第3章 图形的平移与旋转提升练习（含答案）

第3章
图形的平移与旋转
提升练习
专训1.图形的变换——平移、对称、旋转在几何证明中的巧用
名师点金：
在进行与图形变换有关的计算或证明时，往往需要在图形中添加一些辅助线，添加辅助线后能使题目中的分散条件集中，较容易找到一些量之间的关系，使数学问题较轻松地解决．常见的辅助线作法有平移法、旋转法、翻折法等．
翻折法
1．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC.
(1)若AC＝BC，∠B∶∠C＝2∶1，试写出图中的所有等腰三角形，并给予证明；
(2)若AB＋BD＝AC，求∠B∶∠C的值．
(第1题)
平移法
2．如图，在△ABC中，E，F分别为AB，AC上的点，且BE＝CF，请判断FE与BC的大小关系，并说明理由．
(第2题)
旋转法
3．如图，△ABC是等边三角形，△BDC是顶角∠BDC＝120°的等腰三角形，以D为顶点作60°角，角的两边分别交AB，AC于点M，N，连接MN，试探究BM，MN，NC之间的关系，并加以证明．
(第3题)
4．如图，在△ABC中，M是BC的中点，E，F分别在AC，AB上，且ME⊥MF，求证：EF(第4题)
专训2.全章热门考点整合应用
名师点金：
通过对近几年全国各地的中考试题研究发现，对有关图形的平移、旋转与中心对称、图形的全等等知识点的考查呈发展趋势，一般对于图形的识别，根据图形变换作图以及图形变换性质的有关计算是热门考点，并且与以后所学的函数、相似等知识点融合在一起作为压轴题考查，其考点可概括为：四个概念，三个性质，一个设计，三个技巧，两种思想．
四个概念
概念1　平移的定义
1．分析下列给出的五种运动是否属于平移．
(1)急刹车的汽车在地面上的运动；
(2)沿直线行驶的汽车的运动；
(3)时钟分针的运动；
(4)高层建筑的电梯的运动；
(5)小球从高处向下坠落(球不转动)．
概念2　旋转的定义
2．如图，等边三角形ABC经过平移后成为△BDE，其平移的方向为点A到点B的方向，平移的距离为线段AB的长．△BDE能否看成是由△ABC经过旋转得到的？如果能，请指出旋转中心，并说明旋转角的大小．
(第2题)
概念3　中心对称的定义
3．如图，如果甲、乙关于点O成中心对称，那么乙图中不符合题意的一块是(　　)
(第3题)
概念4　中心对称图形的定义
4．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是(　　)
三个性质
性质1　平移的性质
5．某商场重新装修后，准备在大厅的主楼梯上铺设一种红色的地毯，已知这种地毯的批发价为每平方米40元，主楼梯的宽为3
m，其侧面如图所示，则买地毯至少需要多少元？
(第5题)
性质2　旋转的性质
6．如图，D是等腰直角三角形ABC内一点，BC是斜边．如果将△ABD绕点A按逆时针方向旋转到△ACD′的位置，求∠ADD′的度数．
(第6题)
性质3　对称的性质
7．如图，在一块平行四边形的菜地中，有一口圆形的水井，现在张大爷要在菜地上修一条笔直的小路将菜地面积二等分以播种不同的蔬菜，且要使水井在小路上，以便有利于对两块地进行浇灌，请你帮助张大爷画出小路修建的位置．
(第7题)
一个设计——对称图案的设计
8．利用如图的“基本图形”，经过旋转设计一个你喜欢的图案．
(第8题)
三个技巧
技巧1　用平移法构造图形
9．如图，在六边形ABCDEF中，已知AB∥DE，AF∥CD，BC∥FE，AB＝DE，AF＝CD，BC＝FE，FD⊥BD，FD＝24
cm，BD＝18
cm，你能求出六边形ABCDEF的面积吗？
(第9题)
技巧2　用轴对称——翻折法构造图形
10．如图，AD是△ABC的一条角平分线，且AB＝AC＋DC，求证：∠C＝2∠B.
(第10题)
技巧3　用中心对称——旋转(180°)法构造图形
11．如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，E为BC边的中点，∠BAE＝∠EAF，AF与DC的延长线相交于点F.
(1)作出△ABE关于点E成中心对称的图形；
(2)探究线段AB与AF，CF之间的数量关系，并证明你的结论．
(第11题)
两种思想
思想1　转化思想
12．如图，P是正方形ABCD的边CD上一点，∠BAP的平分线交边BC于点Q，试说明AP＝DP＋BQ.
