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人教版八年级数学上册
期末复习：全等三角形
识
知
体
系
点
考
精
讲
考点一 全等三角形的基本概念和性质
例1 下列命题中，真命题是（ ）．
A.周长相等的锐角三角形都全等；
B.周长相等的直角三角形都全等；
C.周长相等的钝角三角形都全等；
D.周长相等的等腰直角三角形都全等．
Ｄ
例2 两块完全相同的三角形纸板ABC和DEF，按如图所示的方式叠放，阴影部分为重叠部分，点O为边AC和DF的交点.不重叠的两部分△AOF与△DOC是否全等？为什么？
解：∵两三角形纸板完全相同，∴BC=BF，AB=BD，∠A=∠D，∴AB－BF=BD－BC，即AF=DC.
在△AOF和△DOC中，
∵AF=DC，∠A=∠D，∠AOF=∠DOC，∴△AOF≌△DOC（AAS）.
例3 如图，AB//CD，AD//BC，求证：AB=CD.
∵AB//CD，AD //BC ∴∠1=∠2，∠3=∠4
在△ABC与△CDA中
∴△ABC≌△CDA (ASA)
∴AB=CD.
解：连接AC
例4 如图，△ABD≌△CBD，若∠A=80°，∠ABC=70°，则∠ADC的度数为 ．
解：∵△ABD≌△CBD，
∴∠C=∠A=80°，
∴∠ADC=360°﹣∠A﹣∠ABC﹣∠C
=360°﹣80°﹣70°﹣80°
=130°．
130°
例5 如图，△ABC是等腰三角形，AB=AC，请你用尺规作图将△ABC分成两个全等的三角形，并说明这两个三角形全等的理由．（保留作图痕迹，不写作法）
考点二：全等三角形的判定
解：作出BC的垂直平分线，交BC于点D，
∵AB=AC，∴AD平分∠BAC，即∠BAD=∠CAD，
在△ABD和△ACD中
∴△ABD≌△ACD（SAS）．
例6 如图，点B、C、E、F在同一直线上，BC=EF，AC⊥BC于点C，DF⊥EF于点F，AC=DF．
求证：（1）△ABC≌△DEF；（2）AB∥DE．
证明：（1）∵AC⊥BC于点C，DF⊥EF于点F，∴∠ACB=∠DFE=90°，
在△ABC和△DEF中
∴△ABC≌△DEF（SAS）；
（2）∵△ABC≌△DEF，
∴∠B=∠DEF，∴AB∥DE．
例7 如图，点D在AB上，点E在AC上，AB=AC，AD=AE．求证：∠B=∠C．
证明：在△ABE和△ACD中
∴△ABE≌△ACD（SAS）．
∴∠B=∠C．
【方法指导】证明线段和角相等，若要证明的线段和角分布在两个三角形中，那么可以判定三角形全等，利用全等三角形的性质来达到目的．
例8 如图：点A、B、C、D在一条直线上，AB=CD，AE∥BF，CE∥DF．求证：AE=BF．
证明：∵AE∥BF，∴∠A=∠FBD，
∵CE∥DF，∴∠D=∠ACE，
∵AB=CD，∴AB+BC=CD+BC，即AC=BD，
在△ACE和△BDF中
∴△ACE≌△BDF（ASA），
∴AE=BF．
例9 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D、F分别在AB、AC上，CF=CB，连接CD，将线段CD绕点C按顺时针方向旋转90°后得CE，连接EF．（1）求证：△BCD≌△FCE；（2）若EF∥CD，求∠BDC的度数．
证明：(1)∵将线段CD绕点C按顺时针方向旋转90°后得CE，
∴CD=CE，∠DCE=90°，
∵∠ACB=90°，∴∠BCD=90°﹣∠ACD=∠FCE，
在△BCD和△FCE中
∴△BCD≌△FCE（SAS）．
例9 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D、F分别在AB、AC上，CF=CB，连接CD，将线段CD绕点C按顺时针方向旋转90°后得CE，连接EF．（1）求证：△BCD≌△FCE；（2）若EF∥CD，求∠BDC的度数．
（2）解：由（1）可知△BCD≌△FCE，
∴∠BDC=∠E，
∵EF∥CD，
∴∠E=180°﹣∠DCE=90°，
∴∠BDC=90°．
例10 如图，AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC=7，DE=2，AB=4，则AC长是（ ）
A．3 B.4 C．6 D．5
解：如图，过点D作DF⊥AC于F，
∵AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB，
∴DE=DF，
由图可知，S△ABC=S△ABD+S△ACD，
∴×4×2+×AC×2=7，解得AC=3．
考点四 角平分线的性质
A
例11 如图，AP，CP分别是△ABC外角∠MAC和∠NCA的平分线，它们交于点P．求证：BP为∠MBN的平分线．
证明：过P作三边AB、AC、BC的垂线段PD、PE、PF，
∵BP是△ABC的外角平分线，PD⊥AD，PF⊥AC，
∴PD=PF
∵CP是△ABC的外角平分线，PE⊥AC，PF⊥BC，
∴PE=PF
∴PD=PE，PD⊥AD，PE⊥AC，
∴AP为∠MBN的平分线
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知
识
精
练
（一）选择题
1.如图，已知AB=AD，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC≌△ADC的是（ ）
