四川省成都经济技术开发区实验高级中学校2017届高三“一诊”模拟（期末模拟）数学（理）试题

成都经开区实验高级中学2014级高三上期期末模拟考试试卷
数
学（理工类）
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择），考生作答时，须将答案答答题卡上，在本试卷、草稿纸上答题无效。满分150分，考试时间120分钟。
第Ⅰ卷(选择题，共60分)
注意事项：
1．必须使用2B铅笔在答题卡上将所选答案对应的标号涂黑.
2．考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回。
选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合A={y|y=x2}，B={x|y=lg（1﹣x）}，则A∩B=
A．[0，1]
B．[0，1）
C．（﹣∞，1）
D．（﹣∞，1]
2.将函数的图像沿轴向右平移个单位后，得到的图像关于原点对称，则的一个可能取值为
A.
B.
C.
D.
已知是平面内的两条不同直线，直线在平面外，则是的
A.充分不必要条件
B.
必要不充分条件
C.
充要条件
D.
既不充分也不必要条件
4.已知函数是上的奇函数，且满足，当时，，则方程在解的个数是
A．3
B．4
C．5
D.6
5.设函数,


A．3

B．6

C．9

D．12
6.
已知命题对于恒有成立；命题奇函数的图像必过原点，则下列结论正确的是
A．为真
B．为真
C．为假
D．
为真
7.在ABC中．．则A的取值范围是
A．（0，]
B．[
，）
C．（0，]
D．[
，）
8.命题“
且”的否定形式是
A.且
B.或
C.且
D.或
9.从某中学甲、乙两个班中各随机抽取10
( http: / / www.21cnjy.com )名同学，测量他们的身高(单位：cm)后获得身高数据的茎叶图如图1，在这20人中，记身高在150,160)，160,170)，170,180)，180,190]的人数依次为A1，A2，A3，A4，图2是统计样本中身高在一定范围内的人数的程序框图，则下列说法中正确的是
10.在的展开式中，记项的系数为，则
（
）
A.45
B.60
C.120
D.
210
11.已知函数，若关于的不等式恰有1个整数解，则实数的最大值是
(A)
2
(B)
3
(C)
5
(D)
8
12．如图所示，正方体ABCD﹣A′B′
( http: / / www.21cnjy.com )C′D′的棱长为1，E，F分别是棱AA′，CC′的中点，过直线E，F的平面分别与棱BB′、DD′交于M，N，设BM=x，x∈[0，1]，给出以下四个命题：
①平面MENF⊥平面BDD′B′；
②当且仅当x=时，四边形MENF的面积最小；
③四边形MENF周长L=f（x），x∈[0，1]是单调函数；
④四棱锥C′﹣MENF的体积V=h（x）为常函数；以上命题中假命题的序号为
A．①④
B．②
C．③
D．③④
二、填空题（每小题4分，共20分）
13.
计算定积分___________
14.某城区有农民、工人、知识分子家庭共计
( http: / / www.21cnjy.com )2
000户，其中农民家庭1
800户，工人家庭100户.现要从中抽取容量为40的样本调查家庭收入情况，则在整个抽样过程中，可以用到的抽样方法的是__________.(填序号)
①简单随机抽样；②系统抽样；③分层抽样.
15.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a,b,c,设S为△ABC的面积，满足
则角C的大小为　　　　　　　
16
设函数的定义域为D，如果存在正实数，使对任意，都有，且恒成立，则称函数为D上的“型增函数”．已知是定义在R上的奇函数，且当时，，若为R上的“2011型增函数”，则实数的取值范围是
．
三、解答题（共6小题，共70分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程）
17.（本题满分12分）
已知且，函数，
，记
（1）求函数的定义域及其零点；
（2）若关于的方程在区间内仅有一解，求实数的取值范围.
18.（本小题满分12分）
如图，三棱柱中，点在平面ABC内的射影D在AC上，，.
（I）证明：；
（II）设直线与平面的距离为，求二面角的大小.
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19.（本小题满分12分）某校新、老校区之间开车单程所需时间为T，T只与道路通畅状况有关，对其容量为100的样本进行统计，结果如下：
T（分钟）
25
30
35
40
频数（次）
20
30
40
10
（Ⅰ）求T的分布列与数学期望ET；
（Ⅱ）刘教授驾车从老校区出
( http: / / www.21cnjy.com )发，前往新校区做一个50分钟的讲座，结束后立即返回老校区，求刘教授从离开老校区到返回老校区共用时间不超过120分钟的概率．
20.
（本小题满分12分）
已知数列满足，其中.
(1)求证是等差数列，并求数列的通项公式；
(2)设….若对任意的恒成立，求的最小值．
21.（本题满分12分）
设函数,
其中,
和是实数,
曲线恒与轴相切于坐标原点.
(1)
求常数的值；
(2)当时，讨论函数的单调性；
（3）当时关于的不等式恒成立,
求实数的取值范围.
请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分。作答时请写清题号，本小题满分10分。
22.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．
已知点的极坐标为，曲线
的参数方程为（为参数）．
（1）直线过且与曲线相切，求直线的极坐标方程；
（2）点与点关于轴对称，求曲线上的点到点的距离的取值范围
