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人教版八年级数学上册
期末复习：分式
识
知
体
系
点
考
精
讲
考点一 分式的定义
Ｄ
例1 要使分式 有意义，则x的取值应满足（ ）
A.x=-2
B.x≠2
C. x>-2
D. x≠-2
例2 若代数式 的值等于0 ，则x=_________.
【归纳梳理】分式的值为零，需同时具备两个条件：（1）分子为0；（2）分母不为0．这两个条件缺一不可．
【解析】由分式的值为零的条件得x2﹣5x+6=0，2x﹣6≠0，
由x2﹣5x+6=0，得x=2或x=3，
由2x﹣6≠0，得x≠3，
∴x=2，故答案为2．
2
D
例3 分式 可变形为（ ）
A.
B.
C.
D.
【方法指导】要熟悉掌握分式的基本性质，还要牢记分式的符号法则：分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变．
C
例4 将分式 约分，正确的结果是（ ）
A.
B.
C.
D.
【方法指导】分子分母是多项式是要先进行因式分解，再找出分子分母的公因式进行约分．
考点二 分式的有关计算
例5 已知一粒大米的质量为0.000 021千克，这个数用科学记数法表示为（ ）
A. 0.21×10-4千克 B. 2.1×10-4千克
C. 2.1×10-5千克 D. 21×10-6千克
【方法指导】绝对值小于1的数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10-n，1≤∣a∣＜10，n是由原数小数点后第一位数字开始到第一个不为零的数字为止的位数所决定的.
C
例6 计算：（1）（2mn-2）-3·（-m-2n-1）-2；（2）（2ab2c-3）-2÷（a-2b）3.
解：（1）原式= 4m-3n6·m4n2
=4mn8
例7 计算：
例8 先化简，再求值： ，其中a=3，b=1.
解：方程两边乘以x-2，得：1-3（x-2）=-（x-１）
整理得：-2x=-6，
解得x=3
检验：当x=3时，x-2≠0
因此，原方程的解为x=3.
【方法指导】先将分式方程去分母转化为整式方程，再求出整式方程的解得到x的值，检验即可得到分式方程的解．
考点三 解分式方程
例9 （2016·四川）解方程：
解：因方程有增根，可得方程 的增根是x=2，
把方程的两边同时乘以x-2，
得到：a=x-2-3，
把x=2代入a=x-2-3，
得到：a=2-2-3，解得：a=-3.
例10 若方程 有增根，求a的值.
【方法指导】根据增根的定义可得，方程的增根是x=2，去分母把方程转化为整式方程，把x=2代入方程得到关于a的一元一次方程，解一元一次方程求出a的值.
例11 （2016 长沙模拟）长沙市为了治理城市污水，需要铺设一段全长为300米的污水排放管道．铺设完120米后，为了尽可能减少施工对城市交通所造成的影响，后来每天的工作量比原计划增加20%，结果共用了27天完成了这一任务．（1）求原计划每天铺设管道多少米？
（2）若原计划每天的支出为4000元，则现在比原计划少支出多少钱？
【方法指导】列分式方程的解应用题与列一元一次方程的解应用题的步骤基本上是相同的，只是在求解中去分母化为整式方程时，要注意不要漏乘没有分母的项，解出方程的解后一定要进行双重检验.
考点四：分式方程的实际应用
解： （1）设原计划每天铺设管道x米，依题意得：
解得：x=10，
经检验，x=10是原方程的解，且符合题意．
答：原计划每天铺设管道10米．
（2）∵
∴3×4000=12000（元），
答：现在比原计划少支出12000元钱．
请谈谈你的收获
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知
识
精
练
（一）选择题
D
D
1.使分式 无意义，x的取值是（ ）
A．0 B．1
C．-1 D．±1
2.下列三个分式 、 、 的最简公分母是（ ）
A. 4（m﹣n）x B. 2（m﹣n）x2
C. D. 4（m﹣n）x2
B
A
3. 化简 的结果是（ ）
A. 1 B. a(a+1)
C. a＋1 D.
4.化简 的结果是（ ）
A. 整式 B. 分式
C. 可能是整式，也可能是分式 D. 既不是整式，也不是分式
A
D
5.计算 的结果是（ ）
A. 1 B. -1
C. 0 D. a-5
6.化简 的结果是（ ）
A. x+1 B. x-1
C. -x D. x
C
B
7.下列方程不是分式方程的是（ ）
A. B.
C. D.
8.方程 的解是（ ）
A. x=-1 B. x=0
C. x=1 D. x=2
（二）填空题
1.3×10-3.
