2017河北中考数学7.2点、直线与圆的位置关系教材知识梳理

第二节　点、直线与圆的位置关系
,河北8年中考命题规律)
年份
题号
考查点
考查内容
分值
总分
2016
25
半圆与点线相切
圆的操作探究题涉及切线性质
10
10
2015
26
圆与矩形综合探究
在26题压轴题考查学生运用圆的有关知识解决问题的能力
14
14
2014
25(2)(3)
切线的性质
(1)利用切线的性质以及折叠的性质；(2)求折叠的长度；(3)折叠后相关角度的范围
5
5
2013
24(2)
切线的性质
与三角形结合，涉及线段旋转及切线性质的相关计算
4
4
2010
23(2)
切线的判定
以机械装置为背景的操作探究题，涉及切线的判定
2
2
2009
23
切线的性质
圆的操作探究题，涉及切线性质
3
3
2011、2012年未考查
命题规律
纵观河北8年中考，点、直线与圆的位置关系，在中考中一般设置1道题，分值2～14分，考查题型主要以解答题为主，综合性较强近两年通常以圆的综合探究题为主，当然，填空题也有所涉及，其中切线的性质的相关计算，分别在填空题中考了1次，而切线的判定只考了1次，难度较大．
命题预测
预计2017年河北中考切线的性质与判定仍为重点考查内容，以解答题形式考查，综合性较强，应加强练习.
,河北8年中考真题及模拟)
INCLUDEPICTURE"命点.TIF"INCLUDEPICTURE
"../../../../../../中考王——河北数学/中考王%20%20河北数学Word/命点.TIF"
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　切线的性质与判定(4次)
1．(2015张家口二模)如图，在平面直角坐标系xOy中，半径为2的⊙P的圆心P的坐标为(－3，0)，将⊙P沿x轴正方向平移，使⊙P与y轴相切，则平移的距离为(　B　)
A．1　　　B．1或5　
　C．3　
　D．5
(第1题图)
　　　　　(第2题图)
2．(2016邯郸一模)在直角坐标系中，⊙A、⊙B的位置如图所示．下列四个点中，在⊙A外部且在⊙B内部的点是(　C　)
A．(1，2)
B．(2，1)
C．(2，－1)
D．(3，1)
3．(2016河北唐山友谊中学一模)已知点O是△ABC的内心，∠A＝50°，则∠BOC的大小为(　B　)
A．100°　　　B．115°　　　C．130°　　　D．125°
,(第3题图))　　　,(第4题图))
4．(2016河南濮阳一中一模)如图，AB是⊙O的直径，AD切⊙O于点A，＝.则下列结论中不一定正确的是(　D　)
A．BA⊥DA
B．OC∥AE
C．∠COE＝2∠CAE
D．OD⊥AC
5．(2016河北沧州十三中二模)两个半径不等的圆相切，圆心距为6
cm，且大圆半径是小圆半径的2倍，那么小圆的半径为(　D　)
A．3
cm
B．4
cm
C．2
cm或4
cm
D．2
cm或6
cm
6．(2016河北石家庄二十八中三模)正六边形的边心距与边长之比为(　B　)
A.∶3
B.∶2
C．1∶2
D.∶2
7．(2016河北25题10分)如图，半圆O的直径AB＝4，以长为2的弦PQ为直径，向点O方向作半圆M，其中P
点在上且不与A点重合，但Q点可与B点重合．
发现：的长与的长之和为定值l，求l；
思考：点M与AB的最大距离为________，此时点P，A间的距离为________；
点M与AB的最小距离为________，此时半圆M的弧与AB所围成的封闭图形的面积为________；
探究：当半圆M与AB相切时，求的长．(结果保留π，
cos35°＝，cos55°＝)
图①
解：发现：如图①，连接OP，OQ，则OP＝OQ＝PQ＝2.∴∠POQ＝60°，∴的长＝＝，∴l＝π·4－＝.