A．CB=CD B．∠BAC=∠DAC
C．∠BCA=∠DCA D．∠B=∠D=90°
2.如图，△ABC和△DEF中，AB=DE、角∠B=∠DEF，添加下列哪一个条件无法证明△ABC≌△DEF（ ）
A．AC∥DF B．∠A=∠D
C．AC=DF D．∠ACB=∠F
C
C
3.如图，在△ABC和△BDE中，点C在边BD上，边AC交边BE于点F．若AC=BD，AB=ED，BC=BE，则∠ACB等于（ ）
A.∠EDB B.∠BED
C.∠AFB D.2∠ABF
4．如图，四边形ABCD中，AC垂直平分BD，垂足为E，下列结论不一定成立的是（ ）
A.AB＝AD B.AC平分∠BCD
C.AB＝BD D.△BEC≌△DEC
C
C
5．如图所示，点E是矩形ABCD的边AD延长线上的一点，且AD=DE，连结BE交CD于点O，连结AO.下列结论不正确的是( )
A．△AOB≌△BOC B．△BOC≌△EOD
C．△AOD≌△EOD D．△AOD≌△BOC
A
【方法指导】判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
1.如图1，AC、BD相交于点0，∠A=∠D，请补充一个条件，使△AOB≌△DOC，你补充的条件是 （填出一个即可）．
2.如图2，在Rt△ABC与Rt△DEF中，∠B=∠E=90°，AC=DF，AB=DE，∠A=50°，则∠DFE= ．
3．如图3，在 ABCD中，E、F为对角线AC上两点，且BE∥DF，请从图中找出一对全等三角形： ．
（二）填空题
AB=CD
40°
△ADF≌△BEC
4.如图4，OP平分∠MON，PA⊥ON于点A，点Q是射线OM上的一个动点，若PA=2，则PQ范围是 ．
5.如图5，O是△ABC内一点，且O到三边AB、BC、CA的距离OF=OD=OE，若∠BAC=70°，∠BOC= ．
6.如图6．在△ABC中，点D在BC边上，BD=DC，点E在AD上，CF∥AB，∠BAD=∠DEF，若AB=5，CF=2．则线段EF的长为 ．
PQ≥2
125°
3
1.如图，在△ABC中，AB=AC，BD=CD，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为点E、F．求证：△BED≌△CFD．
（三）解答题
证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠BED=∠CFD=90°，
∵AB=AC，∴∠B=∠C，
在△BED和△CFD中
∴△BED≌△CFD（AAS）．
2.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，AD平分∠CAB．
（1）求∠CAD的度数；
（2）延长AC至E，使CE=AC，求证：DA=DE．
（1）解：如图，∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，
∴∠B=30°，
∴∠CAB=60°．
又∵AD平分∠CAB，
∴∠CAD=∠CAB=30°，即∠CAD=30°
2.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，AD平分∠CAB．
（1）求∠CAD的度数；
（2）延长AC至E，使CE=AC，求证：DA=DE．
（2）证明：∵∠ACD+∠ECD=180°，且∠ACD=90°，∴∠ECD=90°∴∠ACD=∠ECD．
在△ACD与△ECD中，
∴△ACD≌△ECD（SAS），∴DA=DE．
3. 如图，已知：△ABC中，AB=AC，M是BC的中点，D、E分别是AB、AC边上的点，且BD=CE．求证：MD=ME．
证明：△ABC中，
∵AB=AC，∴∠DBM=∠ECM，
∵M是BC的中点，∴BM=CM，
在△BDM和△CEM中
∴△BDM≌△CEM（SAS）∴MD=ME．
4.如图，已知△ABC三个内角的平分线交于点O，点D在CA的延长线上，且DC=BC，AD=AO，若∠BAC=80°，求∠BCA的度数．
解：∵△ABC三个内角的平分线交于点O∴∠ACO=∠BCO，
在△COD和△COB中
∴△COD≌△COB，∴∠D=∠CBO，
∵∠BAC=80°，∴∠BAD=100°，∴∠BAO=40°，
∴∠DAO=140°，∵AD=AO，∴∠D=20°，
∴∠CBO=20°，∴∠ABC=40°，∴∠BCA=60°
5.如图：在△ABC中，∠C=90° AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，F在AC上，BD=DF；求证：（1）CF=EB．（2）AB=AF+2EB．
证明：（1）∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DC⊥AC，
∴DE=DC，
∵在Rt△DCF和Rt△DEB中，
∴Rt△CDF≌Rt△EBD（HL）．
∴CF=EB；
5.如图：在△ABC中，∠C=90° AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，F在AC上，BD=DF；求证：（1）CF=EB．（2）AB=AF+2EB．