23.（本题满分10分）选修4-5:不等式选讲
已知函数f(x)＝|2x－a|＋a.
(1)当a＝2时，求不等式f(x)≤6的解集；
(2)设函数g(x)＝|2x－1|.当x∈R时，f(x)＋g(x)≥3，求a的取值范围.
成都经开区实验高级中学2014级高三上期期末模拟考试试卷
数学（理工类）参考答案
1—5
BDBBC
6—10
DCDCC
11—12
CC
13.
　14、①②③
15.　
16、
17.解：（1）（且）
，解得，所以函数的定义域为
2分
令，则……（
）方程变为
，，即
解得，……4分
经检验是（
）的增根，所以方程（
）的解为，所以函数的零点为
5分
（2）（）
，
8分
设，则函数在区间上是减函数，
当时，此时，，所以。
10分
①若，则，方程有1解；②若，则，方程有1解
12分
18.解：解法一：（I）平面，平面，故平面平面．又，
平面．连结，∵侧面为菱形，故，由三垂线定理得；（II）平面平面，故平面平面．作为垂足，则平面．又直线∥平面，因而为直线与平面的距离，．∵为的角平分线，故．作为垂足，连结，由三垂线定理得，故为二面角的平面角．由得为的中点，∴二面角的大小为．
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解法二：以为坐标原点，射线为轴的正半轴，以长为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系．由题设知与轴平行，轴在平面内．
（I）设，由题设有则由得，即（①）．于是．
（II）设平面的法向量则即．
故，且．令，则，点到平面的距离为．又依题设，点到平面的距离为．代入①解得（舍去）或．于是．设平面的法向量，则，即，故且．令，则．又为平面的法向量，故，∴二面角的大小为．
19.【解答】解（Ⅰ）由统计结果可得T的频率分布为
T（分钟）
25
30
35
40
频率
0.2
0.3
0.4
0.1
以频率估计概率得T的分布列为
T
25
30
40
P
0.2
0.3
0.1
从而数学期望ET=25×0.2+30×0.3+35×0.4+40×0.1=32（分钟）
（Ⅱ）设T1，T2分别表示往、返所需时
( http: / / www.21cnjy.com )间，T1，T2的取值相互独立，且与T的分布列相同，设事件A表示“刘教授共用时间不超过120分钟”，由于讲座时间为50分钟，所以事件A对应于“刘教授在路途中的时间不超过70分钟”
P（）=P（T1+T2＞70）=P
( http: / / www.21cnjy.com )（T1=35，T2=40）+P（T1=40，T2=35）+P（T1=40，T2=40）=0.4×0.1+0.1×0.4+0.1×0.1=0.09故P（A）=1﹣P（）=0.91
20.
(1)证明：∵an＋1＝－
，∴an＋1＋1＝－＋1＝＝，
2分
由于an＋1≠0，∴＝＝1＋，
3分
∴{}是以1为首项，1为公差的等差数列．
4分
＝1＋(n－1)＝n，
∴an＝－1．
6分
(2)∵Tn＝an＋an＋1＋…＋a2n－1p－n，
∴n＋an＋an＋1＋…＋a2n－1p，
即(1＋an)＋(1＋an＋1)＋(1＋an＋2)＋…＋(1＋a2n－1)p，对任意n∈N
恒成立，
7分
而1＋an＝，
设H(n)＝(1＋an)＋(1＋an＋1)＋…＋(1＋a2n－1)，
8
分
∴H(n)＝＋＋…＋，
H(n＋1)＝＋＋…＋＋＋，
9分
∴H(n＋1)－H(n)＝＋－＝－<0，
∴数列{H(n)}单调递减，
10分
∴n∈N
时，H(n)H(1)＝1，故p.
∴p的最小值为1.
12分
21.解：
(1)
对求导得:
,
根据条件知,
所以.
(2)
设
则,
,
.
单减,
单增,
单减.
(3)
由(1)得,
,
.
①当时,
由于,
所以,
于是在上单调递增,
从而,
因此在上单调递增,
即,
而且仅有;
②当时,
由,
有,
于是在上单调递减,
即,
而且仅有;
③当时,
令,
当时,
,
于是在上单调递减,
从而,
因此在上单调递减,
即，
而且仅有，综上可知,
所求实数的取值范围是.
22.试题解析：（1）由题意得点的直角坐标为，曲线的一般方程为．．．．．．．．．．2分
设直线的方程为，即，．．．．．．．．．．．．．．．．．3分
∵直线过且与曲线
相切，∴，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分
即，解得，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分
∴直线的极坐标方程为或，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分
（2）∵点与点关于轴对称，∴点的直角坐标为，．．．．．．．．．．．．．．．．．．7分
则点到圆心的距离为，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分
曲线上的点到点的距离的最小值为，最大值为，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．
9分曲线
上的点到点的距离的取值范围为．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分
23.解　(1)当a＝2时，f(x)＝|2x－2|＋2.
解不等式|2x－2|＋2≤6得－1≤x≤3.
因此f(x)≤6的解集为{x|－1≤x≤3}.
(2)当x∈R时，
f(x)＋g(x)＝|2x－a|＋a＋|1－2x|≥|2x－a＋1－2x|＋a
＝|1－a|＋a.
所以当x∈R时，f(x)＋g(x)≥3等价于|1－a|＋a≥3.
当a≤1时，①等价于1－a＋a≥3，无解.
当a>1时，①等价于a－1＋a≥3，解得a≥2.
所以a的取值范围是[2，＋∞).
图1