思考：；2；；－；
图②
探究：半圆M与AB相切，分两种情况：
①如图②，当半圆M与AO切于点T时，连接PO，MO，TM.则MT⊥AO，OM⊥PQ.在Rt△POM中，sin∠POM＝，∴∠POM＝30°，OM＝，在Rt△TOM中，TO＝＝，∴cos∠AOM＝＝，即∠AOM＝35°，∴∠POA＝35°－30°＝5°，∴的长＝＝.
图③
②如图③，当半圆M与BO切于点S时，连接QO，MO，SM.由对称性，可得的长＝，由l＝，得的长＝－＝.综上所述，的长为或.
,中考考点清单)
INCLUDEPICTURE"考点1.TIF"INCLUDEPICTURE
"../../../../../../中考王——河北数学/中考王%20%20河北数学Word/考点1.TIF"
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　点与圆的位置关系(设r为圆的半径，d为点到圆心的距离)
1.
位置关系,点在圆内,点在圆上,点在圆外
数量(d与r)
的大小关系,__d＜r__,__d＝r__,__d＞r__INCLUDEPICTURE"考点2.TIF"INCLUDEPICTURE
"../../../../../../中考王——河北数学/中考王%20%20河北数学Word/考点2.TIF"
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MERGEFORMAT
　直线与圆的位置关系(设r为圆的半径，d为圆心到直线的距离)
2.
位置关系,相离,相切,相交
公共点个数,0,1,2
公共点的名称,无,切点,交点
数量关系,__d＞r__,__d＝r__,__d＜r__
INCLUDEPICTURE"考点3.TIF"INCLUDEPICTURE
"../../../../../../中考王——河北数学/中考王%20%20河北数学Word/考点3.TIF"
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MERGEFORMAT
　切线的性质与判定
3．判定切线的方法有三种：①利用切线的定义，即与圆有__唯一公共点__的直线是圆的切线；②到圆心的距离等于__半径__的直线是圆的切线；③经过半径的外端点并且__垂直__于这条半径的直线是圆的切线．
4．切线的五个性质：①切线与圆只有__一个__公共点；②切线到圆心的距离等于圆的__半径__；③切线垂直于经过切点的__半径__；④经过圆心垂直于切线的直线必过__切点__；⑤经过切点垂直于切线的直线必过__圆心__．
INCLUDEPICTURE"考点4.TIF"INCLUDEPICTURE
"../../../../../../中考王——河北数学/中考王%20%20河北数学Word/考点4.TIF"
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MERGEFORMAT
　切线长定理
5．经过圆外一点作圆的切线，这点与__切点__之间的线段的长度，叫做这点到圆的切线长．经圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长__相等__，这一点和圆心的连线平分两条切线的__夹角__．
INCLUDEPICTURE"考点5.TIF"INCLUDEPICTURE
"../../../../../../中考王——河北数学/中考王%20%20河北数学Word/考点5.TIF"
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　三角形的外心和内心
6．三角形的外心：三角形外接圆的圆心，是三角形三边垂直平分线的交点，到三角形三个顶点的距离相等．
7．三角形的内心：三角形内切圆的圆心，是三角形三条角平分线的交点，到三角形三边的距离相等．
【方法点拨】
1．判断直线与圆相切时：(1)直线与圆的公共点已知时，连半径证垂直；(2)直线与圆的公共点未知时，过圆心作直线的垂线证垂线段等于半径．
2．利用切线的性质解决问题，通常连过切点的半径，构造直角三角形来解决．
3．直角三角形的外接圆与内切圆半径的求法：若a、b是Rt△ABC的两条直角边，c为斜边，则(1)直角三角形的外接圆半径R＝；(2)直角三角形的内切圆半径r＝.