(第12题)
思想2　数形结合思想
13．如图，△ABC在平面直角坐标系中，将△ABC向右平移3个单位长度后得到△A1B1C1，再将△A1B1C1绕点O旋转180°后得
(第13题)
到△A2B2C2，
则下列说法正确的是(　　)
A．A1的坐标为(3，1)
B．S四边形ABB1A1＝3
C．B2C＝2
D．∠AC2O＝45°
答案
专训1
(第1题)
1．解：(1)等腰三角形有3个：△ABC，△ABD，△ADC.
证明：∵AC＝BC，　
∴△ABC是等腰三角形．
∴∠B＝∠BAC.
∵∠B∶∠C＝2∶1，∠B＋∠BAC＋∠C＝180°，
∴∠B＝∠BAC＝72°，∠C＝36°.
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠DAC＝∠BAC＝36°.
∴∠B＝∠ADB＝72°.
∴△ABD和△ADC是等腰三角形．
(2)如图，在AC上截取AE＝AB，连接DE(相当于将AB边沿AD向右翻折，与AC边重合，B点落在E点处)，
又∠BAD＝∠DAE，AD＝AD，
∴△ABD≌△AED.
∴∠AED＝∠B，BD＝DE.
∵AB＋BD＝AC，
∴BD＝EC.
∴DE＝EC.
∴∠EDC＝∠C.
∴∠B＝∠AED＝∠EDC＋∠C＝2∠C，即∠B∶∠C＝2∶1.
(第2题)
2．解：FE如图，将EF平移到BM，则此时BE平移到MF，由于CF＝BE＝MF，考虑到MF与CF的对称关系，作∠MFC的平分线交BC于点D，连接MD，易得DM＝DC.因为BD＋DM>BM，所以BC>FE，即FE点拨：本题从平移的角度来思考问题，从而降低了求解的难度．
3．解：MN＝BM＋NC.证明如下：
如图，延长NC到点E，使CE＝BM，连接DE(相当于将△DBM绕点D旋转至△DCE)．
∵△ABC是等边三角形，△BDC是顶角∠BDC＝120°的等腰三角形，
∴∠ABC＝∠ACB＝60°，∠DBC＝∠DCB＝＝30°.
∴∠DBM＝∠DCE＝90°.
又∵DB＝DC，BM＝CE，
∴△DBM≌△DCE.
∴DM＝DE，∠BDM＝∠CDE.
∴∠EDN＝∠CDN＋∠CDE＝∠CDN＋∠BDM＝120°－60°＝60°.
∵DM＝DE，∠MDN＝∠EDN，DN＝DN，
∴△DMN≌△DEN.∴MN＝EN，
∴MN＝NC＋CE＝BM＋NC.
(第3题)
　(第4题)
4．证明：由题意可知BM＝MC，
∴可将△BFM绕点M旋转180°得到△CNM，如图．
∴BF＝CN，FM＝MN.
连接EN，又∵ME⊥MF，∴EN＝EF.
在△ENC中，EN∴EF专训2
1．解：(1)是平移，符合平移的定义和特征．
(2)是平移，沿一定的方向移动，且形状、大小均未改变．
(3)不是平移，不是沿一定方向移动一定的距离．
(4)是平移，是上下平移的．
(5)是平移，是向下平移的．
方法总结：判断物体是否做平移运动的方法：判断变化前后各对应部分移动的方向是否相同，移动的距离是否相等，物体的大小和形状是否发生变化．
2．解：因为等边三角形的三边相等，三个角都等于60°，所以∠ABC＝∠CBE＝∠EBD＝60°.若△ABC绕点B按顺时针方向旋转120°，则△ABC与△EBD能够完全重合．此时，旋转中心是点B，旋转角的大小为120°，旋转方向为顺时针方向．因此△BDE可以看成由△ABC以点B为旋转中心，按顺时针方向旋转120°得到的．
方法总结：在图形的旋转过程中，判断谁是旋转中心，要看旋转中心是在图形上还是在图形外．若在图形上，哪一点在旋转过程中位置没有改变，则哪一点就是旋转中心；若在图形外，则对应点连线的垂直平分线的交点就是旋转中心．旋转的角度就是对应线段的夹角或对应顶点与旋转中心连线的夹角．
3．C
4．C　点拨：根据轴对称图形和中心对称图形的定义可知，选项A，B是轴对称图形，不是中心对称图形；选项C既是轴对称图形，又是中心对称图形；选项D是中心对称图形，不是轴对称图形．故选C.