证明：（2）∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DC⊥AC，
∴CD=DE．
在△ADC与△ADE中，
∴△ADC≌△ADE（HL），∴AC=AE，
∴AB=AE+BE=AC+EB=AF+CF+EB=AF+2EB．
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人教版八年级数学上学期期末复习全等三角形导学案
一、复习（知识体系）
二、考点精讲
考点一：全等三角形的基本概念和性质
例1 下列命题中，真命题是（ ）．
A.周长相等的锐角三角形都全等； B. 周长相等的直角三角形都全等；
C.周长相等的钝角三角形都全等； D. 周长相等的等腰直角三角形都全等．
例2 两块完全相同的三角形纸板ABC和D ( http: / / www.21cnjy.com )EF，按如图所示的方式叠放，阴影部分为重叠部分，点O为边AC和DF的交点.不重叠的两部分△AOF与△DOC是否全等？为什么？
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例3 如图，AB//CD，AD//BC，求证：AB=CD.
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例4 如图，△ABD≌△CBD，若∠A=80°，∠ABC=70°，则∠ADC的度数为 ．
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考点二：全等三角形的判定
例5 如图，△ABC是等腰三角形，AB=A ( http: / / www.21cnjy.com )C，请你用尺规作图将△ABC分成两个全等的三角形，并说明这两个三角形全等的理由．（保留作图痕迹，不写作法）
例6 如图，点B、C、E、F在同一直线上，BC=EF，AC⊥BC于点C，DF⊥EF于点F，AC=DF．求证：21世纪教育网版权所有
（1）△ABC≌△DEF；
（2）AB∥DE．
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例7 如图，点D在AB上，点E在AC上，AB=AC，AD=AE．求证：∠B=∠C．
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例8 如图：点A、B、C、D在一条直线上，AB=CD，AE∥BF，CE∥DF．求证：AE=BF．
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例9 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=9 ( http: / / www.21cnjy.com )0°，点D、F分别在AB、AC上，CF=CB，连接CD，将线段CD绕点C按顺时针方向旋转90°后得CE，连接EF．21·cn·jy·com
（1）求证：△BCD≌△FCE；
（2）若EF∥CD，求∠BDC的度数．
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考点四 角平分线的性质
例10 如图，AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC=7，DE=2，AB=4，则AC长是（ ）www.21-cn-jy.com
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A．3 B.4 C．6 D．5
例11 如图，AP，CP分别是△ABC外角∠MAC和∠NCA的平分线，它们交于点P．求证：BP为∠MBN的平分线．2·1·c·n·j·y
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三、知识精练
（一）选择题
1．如图，已知AB=AD，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC≌△ADC的是（ ）
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A．CB=CD B．∠BAC=∠DAC C．∠BCA=∠DCA D．∠B=∠D=90°
2.如图，△ABC和△DEF中，AB=DE、角∠B=∠DEF，添加下列哪一个条件无法证明△ABC≌△DEF（ ）【来源：21·世纪·教育·网】
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A．AC∥DF B．∠A=∠D C．AC=DF D．∠ACB=∠F
3.如图，在△ABC和△BDE中，点C在边BD上，边AC交边BE于点F．若AC=BD，AB=ED，BC=BE，则∠ACB等于（ ）21cnjy.com
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A∠EDB B． ∠BED C． ∠AFB D． 2∠ABF
4．如图，四边形ABCD中，AC垂直平分BD，垂足为E，下列结论不一定成立的是（ ）
A．AB＝AD B．AC平分∠BCD C．AB＝BD D．△BEC≌△DEC