,中考重难点突破)
INCLUDEPICTURE"类型1.TIF"INCLUDEPICTURE
"../../../../../../中考王——河北数学/中考王%20%20河北数学Word/类型1.TIF"
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　点与圆和直线与圆的位置关系
【例1】(2016铜仁中考)⊙O的半径为8，圆心O到直线l的距离为4，则直线l与⊙O的位置关系是(　　)
A．相切　　　　　B．相交
C．相离
D．不能确定
【解析】利用点与直线的位置关系判断．
【学生解答】B
INCLUDEPICTURE"针对.TIF"INCLUDEPICTURE
"../../../../../../中考王——河北数学/中考王%20%20河北数学Word/针对.TIF"
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1．在同一平面直角坐标系中有5个点：A(1，1)，B(－3，－1)，C(－3，1)，D(－2,
－2)，E(0，－3)．画出△ABC的外接圆⊙P，并指出点D与⊙P的位置关系．
解：所画的⊙P如图所示：由图中⊙P的半径为，连接PD.∵PD＝＝，∴点D在⊙P上．
INCLUDEPICTURE"类型2.TIF"INCLUDEPICTURE
"../../../../../../中考王——河北数学/中考王%20%20河北数学Word/类型2.TIF"
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　切线的性质及判定
【例2】(2016廊坊二模)如图，在△ABC中，AB＝AC，以AC为直径的⊙O交BC于点D，交AB于点E.过点D作DF⊥AB，垂足为F，连接DE.
(1)求证：直线DF与⊙O相切；
(2)若AE＝7，BC＝6，求AC的长．
【解析】(1)连接AD，OD.由AB＝AC，得∠B＝∠ACB，由直径得∠ADC＝90°＝∠BFD；由等角的余角相等得∠ODF＝∠BFD，得到∠ODF＝90°，证得相切；(2)连接CE，分别在Rt△AEC和Rt△BCE中求得CE2，得方程求得AC的长．
【学生解答】解：(1)如图，连接AD，OD.∵AC为直径，∴∠ADC＝90°.∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB.∵DF⊥AB，∴∠BFD＝90°.∵OC＝OD，∴∠ACB＝∠ODC，∴∠ODA＝∠BDF.∵∠ADC＝∠ODC＋∠ODA＝90°，∴∠ODC＋∠BDF＝90°，∴∠ODF＝90°，∴直线DF与⊙O相切；(2)如图，连接CE.∵AC为直径，∴∠AEC＝90°.设半径为r，则AC＝2r.在Rt△AEC中，CE2＝AC2－AE2＝4r2－49.在Rt△BCE中，BE＝2r－7，CE2＝BC2－BE2＝36－(2r－7)2＝－4r2＋28r－13，∴4r2－49＝－4r2＋28r－13，∴8r2－28r－36＝0，∴2r2－7r－9＝0，解得r＝4.5或r＝－1(舍去)，∴AC＝2r＝9，∴AC的长为9.
【方法总结】证明相切的辅助线要么连接半径证明垂直，要么作出垂直证明是半径．
INCLUDEPICTURE"针对.TIF"INCLUDEPICTURE
"../../../../../../中考王——河北数学/中考王%20%20河北数学Word/针对.TIF"
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2．(2016益阳中考)如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是直径，过C点的切线与AB的延长线交于P
点，若∠P＝40°，则∠D的度数为__115°__．
,(第2题图))　　　,(第3题图))
3．(2016哈尔滨中考)如图，AB为⊙O的直径，直线l与⊙O相切于点C，AD⊥l，垂足为D，AD交⊙O于点E，连接OC、BE.若AE＝6，OA＝5，则线段DC的长为__4__．
4．(2016沧州九中二模)如图所示，点O在∠APB的平分线上，⊙O与PA相切于点C.
(1)求证：直线PB与⊙O相切；
(2)PO的延长线与⊙O交于点E，若⊙O的半径为3，PC＝4，求弦CE的长．
解：(1)如图，过点O作OD⊥PB于点D，连接OC.∵AP与⊙O相切，∴OC⊥AP.又∵PO平分∠APB，∴OD＝OC，∴PB是⊙O的切线．(2)如图，过点C作CF⊥PE于点F.在Rt△OCP中，OP＝＝5.∵S△OCP＝OC·CP＝OP·CF，∴CF＝.在Rt△COF中，OF＝＝，∴EF＝3＋＝.在Rt△CFE中，CE＝＝.
