的特点.2.利用平方关系求值时往往要进行开方运算，因此要根据角所在的象限确定三角函数值符号，必要时应就角所在象限进行分类讨论．3.化简、求值、证明，是三角变换的三个基本问题，具有一定的技巧性，需要加强训练，不断总结、提高.作业：
P20 练习：1，2，4，5.
P21习题1.2A组：11，12.课件22张PPT。1.3 三角函数的诱导公式第一课时问题提出1.任意角α的正弦、余弦、正切是怎样定义的？2. 2kπ＋α（k∈Z）与α的三角函数之间的关系是什么？3.你能求sin750°和sin930°的值吗？4.利用公式一，可将任意角的三角函数值，转化为00～3600范围内的三角函数值.其中锐角的三角函数可以查表计算，而对于900～3600范围内的三角函数值，如何转化为锐角的三角函数值，是我们需要研究和解决的问题.同名三角函数
的诱导公式知识探究（一）：π＋α的诱导公式 思考1：210°角与30°角有何内在联系？思考2：若α为锐角，则
（180°，270°）范围内的角可以怎样表示？210°=180°+30°180°+α思考3：对于任意给定的一个角α，角π＋α的终边与角α的终边有什么关系？思考4：设角α的终边与单位圆交于点P（x，y），则角π＋α的终边与单位圆的交点坐标如何？Q(-x，-y)思考5：根据三角函数定义，
sin（π＋α） 、cos（π＋α）、
tan（π＋α）的值分别是什么？sin(π＋α)=-ycos(π＋α)=-xtan(π＋α)=思考6：对比sinα，cosα，tanα的值，π＋α的三角函数与α的三角函数有什么关系？思考7：该公式有什么特点，如何记忆？ 公式二： 知识探究（二）：-α，π-α的诱导公式： 思考2：设角α的终边与单位圆交于点 P（x，y），则－α的终边与单位圆的交点坐标如何？P(x,-y) 公式三： 思考3：根据三角函数定义，－α的三角函数与α的三角函数有什么关系？思考4：利用π－α＝π＋(－α)，结合公式二、三，你能得到什么结论？ 公式四： 思考5：如何根据三角函数定义推导公式四？P(x,y)P(-x,y)思考6：公式三、四有什么特点，如何记忆？ 2kπ＋α（k∈Z），π＋α，－α，π－α的三角函数值，等于α的同名函数值，再放上原函数的象限符号. 思考7：公式一～四都叫做诱导公式，他们分别反映了2kπ＋α（k∈Z），π＋α，－α，π－α的三角函数与α的三角函数之间的关系，你能概括一下这四组公式的共同特点和规律吗？ 理论迁移例1 求下列各三角函数的值： 例3 化简：
（1） ；
（2） .2.以诱导公式一～四为基础，还可以产生一些派生公式，
如sin（2π－α）=－sinα，
sin（3π－α）=sinα等.小结作业1.诱导公式都是恒等式，即在等式有意义时恒成立.3.利用诱导公式一～四，可以求任意角的三角函数，其基本思路是：这是一种化归与转化的数学思想.
作业：
P27练习：1，2，3，4.课件17张PPT。1.3 三角函数的诱导公式第二课时问题提出1.诱导公式一、二、三、四分别反映了2kπ+α（k∈Z）、π＋α、－α、 π－α与α的三角函数之间的关系，这四组公式的共同特点是什么？函数同名，象限定号. 异名三角函数
的诱导公式思考1：sin（90°－60°）与sin60°
的值相等吗？相反吗？思考2：sin（90°－60°)与cos60°，
cos（90°－60°）与sin60°的值分别
有什么关系？据此，你有什么猜想？知识探究（一）： 的诱导公式 思考3：如果α为锐角，你有什么办法证明 ， ？思考5：点P1（x，y）关于直线y=x对称的点P2的坐标如何？思考4：若α为一个任意给定的角，那么
的终边与角α的终边有什么对称关系？思考6：设角α的终边与单位圆的交点为P1（x，y），则 的终边与单位圆的交点为P2（y，x），根据三角函数的定义，你能获得哪些结论？α的终边 公式五： 思考1：sin（90°＋60°）与cos60°，cos（90°＋60°）与sin60°的值分别有什么关系？据此，你有什么猜想？知识探究（二）： 的诱导公式 思考3：根据相关诱导公式推导，
， 分别等于什么？ 公式六： 思考2： 与 有什么内在联系？思考4： 与 有什么关系？思考5：根据相关诱导公式推导，
分别等于什么？思考6：正弦函数与余弦函数互称为余函数，你能概括一下公式五、六的共同特点和规律吗？思考7：诱导公式可统一为
的三角函数与α的三角函数之间的关系，你有什么办法记住这些公式？奇变偶不变，符号看象限.理论迁移例1 化简： 例2 已知 ，求 的值 例3 已知 ，求
的值.2.诱导公式是三角变换的基本公式，其中角α可以是一个单角，也可以是一个复角，应用时要注意整体把握、灵活变通.小结作业1.诱导公式反映了各种不同形式的角的三角函数之间的相互关系，并具有一定的规律性，“奇变偶不变，符号看象限”，是记住这些公式的有效方法.作业: P29习题1.3 A组：3.
B组：1，2.课件21张PPT。1.4 三角函数的图象与性质1.4.1正弦函数、余弦函数的图象 2.任意给定一个实数x，对应的正弦值（sinx）、余弦值(cosx)是否存在？惟一？问题提出1.在单位圆中，角α的正弦线、余弦线分别是什么？sinα=MPcosα=OM4.一个函数总具有许多基本性质，要直观、全面了解正、余弦函数的基本特性，我们应从哪个方面人手？3.设实数x对应的角的正弦值为y，则对应关系y=sinx就是一个函数，称为正弦函数；同样y= cosx也是一个函数，称为余弦函数，这两个函数的定义域是什么？正、余弦函数的图象知识探究（一）：正弦函数的图象 思考1：作函数图象最原始的方法是什么？思考2：用描点法作正弦函数y=sinx在[0，2π]内的图象，可取哪些点？思考3：如何在直角坐标系中比较精确地描出这些点，并画出y=sinx在[0，2π]内的图象？xy1-1O2ππ思考4：观察函数y=sinx在[0，2π]内的图象，其形状、位置、凸向等有何变化规律？思考5：在函数y=sinx，x∈[0，2π]的图象上，起关键作用的点有哪几个？思考6：当x∈[2π，4π], [-2π，0],…时，y=sinx的图象如何？思考7：函数y=sinx，x∈R的图象叫做正弦曲线，正弦曲线的分布有什么特点？思考8：你能画出函数y=|sinx|，
x∈[0，2π]的图象吗？知识探究（二）：余弦函数的图象 思考1：观察函数y=x2与y=(x＋1)2 的图象，你能发现这两个函数的图象有什么内在联系吗？思考2：一般地，函数y=f(x＋a)(a>0)的图象是由函数y=f(x)的图象经过怎样的变换而得到的？ 向左平移a个单位. 思考3：设想由正弦函数的图象作出余弦函数的图象，那么先要将余弦函数y=cosx转化为正弦函数，你可以根据哪个公式完成这个转化？思考4：由诱导公式可知，y=cosx与
是同一个函数，如何作函数 在[0，2π]内的图象？思考5：函数y=cosx，x∈[0，2π]的图象如何？其中起关键作用的点有哪几个？思考6：函数y=cosx，x∈R的图象叫做余弦曲线，怎样画出余弦曲线，余弦曲线的分布有什么特点？理论迁移 例1 用“五点法”画出下列函数的简图：
(1)y=1+sinx，x∈[0，2π]；
(2)y=-cosx，x∈[0，2π] .y=1+sinxy=-cosx 例2 当x∈[0，2π]时，求不等式
的解集.小结作业1.正、余弦函数的图象每相隔2π个单位重复出现，因此，只要记住它们在[0，2π]内的图象形态，就可以画出正弦曲线和余弦曲线.2.作与正、余弦函数有关的函数图象，是解题的基本要求，用“五点法”作图是常用的方法.3.正、余弦函数的图象不仅是进一步研究函数性质的基础，也是解决有关三角函数问题的工具，这是一种数形结合的数学思想.作业：P34练习：2
P46习题1.4 A组: 1课件14张PPT。第一课时 1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质 问题提出1.正弦函数和余弦函数的图象分别是什么？二者有何相互联系？2.世界上有许多事物都呈现“周而复始”的变化规律，如年有四季更替，月有阴晴圆缺.这种现象在数学上称为周期性，在函数领域里，周期性是函数的一个重要性质.函数的周期性知识探究（一）：周期函数的概念 思考1：由正弦函数的图象可知, 正弦曲线每相隔2π个单位重复出现， 这一规律的理论依据是什么？.思考2：设f(x)=sinx，则
可以怎样表示？其数学意义如何？ 思考3：为了突出函数的这个特性，我们把函数f(x)=sinx称为周期函数，2kπ为这个函数的周期.一般地，如何定义周期函数？ 对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f(x+T)=f(x), 那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T就叫做这个函数的周期.思考4：周期函数的周期是否惟一？正弦函数的周期有哪些？思考5：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数, 则这个最小正数叫做f(x)的最小正周期.那么, 正弦函数的最小正周期是多少？为什么？ 正、余弦函数是周期函数，2kπ（k∈Z, k≠0）都是它的周期，最小正周期是2π．思考6：就周期性而言，对正弦函数有什么结论？对余弦函数呢？知识探究（二）：周期概念的拓展 思考1：函数f(x)=sinx（x≥0）是否为周期函数？函数f(x)=sinx（x≤0）是否为周期函数？思考2：函数f(x)=sinx（x>0）是否为周期函数？函数f(x)=sinx（x≠3kπ）是否为周期函数？思考3：函数f(x)=sinx，x∈[0，10π]是否为周期函数？周期函数的定义域有什么特点？ 思考4：函数y=3sin(2x＋4)的最小正周期是多少？ 思考6：如果函数y=f(x)的周期是T，那么函数y=f(ωx＋φ)的周期是多少？理论迁移 例2 已知定义在R上的函数f(x)满足