10-8
x2y
1. 0.0013这个数用科学记数法可表示为 .
2.计算：（2×10-5）2÷（2×10-1）2= .
3.计算： _____________．
4.甲乙两车工分别车1 500个螺丝，乙用新技术后生产率是甲的3倍，因此比甲少用20小时车完，则乙每小时车螺丝的个数是 个.
5.若关于x的分式方程 有非负数解，则a的取值范围是 ．
150
解：方程两边都乘以（x-2），
得：5x=3x﹣6，
解得： x=﹣3，
检验：当x=-3时，x-2≠0
因此，原方程的解为x=-3.
（三）解答题
1 .解分式方程：
解： （1） ∵a☆b=2a-b，
∴x☆5=2x-5，
∴（x☆5）＜-2可化为2x-5＜-2，解得x＜
2.（1）对于a，b定义一种新运算“☆”：a☆b=2a-b，例如：5☆3=2×5-3=7．若（x☆5）＜-2，求x的取值范围；
（2）先化简再求值： ，其中x的值是（1）中的正整数解．
2.（1）对于a，b定义一种新运算“☆”：a☆b=2a-b，例如：5☆3=2×5-3=7．若（x☆5）＜-2，求x的取值范围；
（2）先化简再求值： 其中x的值是（1）中的正整数解．
解： （2）原式=
=x+2
∵x＜ 且x为正整数解，
∴x=1，
∴当x=1时，原式=x+2=3．
3.（2016·东方校级模拟）某校师生到距学校20千米的文明生态村进行社会实践活动，甲班师生骑自行车先走，45分钟后，乙班师生乘汽车出发，结果两班师生同时到达，已知汽车的速度是自行车速度的2.5倍，两种车的速度各是多少？
解：设自行车速度为x千米/时，则汽车速度为2.5x千米/时．
由题意可列方程为
解这个方程，得x=16．
经检验，x=16适合题意．
故2.5x=40．答：自行车速度为16千米/时，汽车速度为40千米/时．
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人教版八年级数学上学期期末复习分式导学案
一、复习（知识体系）
( http: / / www.21cnjy.com )
二、考点精讲
考点一：分式的定义
例1 要使分式有意义，则x的取值应满足（ ）
A. x=-2 B.x≠2 C. x>-2 D. x≠-2【来源：21·世纪·教育·网】
例2若代数式的值等于0 ，则x=_________.
例3 分式可变形为（ ）
A. B. C. D.
例4将分式约分，正确的结果是（ ）
A. B. C. D.
考点二：分式的有关计算
例5 已知一粒大米的质量为0.000 0 ( http: / / www.21cnjy.com )21千克，这个数用科学记数法表示为（ ）
A. 0.21×10-4千克 B. 2.1×10-4千克 C. 2.1×10-5千克 D. 21×10-6千克21世纪教育网版权所有
例6 计算：（1）（2mn-2）-3·（-m-2n-1）-2；（2）（2ab2c-3）-2÷（a-2b）3.
例7 计算：.
例8 先化简，再求值：，其中a=3，b=1.
考点三：解分式方程
例9 （2016·四川）解方程：
例10 若方程有增根，求a的值.