5．解：先利用平移的知识分别将楼梯水平方向的线段沿竖直方向平移到BC上，竖直方向的线段沿水平方向平移到AC上，则铺地毯的横向线段的长度之和就等于边BC的长度，纵向线段的长度之和就等于边AC的长度，所以地毯的总长度至少为5.6＋2.8＝8.4(m)．故地毯的总面积为8.4×3＝25.2(m2)．所以购买地毯至少需要25.2×40＝1
008(元)．
6．解：(方法1：利用图形全等的性质)由题意，得△ABD≌△ACD′，∴∠BAD＝∠CAD′，AD＝AD′.
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠BAC＝90°.
∴∠BAD＋∠CAD＝90°.
∴∠CAD′＋∠CAD＝90°，
即△ADD′为等腰直角三角形．
∴∠ADD′＝45°.
(方法2：利用旋转图形对应角的关系)由题图可知，AB与AC是对应边，AD与AD′是对应边，
∴AB＝AC，且∠BAC是旋转角，AD＝AD′，且∠DAD′是旋转角．
又∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠BAC＝90°.
∴∠DAD′＝∠BAC＝90°.
∴△DAD′是等腰直角三角形．
∴∠ADD′＝45°.
7．解：如图，小路应修建在直线AB上．
点拨：平行四边形和圆都是中心对称图形，根据中心对称图形的性质，小路的位置应在平行四边形的对称中心A和圆的对称中心B的连线上．
(第7题)
(第8题)
8．解：将“基本图形”绕着点O按顺时针方向旋转45°七次，便可得到一个美丽的图案，如图．
点拨：本题答案不唯一，只要是由已知的“基本图形”旋转而成的均可．
(第9题)
9．解：能．如图，将△DEF竖直向上平移，使点D与点B重合，点E与点A重合，得到△BAG，将△BCD水平向左平移，使点D与点F重合，点C与点A重合，得到△GAF，
则△DEF≌△BAG，△BCD≌△GAF，GB∥FD，GF∥BD，
∴S△DEF＝S△BAG，S△BCD＝S△GAF.
又∵FD⊥BD，
∴S六边形ABCDEF＝S△DEF＋S△BCD＋S四边形BDFA＝S△BAG＋S△GAF＋S四边形BDFA＝FD·BD＝24×18＝432(cm2)．
点拨：平移体现了图形与图形之间的一种变换关系，有时为了把分散的条件集中起来，常利用图形的平移变换．平移变换可以开阔思路，化难为易．
(第10题)
10．证明：如图，在AB上截取AE＝AC，连接DE(即把△ACD沿AD翻折得到△ADE)，
在△AED和△ACD中，
∵AE＝AC，∠EAD＝∠CAD，AD＝AD，
∴△AED≌△ACD.
∴DE＝DC，∠AED＝∠C.
又∵AB＝AC＋DC＝AE＋BE，
∴DE＝BE.∴∠B＝∠EDB.
∴∠C＝∠AED＝∠B＋∠EDB＝2∠B.
　(第11题)
11．解：(1)如图，延长AE到点M，使EM＝AE.连接FM，则△MCE为所求．
(2)AB＝AF＋CF.证明：∵△MCE为△ABE关于点E成中心对称的图形，
∴MC＝AB，∠M＝∠BAE.
∴AB∥MC.
∴D，C，F，M共线．
又∵∠BAE＝∠EAF.
∴∠EAF＝∠M.
∴MF＝AF.
∵MC＝MF＋CF，
∴AB＝AF＋CF.
12．解：如图，将△ABQ绕点A逆时针旋转90°后得到△ADE.
∴∠EAQ＝90°，△AED≌△AQB.
∴∠E＝∠AQB，∠EAD＝∠QAB，DE＝BQ，∠ADE＝∠B＝90°.
∴E，D，P三点共线．
又∵∠BAP的平分线交边BC于点Q，AD∥BC，
∴∠PAE＝90°－∠PAQ＝90°－∠BAQ＝∠DAQ＝∠AQB＝∠E.
∴AP＝PE＝DP＋DE＝DP＋BQ.
点拨：将所给的图形转化成已有图形：在几何问题中遇到陌生问题时，要先观察图形，将其向已有的基本图形转化，从而将问题简化．如本题可以将△ABQ旋转到△ADE的位置，将线段的和DP＋BQ表示成一条线段PE，再证明PE＝AP.
(第12题)
13．D　点拨：先根据题中的平移和旋转作出图形，如图，再数形结合进行逐项分析．A1的坐标为(1，3)，S四边形ABB1A1＝6，B2C＝，
∠AC2O＝45°.故选D.
(第13题)