f(x＋2)＋f(x)=0，试判断f(x)是否为周期函数？ 例3 已知定义在R上的函数f(x)满足
f(x＋1)=f(x－1)，且当x∈[0，2]时，f(x)=x－4，求f(10)的值.小结作业 1.函数的周期性是函数的一个基本性质，判断一个函数是否为周期函数，一般以定义为依据，即存在非零常数T，使f(x＋T)=f(x)恒成立.2.周期函数的周期与函数的定义域有关，周期函数不一定存在最小正周期.3.周期函数的周期有许多个，若T为周期函数f(x)的周期，则T的整数倍也是f(x)的周期.4.函数 和
的最小正周期都是 ，这是正、余弦函数的周期公式，解题时可以直接应用.作业：P36练习：1，2，3.课件17张PPT。1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质 第二课时问题提出1.周期函数是怎样定义的？ 对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f(x +T)=f(x), 那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T就叫做这个函数的周期.2.正、余弦函数的最小正周期是多少？函数 和
的最小正周期是多少？3.周期性是正、余弦函数所具有的一个基本性质，此外，正、余弦函数还具有哪些性质呢？我们将对此作进一步探究.函数的奇偶性、
单调性与最值探究（一）：正、余弦函数的奇偶性和单调性思考1：观察下列正弦曲线和余弦曲线的对称性，你有什么发现？思考2：上述对称性反映出正、余弦函数分别具有什么性质？如何从理论上加以验证？正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函数.思考3：观察正弦曲线，正弦函数在哪些区间上是增函数？在哪些区间上是减函数？如何将这些单调区间进行整合？正弦函数在每一个闭区间
上都是增函数；在每一个闭区间
上都是减函数.思考4：类似地，余弦函数在哪些区间上是增函数？在哪些区间上是减函数？余弦函数在每一个闭区间
上都是增函数；在每一个闭区间
上都是减函数.思考5：正弦函数在每一个开区间（2kπ， ＋2kπ） (k∈Z)上都是增函数，能否认为正弦函数在第一象限是增函数？探究（二）：正、余弦函数的最值与对称性 思考1：观察正弦曲线和余弦曲线，正、余弦函数是否存在最大值和最小值？若存在，其最大值和最小值分别为多少？思考2：当自变量x分别取何值时，正弦函数y=sinx取得最大值1和最小值－1？正弦函数当且仅当 时取最大值1, 当且仅当 时取最小值-1 思考3：当自变量x分别取何值时，余弦函数y=cosx取得最大值1和最小值－1？余弦函数当且仅当 时取最大值1, 当且仅当 时取最小值-1. 思考4：根据上述结论，正、余弦函数的值域是什么？函数y=Asinωx（Aω≠0）的值域是什么？思考5：正弦曲线除了关于原点对称外，是否还关于其它的点和直线对称？ 正弦曲线关于点（kπ，0）和直线
对称.[-|A|，|A|]思考6：余弦曲线除了关于y轴对称外，是否还关于其它的点和直线对称？余弦曲线关于点 和直线x=kπ对称.理论迁移 例3 求函数 ，
x∈[－2π，2π]的单调递增区间. 例2 比较下列各组数的大小:小结作业 1. 正、余弦函数的基本性质主要指周期性、奇偶性、单调性、对称性和最值，它们都是结合图象得出来的，要求熟练掌握.2.正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函数.一般地，y=Asinωx是奇函数，y=Acosωx（Aω≠0）是偶函数.作业：P40-41练习：1，2，3，5，6.3.正、余弦函数有无数个单调区间和无数个最值点，简单复合函数的性质应转化为基本函数处理. 课件14张PPT。1.4.3 正切函数的图象与性质 问题提出1.正、余弦函数的图象是通过什么方法作出的？ 2.正、余弦函数的基本性质包括哪些内容？这些性质是怎样得到的？3.三角函数包括正、余弦函数和正切函数，我们已经研究了正、余弦函数的图象和性质， 因此, 进一步研究正切函数的性质与图象就成为学习的必然. 正切函数的
图象和性质知识探究（一）：正切函数的性质思考1：正切函数的定义域是什么？用区间如何表示？思考2：根据相关诱导公式，你能判断正切函数是周期函数吗？其最小正周期为多少？正切函数是周期函数，周期是π.思考3：函数 的周期为多少？一般地，函数
的周期是什么？思考4：根据相关诱导公式，你能判断正切函数具有奇偶性吗？正切函数是奇函数思考5：观察下图中的正切线，当角x
在 内增加时，正切函数值发生什么变化？由此反映出一个什么性质？思考6：结合正切函数的周期性，正切函数的单调性如何？正切函数在开区间
都是增函数 思考7：正切函数在整个定义域内是增函数吗？正切函数会不会在某一区间内是减函数？思考8：当x大于 且无限接近 时，正切值如何变化？当x小于 且无限接近
时, 正切值又如何变化？由此分析，正切函数的值域是什么?正切函数的值域是R.知识探究（一）：正切函数的图象思考1：类比正弦函数图象的作法，可以利用正切线作正切函数在区间
的图象，具体应如何操作？思考2：上图中,直线 和 与正切函数的图象的位置关系如何？图象的凸向有什么特点？思考3：结合正切函数的周期性, 如何画出正切函数在整个定义域内的图象？ 思考4：正切函数在整个定义域内的图象叫做正切曲线.因为正切函数是奇函数，所以正切曲线关于原点对称，此外，正切曲线是否还关于其它的点和直线对称？正切曲线关于点 对称. 思考5：根据正切曲线如何理解正切函数的基本性质？一条平行于x轴的直线与相邻两支曲线的交点的距离为多少？理论迁移 例1 求函数 的定义域、周期和单调区间. 例2 试比较tan8 和tan( )的大小. 例3 若 ，求x 的取值范围.小结作业 1.正切函数的图象是被互相平行的直线所隔开的无数支相同形状的曲线组成,且关于点 对称, 正切函数的性质应结合图象去理解和记忆.2.正切曲线与x轴的交点及渐近线,是确定图象形状、位置的关键要素,作图时一般先找出这些点和线,再画正切曲线. 3.研究正切函数问题时,一般先考察
的情形, 再拓展到整个定义域.作业:P45练习:2，3，4，6.课件22张PPT。第一课时1.5 函数 的图象问题提出1.正弦函数y=sinx的定义域、值域分别是什么？它有哪些基本性质？2.正弦曲线有哪些基本特征？ 4. 、 、A是影响函数图象形态的重要参数，对此，我们分别进行探究.平移变换和周期变换 探究一：对 的图象的影响 思考1： 函数周期是多少？你有什么办法画出该函数在一个周期内的图象？ 思考2：比较函数 与 的图象的形状和位置，你有什么发现？ 函数 的图象，可以看作是把曲线 上所有的点向左平移个单位长度而得到的.思考3：用“五点法”作出函数
在一个周期内的图象，比较它与函数 的图象的形状和位置，你又有什么发现？ 思考4：一般地，对任意的 （ ≠0），函数 的图象是由函数 的图象经过怎样的变换而得到的？ 的图象，可以看作是把正弦曲线 上所有的点向左（当
＞0时）或向右（当 ＜0时）平行移动| |个单位长度而得到.思考5：上述变换称为平移变换，据此
理论，函数 的图象可以看
作是由 的图象经过怎样变换而得到？ 函数 的图象，可以看作是把曲线 上所有的点向右平移 个单位长度而得到的.探究二：（ ＞0）对 的图象的影响 思考1：函数 周期是多少？如何用“五点法”画出该函数在一个周期内的图象？思考2：比较函数 与
的图象的形状和位置，你有什么发现？ 函数 的图象，可以看作是把 的图象上所有的点横坐标缩短到原来的 倍（纵坐标不变）而得到的. 思考3：用“五点法”作出函数 在一个周期内的图象，比较它与函数
的图象的形状和位置，你又有什么发现？ 函数 的图象，可以看作是把 的图象上所有的点横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）而得到的.思考4：一般地，对任意的 （ ＞0），函数 的图象是由函数
的图象经过怎样的变换而得到的？ 函数 的图象，可以看作是把函数 的图象上所有点的横坐标缩短（当 ＞1时）或伸长（当0＜ ＜1时）到原来的 倍（纵坐标不变）而得到的. 思考5：上述变换称为周期变换，据此理论，函数 的图象可以看作是把函数 的图象进行怎样变换而得到的？ 函数 的图象，可以看作是把 的图象上所有的点横坐标伸长到原来的1.5倍（纵坐标不变）而得到的.思考6：函数 的图象可以看作是把函数 的图象进行怎样变换而得到的？ 函数 的图象，可以看作是先把 的图象向右平移 ,再把图象上所有的点的横坐标伸长到原来的1.5倍（纵坐标不变）而得到的.理论迁移D 例2 画出函数 的简图，并说明它是由函数 的图象进行怎样变换而得到的？ 小结作业1.函数 的图象可以由函数 的图象经过平移变换而得到，其中平移方向和单位分别由φ的符号和绝对值所确定.2.对函数 的图象作周期变换，它只改变x的系数，不改变φ的值. 3.函数 的图象可以由函数 的图象通过平移、伸缩变换而得到，但有两种变换次序，不同的变换次序会影响平移单位. 4.余弦函数 的图象变换与正弦函数类似，可参照上述原理进行. 作业：
P55练习： 1 .