5．如图所示，点E是矩形ABCD的边AD延长线上的一点，且AD=DE，连结BE交CD于点O，连结AO.下列结论不正确的是( )21·世纪*教育网
A．△AOB≌△BOC B．△BOC≌△EOD
C．△AOD≌△EOD D．△AOD≌△BOC
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（二）填空题
1.如图，AC、BD相交于点0，∠A=∠D，请补充一个条件，使△AOB≌△DOC，你补充的条件是 （填出一个即可）．21教育网
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2.如图，在Rt△ABC与Rt△DEF中，∠B=∠E=90°，AC=DF，AB=DE，∠A=50°，则∠DFE= ．www-2-1-cnjy-com
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3．如图，在 ABCD中，E、F为对角线AC上两点，且BE∥DF，请从图中找出一对全等三角形： ．2-1-c-n-j-y
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4.如图，OP平分∠MON，PA⊥ON于点A，点Q是射线OM上的一个动点，若PA=2，则PQ范围是 ．【来源：21cnj*y.co*m】
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5.如图，O是△ABC内一 ( http: / / www.21cnjy.com )点，且O到三边AB、BC、CA的距离OF=OD=OE，若∠BAC=70°，∠BOC= ．【出处：21教育名师】
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6.如图．在△ABC中，点D在BC边上 ( http: / / www.21cnjy.com )，BD=DC，点E在AD上，CF∥AB，∠BAD=∠DEF，若AB=5，CF=2．则线段EF的长为 ．【版权所有：21教育】
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（三）解答题
1.如图，在△ABC中，AB=AC，BD=CD，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为点E、F．
求证：△BED≌△CFD．
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2.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，AD平分∠CAB．
（1）求∠CAD的度数；
（2）延长AC至E，使CE=AC，求证：DA=DE．
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3.如图，已知：△ABC中，AB=AC，M是BC的中点，D、E分别是AB、AC边上的点，且BD=CE．求证：MD=ME．21*cnjy*com
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4.如图，已知△ABC三个内角的平分线交于点O，点D在CA的延长线上，且DC=BC，AD=AO，若∠BAC=80°，求∠BCA的度数．21教育名师原创作品
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5.如图：在△ABC中，∠C=90° AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，F在AC上，BD=DF；
说明：（1）CF=EB．
（2）AB=AF+2EB．
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全等形
全等三角形
角平分线的性质
SSS，SAS，ASA，AAS，HL
对应边相等，对应角相等
判定
性质
A
B
C
D
E
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人教版八年级数学上学期期末复习全等三角形导学案
一、复习（知识体系）
(
全等形
全等三角形
角
平分线的性质
SSS
，
SAS
，
ASA
，
AAS
，
HL
对应边相等，对应角相等
判定
性质
)
二、考点精讲
考点一：全等三角形的基本概念和性质
例1 下列命题中，真命题是（ ）．
A.周长相等的锐角三角形都全等； B. 周长相等的直角三角形都全等；
C.周长相等的钝角三角形都全等； D. 周长相等的等腰直角三角形都全等．
【答案】D
【解析】结合几何图形来理解全等三角形的定义，也可根据命题进行操作解决。
例2 两块完全相同的三角形纸板ABC和DEF，按如图所示的方式叠放，阴影部分为重叠部分，点O为边AC和DF的交点.不重叠的两部分△AOF与△DOC是否全等？为什么？
例3 如图，AB//CD，AD//BC，求证：AB=CD.
【答案】见解析
【解析】连接AC，∵AB//CD，AD //BC
∴∠1=∠2，∠3=∠4
在△ABC与△CDA中
∵
∴△ABC≌△CDA (ASA)
∴AB=CD.
