2017河北中考数学7.1圆的有关概念及性质教材知识梳理

第七章　圆
第一节　圆的有关概念及性质
,河北8年中考命题规律)
年份
题号
考查点
考查内容
分值
总分
2016
9
三角形的内切圆，外接圆
考查网格中三角形内心和外心位置
3
3
2015
6
三角形的外接圆
考查圆内接三角形的外心位置
3
3
2014
25(1)
圆周角定理，垂径定理
以圆折叠为背景，利用垂径定理，圆周角定理，(1)求弦心距及角度数；(2)求折痕长
3
3
2013
14
垂径定理
涉及利用垂径定理求圆半径，从而求阴影部分面积
3
3
2012
5
圆周角定理，垂径定理
圆周角定理与垂径定理结合的结论判断题
2
2
2011
16
圆周角定理
利用圆周角定理、等腰三角形性质求角度
3
3
2010
6
垂径定理的推论
根据垂径定理的推论找圆弧所在圆对应的圆心
2
2
2009
5
圆周角定理
以正方形的内切圆为背景利用正方形对角线互相垂直及圆周角定理，求角度数
2
20
垂径定理应用
以半圆形桥洞为背景，利用垂径定理及解直角三角形解决实际问题
8
10
命题规律
纵观河北8年中考，本节内容在中考中每年都要设置一道(除2009年两题外)且为每年必考考点，分值2～10分，涉及的题型，填空、选择都有，难度有的较高，也有中等难度的题，其中圆周角定理考查了2次，垂径定理在选择题中考了3次，解答题中考了1次，而垂径定理与圆周角定理结合考查了2次，三角形的外心考查了1次．
命题预测
预计2017年河北中考在此考点上仍会以垂径定理和圆周角定理为主，三种题型都有可能出，其难易度也不定，但命中基础题可能性较大，应强化训练.
,河北8年中考真题及模拟)
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　垂径定理及推论(5次)
1．(2010河北6题2分)如图，在5×5正方形网格中，一条圆弧经过A、B、C三点，那么这条圆弧所在圆的圆心是(　B　)
　
　　　　　
　　　　　
　　　　
A．点P
B．点Q
C．点R
D．点M
(第1题图)
　　　(第2题图)
2．(2012河北5题2分)如图，CD是⊙O的直径，AB是弦(不是直径)，AB⊥CD于点E，则下列结论正确的是(　D　)
A．AE＞BE
B.＝
C．∠D＝∠AEC
D．△ADE∽△CBE
3．(2009河北20题8分)如图是一个半圆形桥洞截面示意图，圆心为O，直径AB是河底线，弦CD是水位线，CD∥AB，且CD＝24
m，OE⊥CD于点E.已测得sin∠DOE＝.
(1)求半径OD；
(2)根据需要，水面要以每小时0.5
m的速度下降，则经过多长时间才能将水排干？
解：(1)OD＝13
m；(2)10小时．
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　圆周角定理及推论(4次)
4．(2009河北5题2分)如图，四个边长为1的小正方形拼成一个大正方形，A、B、O是小正方形顶点，⊙O的半径为1，P是⊙O上的点，且位于右上方的小正方形内，则∠APB等于(　B　)
A．30°
B．45°
C．60°
D．90°
(第4题图)
　　　　(第5题图)
5．(2011河北16题3分)如图，点O为优弧ACB所在圆的圆心，∠AOC＝108°，点D在AB延长线上，BD＝BC，则∠D＝__27°__．
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"../../../../../../中考王——河北数学/中考王%20%20河北数学Word/命点3.TIF"
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　三角形的外心及圆内接三角形(2次)
6．(2016河北9题23分)如图为4×4的网格，A，B，C，D，O均在格点上，则点O是(　B　)
A．△ACD的外心
B．△ABC的外心
C．△ACD的内心
D．△ABC的内心
(第6题图))　　　
(第7题图))
7．(2015河北6题3分)如图，AC，BE是⊙O的直径，弦AD与BE交于点F，下列三角形中，外心不是点O的是(　B　)
A．△ABE
　　　B．△ACF
C．△ABD
　　　D．△ADE
中考考点清单)
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　圆的有关概念
圆的定义
定义1：在一个平面内，一条线段绕着它固定的一个端点旋转一周，另一个端点所形成的图形叫做圆．
定义2：圆是到定点的距离①__等于__定长的所有点组成的图形．
弦
连接圆上任意两点的②__线段__叫做弦．
直径
直径是经过圆心的③__弦__，是圆内最④__长__的弦.