P57习题1.5 A组：1.（1)（2） （做书上）课件26张PPT。第二课时1.5 函数 的图象问题提出1.函数 图象是由函数 的图象经过怎样的变换而得到的？ 的图象，可以看作是把正弦曲线 上所有的点向左（当
＞0时）或向右（当 ＜0时）平行移动| |个单位长度而得到.2.函数 的图象是由函数
的图象经过怎样的变换而得到的？ 函数 的图象，可以看作是把函数 的图象上所有点的横坐标缩短（当 ＞1时）或伸长（当0＜ ＜1时）到原来的 倍（纵坐标不变）而得到的. 3.函数 的图象，不仅受 、 的影响，而且受A的影响，对此，我们再作进一步探究.振幅变换
与综合变换探究（一）：A（A>0）对 的图象的影响 思考1：函数 的周期是多少？如何用“五点法”画出该函数在一个周期内的图象？ 思考2：比较函数 与函数
的图象的形状和位置，你有什么发现？ 函数 的图象，可以看作是把 的图象上所有的点纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变）而得到的. 思考3：用五点法作出函数 在一个周期内的图象，比较它与函数
的图象的形状和位置，你又有什么发现？ 函数 的图象，可以看作是把 的图象上所有的点纵坐标缩短到原来的 倍（横坐标不变）而得到的.思考4：一般地，对任意的A（A＞0且A≠1），函数 的图象是由函数 的图象经过怎样的变换而得到的？ 函数 的图象，可以看作是把函数 的图象上所有点的纵坐标伸长（当A＞1时）或缩短（当0＜A＜1时）到原来的A倍（横坐标不变）而得到的. 思考5：上述变换称为振幅变换，据此理论，函数 的图象是由
函数 的图象经过怎样的变换而得到的？ 函数 的图象，可以看作是
把 的图象上所有的点纵坐标伸长到原来的1.5倍（横坐标不变）而得到的. 探究（二）： 与 的图象关系 思考2：你能设计一个变换过程完成上述变换吗？思考1：将函数 的图象经过几次变换，可以得到函数 的图象？ 思考3：一般地，函数 （A＞0， ＞0）的图象，可以由函数 的图象经过怎样的变换而得到？ 先把函数 的图象向左（右）平移| |个单位长度，得到函数 的图象；再把曲线上各点的横坐标变为原来的 倍，得到函数 的图象；然后把曲线上各点的纵坐标变为原来的A倍，就得到函数 的图象.思考4：将函数 的图象变换到函数 （其中A＞0， ＞0）的图象，共有多少种不同的变换次序？ 6种!思考5：若将函数 的图象先作振幅变换，再作周期变换，然后作平移变换得到函数 的图象，具体如何操作？ .exe思考6：物理中，简谐运动的图象就是函数 ， 的图象，其中A＞0， ＞0.描述简谐运动的物理量有振幅、周期、频率、相位和初相等，你知道这些物理量分别是指那些数据以及各自的含义吗？ 称为初相,即x=0时的相位.A是振幅，它是指物体离开平衡位置的最大距离； 是周期，它是指物体往复运动一次所需要的时间； 是频率，它是指物体在单位时间内往复运动的次数； 称为相位;理论迁移 例1 说明函数 的图象是由函数 的图象经过怎样的变换而得到的？ 例2 如图是某简谐运动的图象，试根据图象回答下列问题： ⑴ 这个简谐运动的振幅、周期与频率各是多少？ 振幅A=2周期T=0.8s频率f=1.25 ⑵ 从O点算起，到曲线上的哪一点，表示完成了一次往返运动？如从A点算起呢？O～DA～E ⑶ 写出这个简谐运动的表达式.小结作业1.函数 （A＞0，＞0）的图象，可以由函数 的图象通过三次变换而得到，共有6种不同的变换次序.在实际应用中，一般按“左右平移→横向伸缩→纵向伸缩”的次序进行. 2.用“变换法”作函数 的图象，其作图过程较复杂，不便于操作，在一般情况下，常用“五点法”作图.3.通过平移，将函数 的图象变换为 的图象，其平移单位是 .4.若已知函数 的图象及有关数字特征，则可以求出函数的解析式.作业：
P56 练习：3，4.
P58习题1.5A组：4，5.课件19张PPT。1.6 三角函数模型的简单应用 第一课时 问题提出 1.函数 中的参数 对图象有什么影响？三角函数的性质包括哪些基本内容？2.我们已经学习了三角函数的概念、图象与性质，其中周期性是三角函数的一个显著性质.在现实生活中，如果某种变化着的现象具有周期性，那么它就可以借助三角函数来描述，并利用三角函数的图象和性质解决相应的实际问题.三角函数图象
的简单应用探究一：根据图象建立三角函数关系思考1：这一天6～14
时的最大温差是多少？思考2：函数式中A、b的值分别是多少？30°-10°=20°A=10,b=20.思考3：如何确定函数式中 和 的值?思考4：这段曲线对应的函数是什么？思考5：这一天12时的温度大概是多少 （℃）？ 27.07℃. 探究二：根据相关数据进行三角函数拟合 思考1：观察表格中的数据，每天水深的变化具有什么规律性？呈周期性变化规律.思考2：设想水深y是时间x的函数，作出表中的数据对应的散点图，你认为可以用哪个类型的函数来拟合这些数据？思考3: 用一条光滑曲线连结这些点，得到一个函数图象，该图象对应的函数解析式可以是哪种形式？3思考4：用函数 来刻画水深和时间之间的对应关系，如何确定解析式中的参数值？思考6：一条货船的吃水深度（船底与水面的距离）为4米，安全条例规定至少要有1.5米的安全间隙（船底与洋底的距离），该船何时能进入港口？在港口能呆多久？ 货船可以在0时30分左右进港，早晨5时30分左右出港；或在中午12时30分左右进港，下午17时30分左右出港.每次可以在港口停留5小时左右.思考7：若某船的吃水深度为4米，安全间隙为1.5米，该船在2：00开始卸货，吃水深度以每小时0.3米的速度减少，那么该船在什么时间必须停止卸货，将船驶向较深的水域？货船最好在6.5时之前停止卸货，将船驶向较深的水域. 理论迁移 例 弹簧上挂的小球做上下振动时，小球离开平衡位置的距离s（cm）随时间t（s）的变化曲线是一个三角函数的图象，如图.
（1）求这条曲线对
应的函数解析式；
（2）小球在开始振
动时，离开平衡位
置的位移是多少？1.根据三角函数图象建立函数解析式，就是要抓住图象的数字特征确定相关的参数值，同时要注意函数的定义域. 2.对于现实世界中具有周期现象的实际问题，可以利用三角函数模型描述其变化规律.先根据相关数据作出散点图，再进行函数拟合，就可获得具体的函数模型，有了这个函数模型就可以解决相应的实际问题.小结作业 作业：
P65 练习:1，2，3.课件18张PPT。1.6 三角函数模型的简单应用 第二课时 问题提出 2.三角函数的应用十分广泛， 对于与角有关的实际问题，我们可以建立一个三角函数，通过研究其图象和性质或进行定量分析，就能解决相应问题.这是一种数学思想，需要结合具体问题的研究才能领会和掌握.三角函数性质
的简单应用探究一：建立三角函数模型求临界值 思考1：图中θ、δ、φ这三个角之间的关系是什么？ θ=90°－∣φ－δ∣.思考2：当太阳高度角为θ时，设高为h0的楼房在地面上的投影长为h，那么θ、h0、h三者满足什么关系？ h=h0 tanθ. 思考3：根据地理知识，北京地区一年中,正午太阳直射什么纬度位置时,物体的影子最短或影子最长？太阳直射北回归线时物体的影子最短，直射南回归线时物体的影子最长.思考4：如图，A、B、C分别为太阳直射北回归线、赤道、南回归线时楼顶在地面上的投影点.要
使新楼一层正午
的太阳全年不被
前面的楼房遮挡，
两楼的临界距离
应是图中哪两点
之间的距离？思考5：右图中∠C的度数是多少？MC的长度如何计算？思考6：综上分析，要使新楼一层正午的太阳全年不被前面的楼房遮挡，两楼的距离不应小于多少？探究二：建立三角函数模型解决最值问题 思考1：修建水渠的成本可以用哪个几何量来反映？思考2：设想将AD＋DC＋CB表示成某个变量的函数，那么自变量如何选取？思考3：取∠BCE=x为自变量，设y=AD＋DC＋CB，那么如何建立y与x的函数关系？思考5：注意到S、h为常数，要使y的值最小，只需研究哪个三角函数的最小值？思考6：对于函数
你有什么办法求出当x为何值时，k取最小值？ P(-sinx,cosx)A(0,2)思考7：如何对原问题作出相应回答？ 修建时使梯形的腰与底边的夹角为60°，才能使修建成本最低. 理论迁移 例1 某市的纬度是北纬21°34′，小王想在某住宅小区买房，该小区的楼高7层，每层3米，楼与楼之间相距15米，要使所买楼房在一年四季正午的太阳不被前面的楼房遮挡，最低应该选择第几层的房？三楼 例2 如图，甲船在点A处测得乙船在北偏东60°的B处，并以每小时10海里的速度向正北方向行使，若甲船沿北偏东θ角方向直线航行，并与乙船在C处相遇，求甲船的航速.小结作业 2.在解决实际问题时，要学会具体问题
具体分析，充分运用数形结合的思想，
灵活的运用三角函数的图象和性质进行
解答. 作业:
P65习题1.6A组：1，2，3.课件7张PPT。1.6 三角函数模型的简单应用 第三课时 (习题课) 例1 弹簧上挂的小球做上下振动时，小球离开平衡位置的距离s（cm）随时间t（s）的变化曲线是一个三角函数的图象，如图.