【方法技巧】线段相等，利用三角形全等的性质来证明是一种常用的方法；连接四边形的对角线，是构造全等三角形的常用方法。
例4 如图，△ABD≌△CBD，若∠A=80°，∠ABC=70°，则∠ADC的度数为 ．
【答案】130°
【解析】∵△ABD≌△CBD，
∴∠C=∠A=80°，
∴∠ADC=360°﹣∠A﹣∠ABC﹣∠C=360°﹣80°﹣70°﹣80°=130°．
故答案为：130°．
考点二：全等三角形的判定
例5 如图，△ABC是等腰三角形，AB=AC，请你用尺规作图将△ABC分成两个全等的三角形，并说明这两个三角形全等的理由．（保留作图痕迹，不写作法）
【答案】见解析
【解析】作出BC的垂直平分线，交BC于点D，
∵AB=AC，
∴AD平分∠BAC，即∠BAD=∠CAD，
在△ABD和△ACD中，
，
∴△ABD≌△ACD（SAS）．
【方法指导】作出底边BC的垂直平分线，交BC于点D，利用三线合一得到D为BC的中点，可得出三角形ADB与三角形ADC全等．
例6 如图，点B、C、E、F在同一直线上，BC=EF，AC⊥BC于点C，DF⊥EF于点F，AC=DF．求证：
（1）△ABC≌△DEF；
（2）AB∥DE．
【答案】见解析
【解析】（1）∵AC⊥BC于点C，DF⊥EF于点F，
∴∠ACB=∠DFE=90°，
在△ABC和△DEF中，
∴△ABC≌△DEF（SAS）；
（2）∵△ABC≌△DEF，
∴∠B=∠DEF，
∴AB∥DE．
【方法点拨】熟悉掌握全等三角形的判定与性质及其平行线的判定，证明三角形全等是解决问题的关键.
例7 如图，点D在AB上，点E在AC上，AB=AC，AD=AE．求证：∠B=∠C．
【答案】见解析
【解析】在△ABE和△ACD中，
，
∴△ABE≌△ACD（SAS）．
∴∠B=∠C．
【方法指导】证明线段和角相等，若要证明的线段和角分布在两个三角形中，那么可以判定三角形全等，利用全等三角形的性质来达到目的．
例8 如图：点A、B、C、D在一条直线上，AB=CD，AE∥BF，CE∥DF．求证：AE=BF．
例9 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D、F分别在AB、AC上，CF=CB，连接CD，将线段CD绕点C按顺时针方向旋转90°后得CE，连接EF．
（1）求证：△BCD≌△FCE；
（2）若EF∥CD，求∠BDC的度数．
【答案】见解析
【解析】（1）证明：∵将线段CD绕点C按顺时针方向旋转90°后得CE，
∴CD=CE，∠DCE=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠BCD=90°﹣∠ACD=∠FCE，
在△BCD和△FCE中，
，
∴△BCD≌△FCE（SAS）．
（2）解：由（1）可知△BCD≌△FCE，
∴∠BDC=∠E，
∵EF∥CD，
∴∠E=180°﹣∠DCE=90°，
∴∠BDC=90°．
【方法技巧】全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．
考点四 角平分线的性质
例10 如图，AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC=7，DE=2，AB=4，则AC长是（ ）
A．3 B.4 C．6 D．5
【答案】A
【解析】如图，过点D作DF⊥AC于F，
∵AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB，
∴DE=DF，
由图可知，S△ABC=S△ABD+S△ACD，
∴×4×2+×AC×2=7，
解得AC=3．
故选A．
【方法归纳】题目已知中有角平分线的条件，或者有要证明角平分线的结论时，常过角平分线上的一点向角的两边作垂线，利用角平分线的性质或判定来解答问题．
例11 如图，AP，CP分别是△ABC外角∠MAC和∠NCA的平分线，它们交于点P．求证：BP为∠MBN的平分线．
【答案】见解析
【解析】过P作三边AB、AC、BC的垂线段PD、PE、PF，
∵BP是△ABC的外角平分线，PD⊥AD，PF⊥AC，
∴PD=PF（角平分线上的点到角两边的距离相等），
∵CP是△ABC的外角平分线，PE⊥AC，PF⊥BC，
∴PE=PF（角平分线上的点到角两边的距离相等），
∴PD=PE，PD⊥AD，PE⊥AC，
∴AP为∠MBN的平分线（在角的内部，到角两边距离相等的点在角的平分线上）．
三、知识精练
（一）选择题
1．如图，已知AB=AD，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC≌△ADC的是（ ）