弧
圆上任意两点间的部分叫做弧，弧有⑤优弧、半圆、劣弧之分，能够完全重合的弧叫做⑥等弧．
等圆
能够重合的两个圆叫做等圆.
同心圆
圆心相同的圆叫做同心圆.
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　圆的对称性
圆的对称性
圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条经过⑦__圆心__的直线．
圆是中心对称图形，对称中心为⑧圆心．
垂径定理
定理
垂直于弦的直径⑨__平分__弦，并且平分弦所对的两条⑩__弧__．
推论
平分弦(不是直径)的直径 __垂直于__弦，并且 __平分__弦所对的两条弧．
圆心角、弧、弦之间的关系
在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧或两条弦中有一组量 __相等__，那么它们所对应的其余各组量也分别相等.
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　圆周角
圆周角的定义
顶点在圆上，并且 __两边__都和圆相交的角叫做圆周角．
圆周角定理
一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的 __一半__．
推论1
同弧或等弧所对的圆周角 __相等__．
推论2
半圆(或直径)所对的圆周角是 __直角__；90°的圆周角所对的弦是 __直径__．
推论3
圆内接四边形的对角 __互补__.
【方法总结】
1．在解决与弦有关的问题时，作垂直于弦的直径可以构造直角三角形，从而将求解转化成解直角三角形的问题．
2．在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两个圆周角、两条弧有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量也相等．
中考重难点突破
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"../../../../../../中考王——河北数学/中考王%20%20河北数学Word/类型1.TIF"
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　垂径定理及应用
【例1】(2016黄石中考)如图所示，⊙O的半径为13，弦AB的长度是24，ON⊥AB，垂足为N，则ON＝(　　)
A．5　　　B．7　　　C．9　　　D．11
【解析】由题意可得，OA＝13，∠ONA＝90°，AB＝24，∴AN＝12，∴ON＝＝＝5.
【学生解答】A
INCLUDEPICTURE"针对.TIF"INCLUDEPICTURE
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1．(2016河北石家庄二十八中一模)如图，DC是⊙O直径，弦AB⊥CD于点F，连接BC，DB，则下列结论中错误的是(　C　)
A.＝　　　　　　B．AF＝BF
C．OF＝CF
D．∠DBC＝90°
(第1题图)
　　　(第2题图)
2．(2016宁夏中考)如图，在⊙O中，CD是直径，弦AB⊥CD，垂足为E，连接BC.若AB＝2，∠BCD＝30°，则⊙O的半径为____．
INCLUDEPICTURE"类型2.TIF"INCLUDEPICTURE
"../../../../../../中考王——河北数学/中考王%20%20河北数学Word/类型2.TIF"
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　与圆有关的角的计算
【例2】(1)(2016南昌中考)如图(1)，点A、B、C在⊙O上，CO的延长线交AB于点D，∠A＝50°，∠B＝30°，则∠ADC的度数为____；
图(1)
　　　图(2)
(2)(2016娄底中考)如图(2)，在⊙O中，AB为直径，CD为弦，已知∠ACD＝40°，则∠BAD＝____°.