（1）求这条曲线对
应的函数解析式；
（2）小球在开始振
动时，离开平衡位
置的位移是多少？ 例2 如图，甲船在点A处测得乙船在北偏东60°的B处，并以每小时10海里的速度向正北方向行使，若甲船沿北偏东θ角方向直线航行，并与乙船在C处相遇，求甲船的航速. 例4 将函数y=sin2x的图象先向左平
移 个单位,再把图象上各点的横坐标
缩短到原来的 倍,纵坐标伸长到原来的
4倍,然后将所得图象向下平移2个单位得曲线C,求曲线C对应的函数解析式. 例5 在函数 的图象与直线 的交点中，距离最近
的两点之间的距离是 ，求函数f(x)的最小正周期.T=π 例6 已知函数 在区间 上的最小值是-2,求ω的取值范围.作业:
P71复习参考题B组：
2，3，4，7，8.课件16张PPT。2.1平面向量的实际背景及基本概念第二章 平面向量2.1.1 向量的物理背景与概念
2.1.2 向量的几何表示问题提出 1.在物理中，位移与距离是同一个概念吗？为什么？ 2.现实世界中有各种各样的量，如年龄、身高、体重、力、速度、面积、体积、温度等，在数学上，为了正确理解、区分这些量，我们引进向量的概念.向量的物理背景、
概念和几何表示探究（一）：向量的物理背景与概念 思考1：在物理中，怎样区分作用于同一点的两个力？力的大小和力的方向思考2：物体受到的重力、物体在液体中受到的浮力的方向分别如何？受力的大小分别与哪些因素有关？思考3：在如图所示的弹簧中，被拉长或压缩的弹簧的弹力方向如何？在弹性限度内，弹力的大小与什么因素有关？思考4：力既有大小，又有方向，在物理学中称为矢量，你还能指出哪些物理量是矢量吗？思考5：数学中，把既有大小，又有方向的量叫做向量，把只有大小，没有方向的量称为数量.那么年龄、身高、体重、面积、体积、温度、时间、路程、数轴等是向量吗？探究（二）：向量的几何表示 思考1：一条小船从A地出发，向西北方向航行15km到达B地，可以用什么方式表示小船的位移？思考2：对于一个实数，可以用数轴上的点表示；对于一个角的正弦、余弦和正切，可以用三角函数线表示；对于一个二次函数，可以用一条抛物线表示….数学中有许多量都可以用几何方式表示，你认为如何用几何方式表示向量最合适？ 思考4：用有向线段 表示向量，向量 的大小和方向是如何反映出来的？起点、长度、方向思考5：有向线段 的长度就是指线段AB的长度，也称为向量 的长度或模，它表示向量 的大小，记作| |，两个不同的向量可以比较大小吗？思考7：向量的模可以为0吗？可以为1吗？可以为负数吗？思考8：模为0的向量叫做零向量，记作 ；模为1个单位的向量叫做单位向量.怎样理解零向量的方向？怎样理解向
量 ？理论迁移 例1 已知飞机从A地按北偏东30°方向飞行2000km到达B地，再从B地按南偏东30°方向飞行2000km到达C地，再从C地按西南方向飞行1000 km到达D地.
（1）画图表示向量 ；
（2）求飞机从A地到达D地的位移所对应的向量的模和方向. 例2 如图，四边形ABCD为正方形，△BCE为等腰直角三角形.以图中各点为起点和终点，写出与向量 模相等的所有向量.小结作业 1.向量是为了表示、刻画既有大小，又有方向的量而产生的，物理中有许多相关背景材料，数学中的向量是物理中矢量的提升和拓展，它有一系列的理论和方法，是沟通代数、几何、三角的一种工具，有着广泛的实际应用. 2.由于有向线段具有长度和方向双重特征，所以向量可以用有向线段表示，但向量不是有向线段，二者只是一种对应关系. 3.零向量是一个特殊向量，其模为0，方向是不确定的.引入零向量将为以后的研究带来许多方便，但须注意：
.
作业：
P77练习：1，2，3.
P77习题2.1A组：1，2.课件19张PPT。2.1平面向量的实际背景及基本概念2.1.3 相等向量与共线向量 问题提出 1.向量与数量有什么联系和区别？ 向量有哪几种表示？联系：向量与数量都是有大小的量；
区别：向量有方向且不能比较大小，数 量无方向且能比较大小.
向量可以用有向线段表示，也可以用字母符号表示. 2.什么叫向量的模？零向量和单位向量分别是什么概念？ 向量的模：表示向量的有向线段的长度.
零向量：模为0的向量.
单位向量：模为1个单位长度的向量. 3.引进向量概念后，我们就要建立相关的理论体系，为了研究的需要，我们必须对向量中的某些现象作出合理的约定或解释，特别是两个向量的相互关系.对此，我们将作些研究.相等向量与共线向量探究（一）：相等向量与相反向量 思考1：向量由其模和方向所确定.对于两个向量a、b，就其模等与不等，方向同与不同而言，有哪几种可能情形？ 模相等，方向相同；
模相等，方向不相同；
模不相等，方向相同；
模不相等，方向不相同；思考2：两个向量不能比较大小，只有“相等”与“不相等”的区别，你认为如何规定两个向量相等？长度相等且方向相同的向量叫做相等向量.
向量a与b相等记作a=b. 思考3：用有向线段表示非零向量 和 ，如果 ，那么A、B、C、D四点的位置关系有哪几种可能情形？思考4：对于非零向量 和 ，如果 ，通过平移使起点A与C重合，那么终点B与D的位置关系如何？长度相等且方向相反的向量叫做相反向量.思考5：非零向量 与 称为相反向量，一般地，如何定义相反向量？思考6：如果非零向量 与 是相反向量，通过平移使起点A与C重合，那么终点B与D的位置关系如何？ 探究（二）：平行向量与共线向量 思考1：如果两个向量所在的直线互相平行，那么这两个向量的方向有什么关系？思考2：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，向量a与b平行记作a//b，那么平行向量所在的直线一定互相平行吗？方向相同或相反思考3：零向量0与向量a平行吗？规定：零向量与任一向量平行. 思考4：将向量平移，不会改变其长度和方向.如图，设a、b、c是一组平行向量，任作一条与向量a所在直线平行的直线l，在l上任取一点O，分别作 =a， =b， =c，那么点A、B、C的位置关系如何？思考5：上述分析表明，任一组平行向量都可以移动到同一直线上，因此，平行向量也叫做共线向量.如果非零向量 与 是共线向量，那么点A、B、C、D是否一定共线？思考6：若向量a与b平行（或共线），则向量a与b相等或相反吗？反之，若向量 a与b相等或相反，则向量a与b平行（或共线）吗？思考7：对于向量a、b、c，若a // b， b // c，那么a // c吗？
思考8：对于向量a、b、c，若a =b， b =c，那么a = c吗？ 例1 判断下列命题是否正确：
（1）若两个单位向量共线，则这两个向量相等； （ ）
（2）不相等的两个向量一定不共线； （ ）
（3）在四边形ABCD中，若向量与共线，则该四边形是梯形； （ ）
（4）对于不同三点O、A、B，向量与一定不共线. （ ）理论迁移×××× 例2 如图，设O为正六边形ABCDEF的中心，分别写出与 、 相等的向量. 例3 如图，在△ABC中，D、E、F分别是AB、BC、CA边上的点，已知 求证： . 小结作业1.相等向量与相反向量是并列概念，平行向量与共线向量是同一概念，相等向量（相反向量）与平行向量是包含概念.2.任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段表示，并且与有向线段的起点无关.3.向量的平行、共线与平面几何中线段的平行、共线是不同的概念，平行向量（共线向量）对应的有向线段既可以平行也可以共线.4.平行向量不具有传递性，但非零平行向量和相等向量都具有传递性.作业：
P77～78习题2.1A组：3，4.