A．CB=CD B．∠BAC=∠DAC C．∠BCA=∠DCA D．∠B=∠D=90°
【解析】C
【解析】A.添加CB=CD，根据SSS，能判定△ABC≌△ADC，故A选项不符合题意；
B.添加∠BAC=∠DAC，根据SAS，能判定△ABC≌△ADC，故B选项不符合题意；
C.添加∠BCA=∠DCA时，不能判定△ABC≌△ADC，故C选项符合题意；
D.添加∠B=∠D=90°，根据HL，能判定△ABC≌△ADC，故D选项不符合题意；
故选：C．
2.如图，△ABC和△DEF中，AB=DE、角∠B=∠DEF，添加下列哪一个条件无法证明△ABC≌△DEF（ ）
A．AC∥DF B．∠A=∠D C．AC=DF D．∠ACB=∠F
【答案】C
【解析】∵AB=DE，∠B=∠DEF，
∴添加AC∥DF，得出∠ACB=∠F，即可证明△ABC≌△DEF，故A、D都正确；
当添加∠A=∠D时，根据ASA，也可证明△ABC≌△DEF，故B都正确；
但添加AC=DF时，没有SSA定理，不能证明△ABC≌△DEF，故C都不正确；
故选C．
3.如图，在△ABC和△BDE中，点C在边BD上，边AC交边BE于点F．若AC=BD，AB=ED，BC=BE，则∠ACB等于（ ）
A∠EDB B． ∠BED C． ∠AFB D． 2∠ABF
【答案】C
【解析】在△ABC和△DEB中，
∴△ABC≌△DEB （SSS），
∴∠ACB=∠DEB．
∵∠AFB是△BCF的外角，
∴∠ACB+∠DBE=∠AFB，
∠ACB=∠AFB，
故选：C．
4．如图，四边形ABCD中，AC垂直平分BD，垂足为E，下列结论不一定成立的是（ ）
(
A
B
C
D
E
)
A．AB＝AD B．AC平分∠BCD C．AB＝BD D．△BEC≌△DEC
【答案】：C．
【解析】因为AC垂直平分BD，所以△BEC≌△DEC，△BEA≌△DEA，所以AB＝AD, AC平分∠BCD.
【方法指导】通过垂直平分线的性质，得到相等的线段或相等的角，从而找到全等三角形
5．如图所示，点E是矩形ABCD的边AD延长线上的一点，且AD=DE，连结BE交CD于点O，连结AO.下列结论不正确的是( )
A．△AOB≌△BOC B．△BOC≌△EOD
C．△AOD≌△EOD D．△AOD≌△BOC
【答案】：A．
【解析】：解：∵AD=DE，DO∥AB，
∴OD为△ABE的中位线，
∴OD=OC，
∵在△AOD和△EOD中，
AD＝DE
∠ADO＝∠EDO
DO＝DO
∴△AOD≌△EOD（SAS）；
∵在△AOD和△BOC中，
AD＝BC
∠ADO＝∠BCO
DO＝CO
∴△AOD≌△BOC（SAS）；
∵△AOD≌△EOD，
∴△BOC≌△EOD；
故B、C、D均正确．
故选A．
【方法指导】：判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
二、填空题
1.如图，AC、BD相交于点0，∠A=∠D，请补充一个条件，使△AOB≌△DOC，你补充的条件是 （填出一个即可）．
【答案】AB=CD
【解析】解：AB=CD，
理由是：∵在△AOB和△DOC中
∴△AOB≌△DOC，
故答案为：AB=CD．
2.如图，在Rt△ABC与Rt△DEF中，∠B=∠E=90°，AC=DF，AB=DE，∠A=50°，则∠DFE= ．
【答案】40°．
【解析】在Rt△ABC与Rt△DEF中，
∵∠B=∠E=90°，AC=DF，AB=DE，
∴Rt△ABC≌Rt△DEF（HL）
∴∠D=∠A=50°，
∴∠DFE=90°﹣∠D=90°﹣50°=40°．
3．如图，在 ABCD中，E、F为对角线AC上两点，且BE∥DF，请从图中找出一对全等三角形： ．
【答案】△ADF≌△BEC
【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，∠DAC=∠BCA，
∵BE∥DF，
∴∠DFC=∠BEA，
∴∠AFD=∠BEC，
在△ADF与△CEB中，
，
∴△ADF≌△BEC（AAS），
故答案为：△ADF≌△BEC．
4.如图，OP平分∠MON，PA⊥ON于点A，点Q是射线OM上的一个动点，若PA=2，则PQ范围是 ．
【答案】PQ≥2．
【解析】∵OP平分∠MON，PA⊥ON于点A，PA=2，
∴点P到OM的距离等于2，
而点Q是射线OM上的一个动点，
∴PQ≥2．
5.如图，O是△ABC内一点，且O到三边AB、BC、CA的距离OF=OD=OE，若∠BAC=70°，∠BOC= ．
【答案】125°.