考点四：分式方程的实际应用
例11 （2016 长沙模拟）长沙市为了治 ( http: / / www.21cnjy.com )理城市污水，需要铺设一段全长为300米的污水排放管道．铺设完120米后，为了尽可能减少施工对城市交通所造成的影响，后来每天的工作量比原计划增加20%，结果共用了27天完成了这一任务．
（1）求原计划每天铺设管道多少米？
（2）若原计划每天的支出为4000元，则现在比原计划少支出多少钱？
三、知识精练
（一）选择题
1.使分式无意义，x的取值是（ ）
A．0 B．1 C．-1 D．±1
2.下列三个分式、、的最简公分母是（ ）
A. 4（m﹣n）x B. 2（m﹣n）x2 C. D. 4（m﹣n）x2
3. 化简的结果是（ ）
A. 1 B. a(a+1) C. a＋1 D. 21cnjy.com
4.化简的结果是（ ）
A. 整式 B. 分式 C. 可能是整式，也可能是分式 D. 既不是整式，也不是分式www.21-cn-jy.com
5.计算的结果是（ ）
A. 1 B. -1 C. 0 D. a-5
6.化简的结果是（ ）
A. x+1 B. x-1 C. -x D. x
7.下列方程不是分式方程的是（ ）
A. B. C. D.21教育网
8.方程的解是（ ）
A. x=-1 B. x=0 C. x=1 D. x=2
（二）填空题
1. 0.0013这个数用科学记数法可表示为 .
2.计算：（2×10-5）2÷（2×10-1）2= .
3.计算：_____________．
4.甲乙两车工分别车1 500个螺丝，乙用新技术后生产率是甲的3倍，因此比甲少用20小时车完，则乙每小时车螺丝的个数是 个.2·1·c·n·j·y
5.若关于x的分式方程有非负数解，则a的取值范围是 ．
（三）解答题
1 .解分式方程：．
2.（1）对于a，b定义一种新运算“☆”：a☆b=2a-b，例如：5☆3=2×5-3=7．若（x☆5）＜-2，求x的取值范围；（2）先化简再求值：，其中x的值是（1）中的正整数解．21·cn·jy·com
3.（2016·东方校级模拟）某校师生到距 ( http: / / www.21cnjy.com )学校20千米的文明生态村进行社会实践活动，甲班师生骑自行车先走，45分钟后，乙班师生乘汽车出发，结果两班师生同时到达，已知汽车的速度是自行车速度的2.5倍，两种车的速度各是多少？21·世纪*教育网
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人教版八年级数学上学期期末复习分式导学案
一、复习（知识体系）
二、考点精讲
考点一：分式的定义
例1 要使分式有意义，则x的取值应满足（ ）
A. x=-2 B.x≠2 C. x>-2 D. x≠-2
例2若代数式的值等于0 ，则x=_________.
【答案】2．
【解析】由分式的值为零的条件得x2﹣5x+6=0，2x﹣6≠0，
由x2﹣5x+6=0，得x=2或x=3，
由2x﹣6≠0，得x≠3，
∴x=2，
故答案为2．
【归纳梳理】分式的值为零，需同时具备两个条件：（1）分子为0；（2）分母不为0．这两个条件缺一不可．
例3 分式可变形为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】根据分式的基本性质，可得：.
故应选D．
【方法指导】要熟悉掌握分式的基本性质，还要牢记分式的符号法则：分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变．
例4将分式约分，正确的结果是（ ）
A. B. C. D.
考点二：分式的有关计算
例5 已知一粒大米的质量为0.000 021千克，这个数用科学记数法表示为（ ）
A. 0.21×10-4千克 B. 2.1×10-4千克 C. 2.1×10-5千克 D. 21×10-6千克
【答案】C
【解析】
试题分析：根据科学记数法的表示方法求出结果.
解：0.000 021= 2.1×10-5.
故应选C
【方法指导】绝对值小于1的数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10-n，1≤∣a∣＜10，n是由原数小数点后第一位数字开始到第一个不为零的数字为止的位数所决定的
例6 计算：（1）（2mn-2）-3·（-m-2n-1）-2；（2）（2ab2c-3）-2÷（a-2b）3.
【答案】(1) 4mn8；(2)
【解析】
试题分析：根据整数指数幂的运算法则进行运算求出结果.