B组：1，2.课件19张PPT。2.2 平面向量的线性运算2.2.1 向量加法运算及其几何意义问题提出1.向量、平行向量、相等向量的含义分别是什么？2.用有向线段表示向量，向量的大小和方向是如何反映的？什么叫零向量和单位向量？3.两个实数可以相加，从而给数赋予了新的内涵.如果向量仅停留在概念的层面上，那是没有多大意义的.我们希望两个向量也能相加，拓展向量的数学意义，提升向量的理论价值，这就需要建立相关的原理和法则.向量加法运算
及其几何意义探究一：向量加法的几何运算法则 思考1：如图，某人从点A到点B，再从点B按原方向到点C，则两次位移的和可用哪个向量表示？由此可得什么结论？思考2：如图，某人从点A到点B，再从点B按反方向到点C，则两次位移的和可用哪个向量表示？由此可得什么结论？思考3：如图，某人从点A到点B，再从点B改变方向到点C，则两次位移的和可用哪个向量表示？由此可得什么结论？思考4：上述分析表明，两个向量可以相加，并且两个向量的和还是一个向量.一般地，求两个向量和的运算，叫做向量的加法.上述求两个向量和的方法，称为向量加法的三角形法则.对于下列两个向量a与b，如何用三角形法则求其和向量？思考5：图1表示橡皮条在两个力F1和F2的作用下，沿MC方向伸长了EO；图2表示橡皮条在一个力F的作用下，沿相同方向伸长了相同长度.从力学的观点分析，力F与F1、F2之间的关系如何？F=F1+F2思考6：人在河中游泳，人的游速为 水流速度为 ，那么人在水中的实际速度 与 、 之间的关系如何？思考7：上述求两个向量和的方法，称为向量加法的平行四边形法则.对于下列两个向量a与b，如何用平行四边形法则求其和向量？思考8：用三角形法则和平行四边形法则求作两个向量的和向量，其作图特点分别如何？三角形法则：首尾相接连端点；
平行四边形法则：起点相同连对角.思考1：零向量0与任一向量a可以相加吗？ 探究二：向量加法的代数运算性质规定：a＋0=0＋a=a，思考2：若向量a与b为相反向量，则a＋b等于什么？反之成立吗？思考3：若向量a与b同向，则向量a＋b的方向如何？若向量a与b反向，则向量a＋b的方向如何？思考4：考察下列各图，|a＋b|与|a|＋|b|的大小关系如何？|a＋b|与|a|－|b|的大小关系如何？|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当a与b同向时取等号；|a＋b|≥||a|－|b||，当且仅当a与b反向时取等号.思考5：实数的加法运算满足交换律，即对任意a，b∈R，都有a＋b=b＋a.那么向量的加法也满足交换律吗？如何检验？a＋b b＋a 思考6：实数的加法运算满足结合律，即对任意a，b，c∈R，都有（a＋b）＋c=a＋（b＋c）.那么向量的加法也满足结合律吗？如何检验？（a＋b）＋c a＋（b＋c） 思考7： 等于什么向量？等于什么向量？理论迁移 例 长江两岸之间没有大桥的地方，常常通过轮渡进行运输.如图所示，一艘船从长江南岸A点出发，以5km/h的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时江水的速度为向东2km/h.
（1）使用向量表示江水速度、船速以及船的实际航行的速度；
（2）求船实际航行速度的大小与方向.小结作业1.向量概念源于物理，位移的合成是向量加法三角形法则的物理模型，力的合成是向量加法平行四边形法则的物理模型.2.任意多个向量可以相加，并可以按任意次序、组合进行.若平移这些向量使其首尾相接，则以第一个向量的起点为起点，最后一个向量的终点为终点的向量，即为这些向量的和.3.两个向量的和的模不大于这两个向量的模的和，这是一个不等式性质，解题中具有一定的功能作用 作业：
P84练习：3，4.（做书上）
P91习题2.2A组：1，2，3.课件17张PPT。2.2.1 向量减法运算及其几何意义问题提出1.用三角形法则与平行四边形法则求两个向量的和向量分别如何操作？2.向量的加法运算有哪些运算性质？a＋0=0＋a=aa+b =b+a (a+b )+c=a +(b+c)|a＋b|≤|a|＋|b||a＋b|≥||a|－|b||4.加与减是对立统一的两个方面，既然向量可以相加，那自然也可以相减.因此，两个向量如何进行减法运算，就成为研究的必然.3.相等向量与相反向量有什么联系和区别？向量减法运算
及其几何意义探究一：向量减法的含义思考1：两个相反向量的和向量是什么？向量a的相反向量可以怎样表示？思考2：－a的相反向量是什么？零向量的相反向量是什么？规定：零向量的相反向量仍是零向量.－（－a）=a－a思考3：在实数的运算中，减去一个数等于加上这个数的相反数.据此原理，向量a－b可以怎样理解？思考4：两个向量的差还是一个向量吗？思考5：向量a加上向量b的相反向量，叫做a与b的差向量，求两个向量的差的运算叫做向量的减法，对于向量a，b，c，若a+c＝b，则c等于什么？ 定义：a－b＝a＋（－b）.探究（二）：向量减法的几何意义探究二：向量减法的几何意义 思考1：如果向量a与b同向，如何作出向量a－b？思考2：如果向量a与b反向，如何作出向量a－b？思考3：设向量a与b不共线，作 =a，
=b，由 可得什么结论？ 思考4：设向量a与b不共线，作 =a，
=－b，以OA、OC为两邻边作平行四边形，则 =a－b. 如何理解思考5：求作两个向量的差向量也有三角形法则和平行四边形法则，其中三角形法则的作图特点是什么？起点相同连终点，被减向量定指向.思考6：向量a－b与b－a是什么关系？|a－b|与|a|＋|b|、|a|－|b|的大小关系如何？|a－b|≤|a|＋|b|，当且仅当a与b反向时取等号；
|a－b|≥||a|－|b||，当且仅当a与b同向时取等号.a－b与b－a是相反向量. 思考7：|a－b|与|a＋b|有什么大小关系吗？为什么？ 思考8：对于非零向量a与b，向量a＋b与a－b可能相等吗？理论迁移 例1 如图，已知向量a，b，c，求作向量a＋c－b .小结作业1.向量的减法运算与加法运算是对立统一的两种运算，在向量的几何运算的主体内容，二者相互协调和补充.
2.用三角形法则求两个向量的差向量，要注意起点相同的条件，差向量的方向要指向被减向量的终点.这个法则对共线向量也适应.3.如果a＋b=c，则a=c－b，这是向量运算的移项法则，它与实数运算的移项法则完全一致，体现了数学的和谐美.
作业：
P91习题2.2A组：4，6，7.