【学生解答】(1)110°；(2)50
【点拨】求圆中角的度数时，通常要利用圆周角与圆心角及弧之间的关系，遇直径时，一般联想直径所对圆周角为直角．
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3．(2016绍兴中考)如图，BD是⊙O的直径，点A，C在⊙O上，＝，∠AOB＝60°，则∠BDC(　D　)
A．60°　　　B．45°　　　C．35°　　　D．30°
(第3题图)
　　　(第4题图)
4．(2016济宁中考)如图，在⊙O中，＝，∠AOB＝40°，则∠ADC的度数是(　C　)
A．40°
B．30°
C．20°
D．15°
,中考备考方略)
INCLUDEPICTURE"基础训练.TIF"INCLUDEPICTURE
"../../../../../../中考王——河北数学/中考王%20%20河北数学Word/基础训练.TIF"
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1．(2016毕节中考)如图，已知⊙O的半径为13，弦AB长为24，则点O到AB的距离是(　B　)
　
　　　　　
　　　　　
　　　　
A．6
B．5
C．4
D．3
(第1题图)
　　　(第2题图)
2．(2016嘉兴中考)如图，⊙O的直径CD垂直于弦AB于点E，且CE＝2，DE＝8，则AB的长为(　D　)
A．2
B．4
C．6
D．8
3．(2016娄底中考)如图，已知AB是⊙O的直径，∠D＝40°，则∠CAB的度数为(　C　)
A．20°
B．40°
C．50°
D．70°
,(第3题图))　　　,(第4题图))
4．(2016茂名中考)如图，A，B，C是⊙O上的三点，∠B＝75°，则∠AOC的度数是(　A　)
A．150°
B．140°
C．130°
D．120°
5．(2016乐山中考)如图，C，D是以线段AB为直径的⊙O上两点，若CA＝CD，则∠ACD＝40°，则∠CAB＝(　B　)
A．10°
B．20°
C．30°
D．40°
,(第5题图))　　　,(第6题图))
6．(2016玉林中考)如图，CD是⊙O的直径，已知∠1＝30°，则∠2＝(　C　)
A．30°
B．45°
C．60°
D．70°
7．(2016石家庄二十八中二模)如图是以△ABC的边AB为直径的半圆O，点C恰好在半圆上，过C作CD⊥AB交AB于D.已知cos∠ACD＝，BC＝4，则AC的长为(　D　)
A．1
B.
C．3
D.
(第7题图)
　　　(第9题图)
8．(2016邯郸十一中)在半径为13的⊙O中，弦AB∥CD，弦AB和CD的距离为7，若AB＝24，则CD的长为(　D　)
A．10
B．4
C．10或
D．10或2
9．(2016河北唐山友谊中学一模)如图，一个宽为2
cm的刻度尺(单位：cm)，放在圆形玻璃杯的杯口上，刻度尺的一边与杯口外沿相切，另一边与杯口外沿两个交点处的读数恰好是3和9，那么玻璃杯的杯口外沿半径为____cm.
10．(2016黑龙江中考)直径为10
cm的⊙O中，弦AB＝5
cm，则弦AB所对的圆周角是__30°或150°__．
11．(2016巴中中考)如图，∠A是⊙O的圆周角，∠OBC＝55°，则∠A＝__35°__．
,(第11题图))　　　,(第12题图))
12．(2016河北唐山友谊中学一模)如图，⊙O是△ABC的外接圆，直径AD＝4，∠ABC＝∠DAC，则AC长为__2__．
13．(2017预测)如图，边长为1的小正方形构成的网格中，半径为1的⊙O在格点上，则∠AED的正切值为____．
14．(2016安徽中考)在⊙O中，直径AB＝6，BC是弦，∠ABC＝30°，点P在BC上，点Q在⊙O上，且OP⊥PQ.
(1)如图(1)，当PQ∥AB时，求PQ的长度；
(2)如图(2)，当点P在BC上移动时，求PQ长的最大值．
解：(1)连接OQ，如图，∵PQ∥AB，OP⊥PQ，∴OP⊥AB，在Rt△OBP中，∵tan∠B＝，∴OP＝3tan30°＝，在Rt△OPQ中，∵OP＝，OQ＝3，∴PQ＝＝；(2)连接OQ，如图，在Rt△OPQ中，PQ＝＝，当OP的长最小时，PQ的长最大，此时OP⊥BC，则OP＝OB＝，∴PQ长的最大值为＝.