【解析】∵OF=OD=OE，
∴OB、OC分别平分∠ABC和∠ACB，
∵∠BAC=70°，
∴∠ABC+∠ACB=180°-70°=110°，
∴∠OBC+∠OCB=（∠ABC+∠ACB）=×110°=55°，
∴∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB）=180°-55°=125°
6.如图．在△ABC中，点D在BC边上，BD=DC，点E在AD上，CF∥AB，∠BAD=∠DEF，若AB=5，CF=2．则线段EF的长为 ．
【答案】3.
【解析】延长AD，CF交于G，
∵CF∥AB，
∴∠B=∠BCF，
在△ABD与△GCD中，
，
∴△ABD≌△CDG，
∴AB=CG，∠BAD=∠G，
∵∠BAD=∠DEF，
∴∠DEF=∠G，
∴EF=FG，
∵AB=5，CF=2，
∴CG=5，
∴EF=FG=5-2=3．
（三）解答题
1.如图，在△ABC中，AB=AC，BD=CD，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为点E、F．
求证：△BED≌△CFD．
【答案】见解析
【解析】∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠BED=∠CFD=90°，
∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
在△BED和△CFD中，
，
∴△BED≌△CFD（AAS）．
2.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，AD平分∠CAB．
（1）求∠CAD的度数；
（2）延长AC至E，使CE=AC，求证：DA=DE．
【答案】（1）30°，（2）见解析
【解答】（1）解：如图，∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，
∴∠B=30°，
∴∠CAB=60°．
又∵AD平分∠CAB，
∴∠CAD=∠CAB=30°，即∠CAD=30°；
（2）证明：∵∠ACD+∠ECD=180°，且∠ACD=90°，
∴∠ECD=90°，
∴∠ACD=∠ECD．
在△ACD与△ECD中，，
∴△ACD≌△ECD（SAS），
∴DA=DE．
【方法指导】在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．
3.如图，已知：△ABC中，AB=AC，M是BC的中点，D、E分别是AB、AC边上的点，且BD=CE．求证：MD=ME．
【答案】见解析
【解析】证明：△ABC中，
∵AB=AC，
∴∠DBM=∠ECM，
∵M是BC的中点，
∴BM=CM，
在△BDM和△CEM中，
，
∴△BDM≌△CEM（SAS），
∴MD=ME．
4.如图，已知△ABC三个内角的平分线交于点O，点D在CA的延长线上，且DC=BC，AD=AO，若∠BAC=80°，求∠BCA的度数．
【答案】60°
【解析】∵△ABC三个内角的平分线交于点O，
∴∠ACO=∠BCO，
在△COD和△COB中，
，
∴△COD≌△COB，
∴∠D=∠CBO，
∵∠BAC=80°，
∴∠BAD=100°，
∴∠BAO=40°，
∴∠DAO=140°，
∵AD=AO，∴∠D=20°，
∴∠CBO=20°，
∴∠ABC=40°，
∴∠BCA=60°，
5.如图：在△ABC中，∠C=90° AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，F在AC上，BD=DF；
说明：（1）CF=EB．
（2）AB=AF+2EB．
【答案】（1）说明见解析；（2）说明见解析.
【解析】（1）∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DC⊥AC，
∴DE=DC，
∵在Rt△DCF和Rt△DEB中，
，
∴Rt△CDF≌Rt△EBD（HL）．
∴CF=EB；
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