课件17张PPT。2.2.3 向量数乘运算及其几何意义问题提出1.如何求作两个非零向量的和向量、差向量？2.相同的几个数相加可以转化为数乘运算，如3＋3＋3＋3＋3=5×3=15.那么相等的几个向量相加是否也能转化为数乘运算呢？这需要从理论上进行探究. 探究一：向量的数乘运算及其几何意义思考1：已知非零向量a，如何求作向量a＋a＋a和（－a）＋（－a）＋ （－a）？a＋a＋a （－a）＋（－a）＋（－a）思考2：向量a＋a＋a和（－a）＋
（－a）＋（－a）分别如何简化其表示形式？ a＋a＋a记为3a，
（－a）＋（－a）＋（－a）记为－3a.思考3：向量3a和－3a与向量a的大小和方向有什么关系？思考4：设a为非零向量，那么 a和 a还是向量吗？它们分别与向量a有什么关系？思考5： 一般地，我们规定：实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘.记作λa，该向量的长度与方向与向量a有什么关系？（1）|λa|=|λ||a|；（2）λ>0时,λa与a方向相同；
λ<0时,λa与a方向相反；
λ=0时,λa =0.思考6：如图，设点M为△ABC的重心，D为BC的中点，那么向量 与 ，
与 分别有什么关系？探究二:向量的数乘运算性质 思考1：你认为－2×（5a），2a＋2b，
a可分别转化为什么运算？-2× (5a)= -10a ；
2a ＋ 2b = 2(a+b)；
(3＋ )a =3a＋ a.思考2：一般地，设λ，μ为实数，则λ(μa)，(λ＋μ) a，λ(a＋b)分别等于什么？λ(μa)=(λμ) a ；
(λ＋μ) a =λa ＋μa；
λ(a＋ b)=λa＋λb.思考3：对于向量a（a≠0）和b，若存在实数λ，使b=λa，则向量a与b的方向有什么关系？思考4：若向量a（a≠0）与b共线，则一定存在实数λ，使b=λa成立吗？思考5：综上可得向量共线定理：向量a（a≠0）与b共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使b=λa. 若a＝0，上述定理成立吗？思考6：若存在实数λ，使 ，则A、B、C三点的位置关系如何？思考8：向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算，对于任意向量a、b，以及任意实数λ、x、y，λ(xa±yb）可转化为什么运算？ λ(xa±yb）=λxa±λyb. 理论迁移 例1 计算
（1）（－3）×4a； （2）3（a＋b）－2（a－b）－a；
（3）（2a＋3b－c）－（3a－2b＋c）.例2 如图，已知任意两个非零向量a， b，试作 =a＋b， =a＋2b，
=a＋3b.你能判断A、B、C三点之间的位置关系吗？为什么？例3 如图，平行四边形ABCD的两条对角线相交于点M，且 =a， =b，试用a,b表示向量 、 、 、 小结作业1.实数与向量可以相乘，其积仍是向量，但实数与向量不能相加、相减.实数除以向量没有意义，向量除以非零实数就是数乘向量.2.若λa=0，则可能有λ=0，也可能有a=0.3.向量的数乘运算律，不是规定，而是可以证明的结论.向量共线定理是平面几何中证明三点共线，直线平行，线段数量关系的理论依据.作业：
P90练习：3，4，5，6.课件23张PPT。2.3 平面向量的基本定理及坐标表示2.3.1 平面向量基本定理
2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示问题提出 1. 向量加法与减法有哪几种几何运算法则？ 2.怎样理解向量的数乘运算λa？ （1）|λa|=|λ||a|；（2）λ>0时，λa与a方向相同；λ<0时，λa与a方向相反；λ=0时，λa=0.3.平面向量共线定理是什么？ 5.在物理中，力是一个向量，力的合成就是向量的加法运算.力也可以分解，任何一个大小不为零的力，都可以分解成两个不同方向的分力之和.将这种力的分解拓展到向量中来，就会形成一个新的数学理论.平面向量基本定理和
正交分解及坐标表示探究（一）：平面向量基本定理 思考1：给定平面内任意两个向量e1，e2，如何求作向量3e1＋2e2和e1－2e2？ 思考2：如图，设OA，OB，OC为三条共点射线，P为OC上一点，能否在OA、OB上分别找一点M、N，使四边形OMPN为平行四边形？思考3：在下列两图中，向量
不共线，能否在直线OA、OB上分别找一点M、N，使 ？思考4：在上图中，设 =e1， =e2， =a，则向量 分别与e1，e2的关系如何？从而向量a与e1，e2的关系如何？思考5：若上述向量e1，e2，a都为定向量，且e1，e2不共线，则实数λ1，λ2是否存在？是否唯一？思考6：若向量a与e1或e2共线，a还能用λ1e1＋λ2e2表示吗？a=λ1e1+0e2a=0e1+λ2e2思考7：根据上述分析，平面内任一向量a都可以由这个平面内两个不共线的向量e1，e2表示出来，从而可形成一个定理.你能完整地描述这个定理的内容吗？若e1、e2是同一平面内的两个不共线向量，则对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.思考8：上述定理称为平面向量基本定理，不共线向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底. 那么同一平面内可以作基底的向量有多少组？不同基底对应向量a的表示式是否相同？若e1、e2是同一平面内的两个不共线向量，则对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.探究(二):平面向量的正交分解及坐标表示 [0°，180°] 思考2：如果向量a与b的夹角是90°，则称向量a与b垂直，记作a⊥b. 互相垂直的两个向量能否作为平面内所有向量的一组基底？思考3：把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解.如图，向量i、j是两个互相垂直的单位向量，向量a与i的夹角是30°，且|a|=4，以向量i、j为基底，向量a如何表示？思考4：在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i、j作为基底，对于平面内的一个向量a，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x、y，使得 a＝xi＋yj.我们把有序数对（x，y）叫做向量a的坐标，记作a＝(x，y).其中x叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴
上的坐标，上式叫做向量
的坐标表示.那么x、y的
几何意义如何？思考5：相等向量的坐标必然相等，作向量 a，则 (x，y)，此时点A是坐标是什么？A(x,y)理论迁移 例1 如图，已知向量e1、e2，求作向量－2.5e1＋3e2.例2 如图，写出向量a，b，c，d的坐标.a=(2,3)b=(-2,3)c=(-2,-3)d=(2,-3) 例3 如图，在平行四边形ABCD中，
=a， =b，E、M分别是AD、DC的中点，点F在BC上，且BC=3BF，以a，b为基底分别表示向量 和 .小结作业 1.平面向量基本定理是建立在向量加法和数乘运算基础上的向量分解原理，同时又是向量坐标表示的理论依据，是一个承前起后的重要知识点.2.向量的夹角是反映两个向量相对位置关系的一个几何量，平行向量的夹角是0°或180°，垂直向量的夹角是90°. 3.向量的坐标表示是一种向量与坐标的对应关系，它使得向量具有代数意义.将向量的起点平移到坐标原点，则平移后向量的终点坐标就是向量的坐标.作业：
P102习题2.3B组：3，4.课件19张PPT。2.3.3 平面向量的坐标运算2.3.4 平面向量共线的坐标表示问题提出1.平面向量的基本定理是什么？ 若e1、e2是同一平面内的两个不共线向量，则对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.2.用坐标表示向量的基本原理是什么？设i、j是与x轴、y轴同向的两个单位向量，若a＝xi＋yj，则a＝(x，y).3.用坐标表示向量，使得向量具有代数特征，并且可以将向量的几何运算转化为坐标运算，为向量的运算拓展一条新的途径.我们需要研究的问题是，向量的和、差、数乘运算，如何转化为坐标运算，对于共线向量如何通过坐标来反映等.平面向量的坐标运算
及向量共线的坐标表示探究（一）：平面向量的坐标运算 思考1：设i、j是与x轴、y轴同向的两个单位向量，若a=(x1，y1),b=(x2，y2),则a＝x1i＋y1j，b＝x2i＋y2j，根据向量的线性运算性质，向量a＋b，a－b，λa（λ∈R）如何分别用基底i、j表示？a＋b＝(x1＋x2)i＋(y1＋y2)j，
a－b＝(x1－x2)i＋(y1－y2)j，
λa＝λx1i＋λy1j.思考2：根据向量的坐标表示，向量 a＋b，a－b，λa的坐标分别如何？a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2); a－b＝(x1－x2，y1－y2); λa＝(λx1，λy1).a＋b＝(x1＋x2)i＋(y1＋y2)j，
a－b＝(x1－x2)i＋(y1－y2)j，
λa＝λx1i＋λy1j.思考3：如何用数学语言描述上述向量的坐标运算？ 两个向量和（差）的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和（差）；
实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标.a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2); a－b＝(x1－x2，y1－y2); λa＝(λx1，λy1).思考4：如图,已知点A(x1,y1),B(x2,y2)，
那么向量 的坐标如何？一般地，一个
任意向量的坐标如何计算？ ＝(x2－x1，y2－y1). 任意一个向量的坐标等于表示该向量的有向线段的终点坐标减去始点坐标.思考5：在上图中，如何确定坐标为(x2－x1，y2－y1)的点P的位置？思考6：若向量a=(x，y)，则|a|如何计算？若点A(x1,y1)，B(x2，y2)，则 如何计算？ 探究（二）：平面向量共线的坐标表示 思考1：如果向量a，b共线（其中b≠0），那么a，b满足什么关系？思考2：设a=(x1，y1),b=(x2，y2)，若向量a，b共线（其中b≠0），则这两个向量的坐标应满足什么关系？反之成立吗？ a＝λb.向量a，b（b≠0）共线 思考4：已知点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，若点P分别是线段P1P2的中点、三等分点，如何用向量方法求点P的坐标？思考5：一般地，若点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，点P是直线P1P2上一点，且 ，那么点P的坐标有何计算公式？理论迁移 例1 已知a=(2,1), b=(－3,4),求 a＋b，a－b，3a＋4b的坐标. a＋b＝(－1，5)，
a－b＝(5，－3)，
3a＋4b＝(－6，19). D（2，2） 例3 已知向量a=(4，2)，b=(6，y),且a∥b，求y的值.y＝3 例4 已知点A(-1，-1)，B(1，3)，C(2，5)，试判断A、B、C三点是否共线？，A、B、C三点共线. 小结作业1. 向量的坐标运算是根据向量的坐标表示和向量的线性运算律得出的结论，它符合实数的运算规律，并使得向量的运算完全代数化. 2.对于两个非零向量共线的坐标表示，可借助斜率相等来理解和记忆. 3.利用向量的坐标运算，可以求点的坐标，判断点共线等问题，这是一种向量方法，体现了向量的工具作用. 作业：
P100练习：2，4.