INCLUDEPICTURE"能力提升.TIF"INCLUDEPICTURE
"../../../../../../中考王——河北数学/中考王%20%20河北数学Word/能力提升.TIF"
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15．(2017中考预测)已知⊙O的半径为13
cm，弦AB∥CD，AB＝24
cm，CD＝10
cm，则AB、CD之间的距离为(　D　)
A．17
cm
B．7
cm
C．12
cm
D．17
cm或7
cm
16．(2016聊城中考)如图，四边形ABCD内接于⊙O，F是上一点，且＝，连接CF并延长交AD的延长线于点E,
连接AC若∠ABC＝105°，∠BAC＝25°，则∠E的度数为(　B　)
A．45°
B．50°
C．55°
D．60°
,(第16题图))　　　,(第17题图))
17．(2016杭州中考)如图，已知AC是⊙O的直径，点B在圆周上(不与A、C重合)，点D在AC的延长线上，连接BD交⊙O于点E，若∠AOB＝3∠ADB，则(　D　)
A．DE＝EB
B.DE＝EB
C.DE＝DO
D．DE＝OB
18．(2016台湾中考)如图，圆O通过五边形OABCD的四个顶点．若＝150°，∠A＝65°，∠D＝60°，则的度数为(　B　)
A．25°
B．40°
C．50°
D．55°
,(第18题图))　　　,(第19题图))
19．(2016达州中考)如图，半径为3的⊙A经过原点O和点C(0，2)，B是y轴左侧⊙A优弧上一点，则tan∠OBC为____．
20．(2016龙东中考)如图，MN是⊙O的直径，MN＝4，∠AMN＝40°，点B为AN的中点，点P是直径MN上的一个动点，则PA＋PB的最小值为__2__．
21．(2016河南中考)如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点M是AC的中点，以AB为直径作⊙O分别交AC，BM于点D，E.
(1)求证：MD＝ME;
(2)填空：①若AB＝6，当AD＝2DM时，DE＝________；
②连接OD，OE，当∠A的度数为________时，四边形ODME是菱形．
解：(1)在Rt△ABC中，点M是AC的中点，
∴MA＝MB，∴∠A＝∠MBA.∵四边形ABED是圆内接四边形，
∴∠ADE＋∠ABE＝180°，
又∠ADE＋∠MDE＝180°，
∴∠MDE＝∠MBA.
同理可证：∠MED＝∠A，∴∠MDE＝∠MED，∴MD＝ME；(2)①2；②60°.
22．(2015德州中考)如图，⊙O的半径为1，A，P，B，C是⊙O上的四个点，∠APC＝∠CPB＝60°.
(1)判断△ABC的形状：__等边三角形__；
(2)试探究线段PA，PB，PC之间的数量关系，并证明你的结论；
(3)当点P位于的什么位置时，四边形APBC的面积最大？求出最大面积．
解：(2)PA＋PB＝PC.证明：如图，在PC上截取PD＝PA，连接AD.∵∠APC＝60°，
∴△PAD是等边三角形，∴PA＝AD，∠PAD＝60°.又∵∠BAC＝60°，
∴∠PAB＝∠DAC.
∵AB＝AC,
∴△PAB≌△DAC，∴PB＝DC.
∵PD＋DC＝PC,
∴PA＋PB＝PC；
(3)当点P为的中点时，四边形APBC面积最大．理由如下：如图，过点P作PE⊥AB，垂足为E,
过点C作CF⊥AB，垂足为F.∵S△PAB＝AB·PE，S△ABC＝AB·CF，∴S四边形APBC＝AB(PE＋CF)．∵当点P为的中点时，PE＋CF
＝PC,
PC为⊙O直径，
∴四边形APBC面积最大.
又∵⊙O的半径为1,
∴其内接正三角形的边长AB＝，∴S四边形APBC＝×2×＝.