解：（1）（2mn-2）-3·（-m-2n-1）-2
= 4m-3n6·m4n2
=4mn8；
（2）（2ab2c-3）-2÷（a-2b）3
例7 计算：.
【答案】
【解析】
试题分析：根据分式的混合运算的顺序，先把括号里面的计算出来，然后再进行除法运算.
解：
.
故答案是.
例8 先化简，再求值：，其中a=3，b=1.
【答案】
【解析】
试题分析：首先利用分式的加法法则把代数式化简，然后再把字母的值代入化简后的代数式中求值.
解：
，
当a=3，b=1时，
原式
考点三：解分式方程
例9 （2016·四川）解方程：
【答案】x=3.
【解析】方程两边乘以x-2，
得：1－3（x－2）=－（x－１）
整理得：－2x=－6，
解得x=3
检验：当x=3时，x－2≠0
因此，原方程的解为x=3.
【方法指导】先将分式方程去分母转化为整式方程，再求出整式方程的解得到x的值，检验即可得到分式方程的解．
例10 若方程有增根，求a的值.
【答案】2；-3.
【解析】方程的增根是x=2，
把方程的两边同时乘以x-2，
得到：a=x-2-3，
把x=2代入a=x-2-3，
得到：a=2-2-3，
解得：a=-3.
【方法指导】根据增根的定义可得，方程的增根是x=2，去分母把方程转化为整式方程，把x=2代入方程得到关于a的一元一次方程，解一元一次方程求出a的值.
考点四：分式方程的实际应用
例11 （2016 长沙模拟）长沙市为了治理城市污水，需要铺设一段全长为300米的污水排放管道．铺设完120米后，为了尽可能减少施工对城市交通所造成的影响，后来每天的工作量比原计划增加20%，结果共用了27天完成了这一任务．
（1）求原计划每天铺设管道多少米？
（2）若原计划每天的支出为4000元，则现在比原计划少支出多少钱？
【答案】(1)10m；(2)12000元.
【分析】（1）设原计划每天铺设管道x米，根据等量关系：铺设120米管道的时间+铺设（300-120）米管道的时间=27天，可列方程求解．
（2）原计划所用天数-实际所用天数=少用的天数，即可得出结果．
【解答】解：设原计划每天铺设管道x米，
依题意得：
解得：x=10，
经检验，x=10是原方程的解，且符合题意．
答：原计划每天铺设管道10米．
（2）∵，
∴3×4000=12000（元），
答：现在比原计划少支出12000元钱．
【方法指导】列分式方程的解应用题与列一元一次方程的解应用题的步骤基本上是相同的，只是在求解中去分母化为整式方程时，要注意不要漏乘没有分母的项，解出方程的解后一定要进行双重检验.
三、知识精练
（一）选择题
1.使分式无意义，x的取值是（ ）
A．0 B．1 C．-1 D．±1
【答案】D
【解析】
试题分析：根据分式的分母为0时，分式无意义得到关于x的方程，解方程求出x的值.
解：因为分式无意义，
所以，
解得：x=±1.
故应选D.
2.下列三个分式、、的最简公分母是（ ）
A. 4（m﹣n）x B. 2（m﹣n）x2 C. D. 4（m﹣n）x2
【答案】D
【解析】
试题分析：分式、、的分母分别是2x2、4（m﹣n）、x，故最简公分母是4（m﹣n）x2．
故应选D.
3. 化简的结果是（ ）
A. 1 B. a(a+1) C. a＋1 D.
【答案】B
【解析】
试题分析：根据分式的除法法则进行运算求出结果.
解：.
故应选B.
4.化简的结果是（ ）
A. 整式 B. 分式 C. 可能是整式，也可能是分式 D. 既不是整式，也不是分式
【答案】A
【解析】
试题分析：根据分式的乘法法则进行化简求出结果.
解：.
故应选A.
5.计算的结果是（ ）
A. 1 B. -1 C. 0 D. a-5
【答案】A
【解析】
试题分析：根据分式的加减法法则进行计算，然后再约分化简得到结果.
解：.