P101习题A组：1，3，4，5.课件16张PPT。2.4 平面向量的数量积 2.4.1 平面向量数量积的
物理背景及其含义 问题提出 1.向量的模和夹角分别是什么概念？当两个向量的夹角分别为0°，90°，180°时，这两个向量的位置关系如何？ 2.任意两个向量都可以进行加、减运算，同时两个向量的和与差仍是一个向量，并且向量的加法运算满足交换律和结合律.由于任意两个实数可以进行乘法运算，我们自然会提出，任意两个向量是否也可以进行乘法运算呢？对此，我们从理论上进行相应分析. 平面向量数量积的
物理背景及其含义探究（一）:平面向量数量积的背景与含义 W＝︱F︱︱s︱cosθ 思考2：功是一个标量，它由力和位移两个向量所确定，数学上，我们把“功”称为向量F与s “数量积”.一般地，对于非零向量a与b的数量积是指什么？ 思考3：对于两个非零向量a与b，设其夹角为θ，把︱a|︱b︱cosθ叫做a与b的数量积（或内积），记作a·b，即 a·b=︱a|︱b︱cosθ.那么a·b的运算结果是向量还是数量？ 思考4：特别地，零向量与任一向量的数量积是多少？ 0·a=0思考5：对于两个非零向量a与b，其数量积a·b何时为正数？何时为负数？何时为零？ 当0°≤θ＜90°时，a·b＞0；
当90°＜θ≤180°时，a·b＜0；
当θ＝90°时，a·b＝0.a·b=︱a|︱b︱cosθ思考6：对于两个非零向量a与b，设其夹角为θ，那么︱a︱cosθ的几何意义如何？思考7：对于两个非零向量a与b，设其夹角为θ，︱a︱cosθ叫做向量a在b方向上的投影.那么该投影一定是正数吗？向量b在a方向上的投影是什么？ 不一定；︱b︱cosθ.思考8：根据投影的概念，数量积
a·b=︱a|︱b︱cosθ的几何意义如何？ 数量积a·b等于a的模与b在a方向上的投影︱b︱cosθ的乘积，或等于b的模与a在b方向上的投影︱a︱cosθ的乘积，探究（二）：平面向量数量积的运算性质 思考1：设a与b都是非零向量，若a⊥b，则a·b等于多少？反之成立吗？ a⊥b a·b＝0思考2：当a与b同向时，a·b等于什么？当a与b反向时，a·b等于什么？特别地，a·a等于什么？ 当a与b同向时，a·b＝︱a︱︱b︱；
当a与b反向时，a·b＝－︱a︱︱b︱；
a·a＝a2＝︱a︱2或︱a︱＝ .思考3：︱a·b︱与︱a︱︱b︱的大小关系如何？为什么？ ︱a·b︱≤︱a︱︱b︱ 思考4：a·b与b·a是什么关系？为什么？ a·b＝b·a 思考5：对于实数λ，(λa)·b有意义吗？它可以转化为哪些运算？ (λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)思考6：对于向量a，b，c，(a＋b)·c有意义吗？它与a·c＋b·c相等吗？为什么？思考7：对于非零向量a，b，c，(a·b)·c有意义吗？(a·b)·c与a·(b·c)相等吗？为什么？ (a·b)·c≠a·(b·c)思考8：对于非零向量a，b，c，若a·b＝a·c，那么 b＝c吗？ 思考9：对于向量a，b，等式(a＋b)2＝ a2＋2a·b＋b2和(a＋b)(a－b)＝a2－b2是否成立？为什么？ 思考10：对于向量a，b，如何求它们的夹角θ？ 理论迁移例1 已知︱a︱＝5，︱b︱＝4，a与b的夹角为120°，求a·b. －10 例2 已知︱a︱＝6，︱b︱＝4，a与b的夹角为60°，求(a＋2b)·(a－3b). －72 例3 已知︱a︱＝3，︱b︱＝4，且a与b不共线.求当k为何值时，向量a＋kb与 a－kb互相垂直？ 小结作业1.向量的数量积是一种向量的乘法运算，它与向量的加法、减法、数乘运算一样，也有明显的物理背景和几何意义，同时还有一系列的运算性质，但与向量的线性运算不同的是，数量积的运算结果是数量而不是向量. 2.实数的运算性质与向量的运算性质不完全一致，应用时不要似是而非. 3. 利用︱a︱＝ 可以求向量的模，在字符运算中是一种常用方法. 4.利用向量的数量积可以解决有关平行、垂直、夹角、距离、不等式等问题，它是一个工具性知识点，具有很强的功能作用. 作业：
P108 习题2.4A组：
1，2，3，6，7，8.课件18张PPT。2.5 平面向量应用举例 2.5.1 平面几何中的向量方法问题提出1.用有向线段表示向量，使得向量可以进行线性运算和数量积运算，并具有鲜明的几何背景，从而沟通了平面向量与平面几何的内在联系，在某种条件下，平面向量与平面几何可以相互转化.2.平行、垂直、夹角、距离、全等、相似等，是平面几何中常见的问题，而这些问题都可以由向量的线性运算及数量积表示出来.因此，平面几何中的某些问题可以用向量方法来解决，但解决问题的数学思想、方法和技能，需要我们在实践中去探究、领会和总结.平面几何中
的向量方法探究（一）：推断线段长度关系 思考2：设向量 a， b，则向量 等于什么？向量 等于什么？ =a+b, =a-b 思考3：AB=2，AD=1，BD=2，用向量语言怎样表述？|a|=2，|b|=1，|a-b|=2.思考4：利用 ，若求 需要解决什么问题？思考5：利用|a|=2，|b|=1，|a－b|=2，如何求a·b？ 等于多少？思考6：根据上述思路，你能推断平行四边形两条对角线的长度与两条邻边的长度之间具有什么关系吗？平行四边形两条对角线长的平方和等于两条邻边长的平方和的两倍. 思考7：如果不用向量方法，你能证明上述结论吗？ 探究（二）：推断直线位置关系 思考1：三角形的三条高线具有什么位置关系？ 交于一点证明PC⊥AB. c·(a－b)＝0. 思考4：对于PA⊥BC，PB⊥AC，用向量观点可分别转化为什么结论？a·(c－b)＝0，b·(a－c)＝0.思考5：如何利用这两个结论: a·(c－b)＝0，b·(a－c)＝0 推出c·(a－b)＝0？ 探究（三）：计算夹角的大小 三角形.gsp思考2：设向量 a， b，可以利用哪个向量原理求∠A的大小？思考3：以a，b为基底，向量 ， 如何表示？ 思考4：将CD⊥BE转化为向量运算可得什么结论？ a·b = （a2＋b2） 思考5：因为△ABC是等腰三角形，则|a|=|b|，结合上述结论:
a·b = (a2＋b2 ),cosA等于多少？理论迁移例1 如图，在平行四边形ABCD中，点E、F分别是AD、DC的中点，BE、BF分别与AC相交于点M、N，试推断AM、MN、NC的长度具有什么关系，并证明你的结论. 结论:AM=MN=NC 三等分.gsp例2 如图，△ABC的三条高分别为AD，BE，CF，作DG⊥BE，DH⊥CF，垂足分别为G、H，试推断EF与GH是否平行. 结论:EF∥GH 小结作业2.用向量方法研究几何问题，需要用向量的观点看问题，将几何问题化归为向量问题来解决.它既是一种数学思想，也是一种数学能力.其中合理设置向量，并建立向量关系，是解决问题的关键.作业：
P113习题2.5A组：1，2.
B组：3.课件21张PPT。3.1 两角和与差的正弦、余弦 和正切公式3.1.1 两角差的余弦公式问题提出1.在三角函数中，我们学习了哪些基本的三角函数公式？ 2.对于30°，45°，60°等特殊角的三角函数值可以直接写出，利用诱导公式还可进一步求出150°，210°，315°等角的三角函数值.我们希望再引进一些公式，能够求更多的非特殊角的三角函数值，同时也为三角恒等变换提供理论依据.3.若已知α，β的三角函数值，那么cos(α－β)的值是否确定？它与α，β的三角函数值有什么关系？这是我们需要探索的问题. 两角差的余弦公式 探究（一）：两角差的余弦公式 思考1：设α，β为两个任意角, 你能判断cos(α－β)＝cosα－cosβ恒成立吗?cos(30°－30°)≠cos30°－cos30°思考2：我们设想cos(α－β)的值与α，β的三角函数值有一定关系，观察下表中的数据，你有什么发现？思考3：一般地，你猜想cos(α－β)等于什么？cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ思考4：如图，设α，β为锐角，且α＞β，角α的终边与单位圆的交点为P1, ∠P1OP＝β，那么cos(α－β)表示哪条线段长？cos(α－β)=OM思考5：如何用线段分别表示sinβ和cosβ？sinβcosβ思考6：cosαcosβ＝OAcosα，它表示哪条线段长？
sinαsinβ＝PAsinα，它表示哪条线段长？sinαsinβcosαcosβ思考7：利用OM＝OB＋BM＝OB＋CP可得什么结论？cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβxyPP1MBOAC+11思考8：上述推理能说明对任意角α，β，都有
cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ成立吗？思考9：根据cosαcosβ＋sinαsinβ的结构特征，你能联想到一个相关计算原理吗？思考10：如图，设角α，β的终边与单位圆的交点分别为A、B，则向量 、
的坐标分别是什么？其数量积是什么？=(cosα,sinα)=(cosβ,sinβ)思考11：向量与的夹角θ与α、β有什么关系？根据数量积定义， 等于什么？由此可得什么结论？ α＝2kπ＋β＋θ或β＝2kπ＋α＋θ cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ思考12：公式cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ称为差角的余弦公式，记作 ，该公式有什么特点？如何记忆？探究（二）：两角差的余弦公式的变通 思考1：若已知α＋β和β的三角函数值，如何求cosα的值？ cosα＝cos[(α＋β)－β]＝ cos(α＋β) cosβ＋sin(α＋β)sinβ. 思考2：利用α－(α－β)＝β可得cosβ等于什么？cosβ＝cos[(α－β)－α]＝ cos(α－β)cosα＋sin(α－β)sinα.思考3：若cosα＋cosβ＝a，sinα＋sinβ＝b，则cos(α－β)等于什么？思考4：若cosα－cosβ＝a，sinα－sinβ＝b，则cos(α－β)等于什么？例1 利用余弦公式求cos15°的值. 例2 已知
β是第三象限角,求cos(α－β)的值.理论迁移例3 已知
且 , 求 的值. 小结作业1.在差角的余弦公式的形成过程中，蕴涵着丰富的数学思想、方法和技巧，如数形结合，化归转换、归纳、猜想、构造、换元、向量等，我们要深刻理解和领会.2.已知一个角的正弦（或余弦）值，求该角的余弦（或正弦）值时, 要注意该角所在的象限，从而确定该角的三角函数值符号.作业：
P127练习：1，2，3，4.3.在差角的余弦公式中，α，β既可以是单角，也可以是复角，运用时要注意角的变换，如，2β＝(α＋β)－(α－β) 等. 同时，公式的应用具有灵活性，解题时要注意正向、逆向和变式形式的选择.课件14张PPT。3.1.2 两角和与差的正弦、
余弦、正切公式问题提出1.两角差的余弦公式是什么？它有哪些基本变式？2.利用两角差的余弦公式固然能解决一些问题，但范围太窄，我们希望在此基础上获取一系列有应用价值的公式，实现资源利用和可持续发展战略. 3.有了两角差的余弦公式，自然想得到两角差的正弦、正切公式，以及两角和的正弦、余弦、正切公式，对此，我们将逐个进行探究，让希望成为现实.两角和与差的正弦、
余弦、正切公式探究（一）：两角和与差的基本三角公式 思考1：注意到α＋β＝α―(―β)，结合两角差的余弦公式及诱导公式，cos(α＋β)等于什么？cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ.思考2：上述公式就是两角和的余弦公式，记作 ，该公式有什么特点？如何记忆？sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβsin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ思考4：上述公式就是两角和与差的正弦公式，分别记作 ， ，这两个公式有什么特点？如何记忆？思考6：上述公式就是两角和与差的正切公式，分别记作 ， ，这两个公式有什么特点？如何记忆？公式成立的条件是什么？思考5：正切函数与正弦、余弦函数之间存在商数关系，从 、 出发，tan(α＋β)、tan(α－β)分别与tanα、tanβ有什么关系 思考7：为方便起见，公式 称为和角公式，公式 称为差角公式.怎样理解这6个公式的逻辑联系？C(α－β)探究（二）：两角和与差三角公式的变通 思考1：若cosα＋cosβ＝a，sinα－sinβ＝b，则cos(α＋β)等于什么？思考2：若sinα＋cosβ＝a，cosα＋sinβ＝b，则sin(α＋β)等于什么？思考4：在△ABC中，tanA，tanB，tanC三者有什么关系？ 思考5：sinx＋cosx能用一个三角函数表示吗？ 思考3：根据公式 ，tanα＋tanβ可变形为什么？ tanα＋tanβ=tan(α+β)(1- tanαtanβ)tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC理论迁移例1 已知 ，α是第四象限角，
求 ， ， 的值.例3 求证： .小结作业1.两角差的余弦公式 是两角和与差的三角系列公式的基础，明确了各公式的内在联系，就自然掌握了公式的形成过程.2.公式 与 ， 与 与 的结构相同，但运算符号不同，必须准确记忆，防止混淆.3.公式都是有灵性的，应用时不能生搬硬套，要注意整体代换和适当变形.作业：
P131练习：3，4，5，6.课件13张PPT。3.1.3 二倍角的正弦、 余弦、正切公式 问题提出1. 两角和与差的正弦、余弦和正切公式分别是什么？2. 是特殊角， 与 是倍半关系，利用上述公式可以求 的三角函数值.如果能推导一组反映倍半关系的三角函数公式，将是很有实际意义的.二倍角的正弦、
余弦、正切公式探究（一）：二倍角基本公式思考1：两角和的正弦、余弦和正切公式都是恒等式，特别地，当β＝α时，这三个公式分别变为什么？sin2α＝2sinαcosα；. cos2α＝cos2α－sin2α；思考2：上述公式称为倍角公式，分别记作S2α，C2α，T2α，利用平方关系，二倍角的余弦公式还可作哪些变形？cos2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α思考3：在二倍角的正弦、余弦和正切公式中，角α的取值范围分别如何？ 思考4：如何推导sin3α，cos3α与α的三角函数关系？探究（二）：二倍角公式的变通 思考1：1＋sin2α可化为什么？ 1＋sin2α＝(sinα＋cosα)2思考2：根据二倍角的余弦公式，sinα，cosα与cos2α的关系分别如何？ 思考3：tanα与sin2α，cos2α之间是否存在某种关系？ 思考4：sin2α，cos2α能否分别用tanα表示？ 理论迁移例1 已知 ，
求 ， ， 的值.例3 化简 tanx 例4 已知 ，且α∈(0，π)，求cos2α的值. 小结作业1.角的倍半关系是相对而言的, 2α是α的两倍, 4α是2α的两倍, 是 的两倍等等，这里蕴含着换元的思想.2.二倍角公式及其变形各有不同的特点和作用，解题时要注意公式的灵活运用，在求值问题中，要注意寻找已知与未知的联结点.3.二倍角公式有许多变形，不要求都记忆，需要时可直接推导.作业：
P135练习：2，3，4，5.课件19张PPT。3.2 简单的三角恒等变换第一课时问题提出1.两角和与差及二倍角的三角函数公式
分别是什么？sin(α±β)＝sinαcosβ±cosαsinβ cos(α±β)＝cosαcosβ sinαsinβ cos2α＝cos2α－sin2α
＝2cos2α－1
＝1－2sin2α； sin2α＝2sinαcosα 2.三角函数公式是三角变换的理论依据，基本的三角公式包括同角关系公式，诱导公式，和差公式和二倍角公式等.有了这些公式，使得三角变换的内容、思路、方法丰富多彩，奥妙无穷，并为培养我们的推理、运算能力提供了
很好的平台.在实际应用中，我们不仅
要掌握公式的正向和逆向运用，还要
了解公式的变式运用，做到活用公式，
用活公式.3.代数式变换与三角变换的区别在于：
代数式变换主要是对代数式的结构形式
进行变换；三角变换一般先寻找三角式
包含的各个角之间的联系，并以此为依
据选择可以联系它们的适当公式进行变
换，其中有两个变换原理是需要我们了
解的.三角恒等变换基本原理探究（一）：异角和积互化原理 思考1：对于sinαcosβ和cosαsinβ，
二者相加、相减分别等于什么？思考2：记sinαcosβ＝x，cosαsinβ＝y，利用什么数学思想可求出x、y？x+y＝sin(α+β)
x-y＝sin(α-β)方程思想左边是积右边是和差，
从左到右积化和差.思考4令 ， ，
并交换等式两边的式子可得什么结论？思考5：这两个等式左右两边的结构有什
么特点？从左到右的变换功能是什么？思考6：参照上述分析，cosαcosβ，
sinαsinβ分别等于什么？其变换功能
如何？思考7：cosθ＋cosφ，cosθ－cosφ
分别等于什么？其变换功能如何？思考8：上述关系表明，两个不同的三角
函数的和（差）与积是可以相互转化的，
但转化是有条件的，其中和差化积的转
化条件是什么？ 两个角的函数同名探究（二）：同角和差合成原理思考1：sin20°cos30°＋cos20°sin30°
可合成为哪个三角函数？sin(20°+30°)=sin50°思考2：
可分别合成为哪个三角函数？sin(20°-60°)sin(30°-20°)思考3：
可分别合成为哪个三角函数？思考4：
可合成为哪个三角函数？思考5：一般地， 可
合成为一个什么形式的三角函数？其中 理论迁移例1 化简 tan(α＋β)例2 已知cosx＝cosαcosβ，求证： 例3 求函数 的周期，
最大值和最小值？小结作业1.异角和积互化原理与同角和差合成原
理，是三角变换的两个基本原理，具体
公式不要求记忆，但要明确其变换思想，
会在实际问题中灵活运用.2.“明确思维起点，把握变换方向，抓住
内在联系，合理选择公式”是三角变换的
基本要决.3.对形如 的函数，转
化为 的形式后，可使
问题得到简化，这是一种化归思想. 作业：
P143习题3.2A组：
1(5)(6)(7)(8) ，2，3，4，5.课件5张PPT。3.2 简单的三角恒等变换 第二课时
含未知角的求值问题（习题课） 例1 已知 ,且
求 值.例3 已知 ，求
的值.例4 已知 ,
求 值.例5 已知 tanα＝2，且sinβ＝sinαcos(α＋β)，求tan(α＋β)的值.4例6 已知 ，
，求
的值.作业：
P146复习参考题A组：
1，2，3，6，7.课件8张PPT。 第四课时
三角函数中的三角变换问题 （习题课） 3.2 简单的三角恒等变换 例1 已知函数
（1）求f(x)的最小正周期和单调递减区 间；
（2）当 时，求f(x)的最大值和 最小值. T=π 例2 已知函数f(x)＝sin(x＋α)＋ cos(x－α)为偶函数，求α的值. 例3 已知函数
（1）若对任意x∈R都有 成立， 求a的取值范围；
（2）若 ，求关于x的不等式 的解集. 例4 已知向量a ，
b ，其中 ，求函
数f(x)＝a·b－|a＋b|的值域. 例5 已知函数
若函数y=f(x)的图象关于直线 对称，求a的最小值. 例6 如图，正方形ABCD的边长为1 ，P、Q分别为边AB，DA上的点，当△APQ的周长为2时，求∠PCQ的大小.45° 作业：
P147复习参考题A组：
10,11,12,13.