故应选A.
6.化简的结果是（ ）
A. x+1 B. x-1 C. -x D. x
【答案】D
【解析】
试题分析：根据分式的加减法法则进行计算，然后再约分化简得到结果.
解：.
故应选D.
7.下列方程不是分式方程的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
试题分析：根据分式方程的定义进行判断.
解：只有的分母中不含有未知数，所以不是分式方程.
故应选C.
8.方程的解是（ ）
A. x=-1 B. x=0 C. x=1 D. x=2
【答案】B
【解析】
试题分析：首先去分母把分式方程转化为整式方程，然后再解整式方程求出x的值，最后一定要把求出的解代入最简公分母进行检验.
解：，
方程两边同时乘以x-1，得到2x=x-1+1，
解得：x=0，
把x=0代入x-1，
得到x-1=-1，
所以x=0是原分式方程的解.
故应选B.
（二）填空题
1. 0.0013这个数用科学记数法可表示为 .
【答案】1.3×10-3
【解析】0.0013=1.3×10-3.
2.计算：（2×10-5）2÷（2×10-1）2= .
【答案】10-8
【解析】
试题分析：根据整数指数幂的运算法则进行运算求出结果.
解：（2×10-5）2÷（2×10-1）2
=（4×10-10）÷(4×10-2)
=10-8.
故答案是10-8
3.计算：_____________．
【答案】
【解析】
试题分析：根据分式的乘法法则运算求出结果.
解：.
故答案是.
4.甲乙两车工分别车1 500个螺丝，乙用新技术后生产率是甲的3倍，因此比甲少用20小时车完，则乙每小时车螺丝的个数是 个.
【答案】150
【解析】
试题分析：首先设乙每小时车螺丝的个数是x个，则甲每小时车螺丝的个数是个，根据乙比甲少用20小时列方程求解.
解：设乙每小时车螺丝的个数是x个，则甲每小时车螺丝的个数是个，
根据题意得：，
解得x=150.经检验，x=150是原分式方程的解.
故答案是150
5.若关于x的分式方程有非负数解，则a的取值范围是 ．
【答案】且.
【解析】分式方程去分母，得
2x=3a﹣4（x﹣1），
解得 ：.
∵分式方程的解为非负数，
∴，
解得： ，
又当x=1时，分式方程无意义，
∴把x=1代入，
得：，
∴要使分式方程有意义，必须，
∴a的取值范围是且.
【方法指导】解分式方程用含a的代数式表示出x，根据方程的解的取值范围得到关于a的不等式，解不等式求出a的取值范围.
（三）解答题
1 .解分式方程：．
【答案】x=﹣3．
【解析】
试题分析：先将分式方程去分母转化为整式方程，再求出整式方程的解得到x的值，检验即可得到分式方程的解．
解：方程两边都乘以（x-2），
得：5x=3x﹣6，
解得： x=﹣3，
检验：当x=-3时，x-2≠0
因此，原方程的解为x=-3.
2.（1）对于a，b定义一种新运算“☆”：a☆b=2a-b，例如：5☆3=2×5-3=7．若（x☆5）＜-2，求x的取值范围；（2）先化简再求值：，其中x的值是（1）中的正整数解．
【答案】(1)x<；(2)3.
【解析】
试题分析：（1）先根据题意得出关于x的不等式，求出x的取值范围即可；
（2）先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再根据（1）中x的取值范围得出x的整数解，把x的值代入进行计算即可.
（1）解：∵a☆b=2a-b，
∴x☆5=2x-5，
∴（x☆5）＜-2可化为2x-5＜-2，解得x＜；
（2）解：原式=
=x+2，
∵x＜且x为正整数解，
∴x=1，
∴当x=1时，
原式=x+2=3．
3.（2016·东方校级模拟）某校师生到距学校20千米的文明生态村进行社会实践活动，甲班师生骑自行车先走，45分钟后，乙班师生乘汽车出发，结果两班师生同时到达，已知汽车的速度是自行车速度的2.5倍，两种车的速度各是多少？
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