,中考备考方略)
　　　　　　　　　　　　　　　　
INCLUDEPICTURE"基础训练.TIF"INCLUDEPICTURE
"../../../../../../中考王——河北数学/中考王%20%20河北数学Word/基础训练.TIF"
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1．若⊙O的半径为5
cm，平面上有一点A，其中OA＝6
cm，那么点A与⊙O的位置关系是(　A　)
A．点A在圆外
B．点A在圆上
C．点A在圆内
D．不能确定
2．(2016潍坊中考)如图，在平面直角坐标系中，⊙M与x轴相切于点A(8，0)，与y轴分别交于点B(0，4)和点C(0，16)，则圆心M到坐标原点O的距离是(　D　)
A．10
B．8
C．4
D．2
,(第2题图))　　　,(第3题图))
3．(2016衢州中考)如图已知等腰△ABC，AB＝BC，以AB为直径的圆交AC于点D，过D作⊙O的切线交BC于点E，若CD＝5，CE＝4，则⊙O的半径是(　D　)
A．3
B．4
C.
D.
4．(2016保定一模)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝6，以斜边AB上的一点O为圆心所作的半圆分别与AC，BC相切于点D，E.则AD为(　B　)
A．2.5　　　B．1.6　　　C．1.5　　　D．1
(第4题图)
　　　　(第5题图)
5．(2016泰安中考)如图，P为⊙O的直径BA延长线上的一点，PC与⊙O相切，切点为C，点D是⊙O上一点，连接PD.已知PC＝PD＝BC.下列结论中，正确的个数为(　A　)
①PD与⊙O相切；②四边形PCBD是菱形；③PO＝AB；④∠PDB＝120°.
A．4个
B．3个
C．2个
D．1个
6．(2016上海中考)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝7，点D在边BC上，CD＝3，⊙A的半径长为3，⊙D与⊙A相交，且点B在⊙D外，那么⊙D的半径长r的取值范围是(　B　)
A．1B．2C．1D．2(第6题图)
　　　　(第7题图)
7．(2016永州中考)如图，给定一个半径长为2的圆，圆心O到水平直线l的距离为d，即OM＝d.我们把圆上到直线l的距离等于1的点的个数记为m.如d＝0时，l为经过圆心O的一条直线，此时圆上有四个到直线l的距离等于1的点，即m＝4，由此可知：
(1)当d＝3时，m＝__1__；
(2)当m＝2时，d的取值范围是__08．(2016龙岩中考)如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，∠ACD＝∠B，AD⊥CD.
(1)求证：CD是⊙O的切线；
(2)若AD＝1，OA＝2，求AC的值．
解：(1)连接OC，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵OB＝OC，∴∠B＝∠BCO，又∵∠ACD＝∠B，∴∠OCD＝∠OCA＋∠ACD＝∠OCA＋∠BCO＝∠ACB＝90°，即OC⊥CD，∴CD是⊙O的切线；(2)∵AD⊥CD，∴∠ADC＝∠ACB＝90°，又∵∠ACD＝∠B，∴△ACB∽△ADC，∴AC2＝AD·AB＝1×4＝4，∴AC＝2.
9．(2016东营中考)如图，在△ABC中，以BC为直径的圆交AC于点D，∠ABD＝∠ACB.
(1)求证：AB是圆的切线；
(2)若点E是BC上一点，已知BE＝4，tan∠AEB＝，AB∶BC＝2∶3，求圆的直径．
解：(1)∵BC是直径，
∴∠BDC＝90°，
∴∠ACB＋∠DBC＝90°.又
∵∠ABD＝∠ACB,
∴∠ABD＋∠DBC＝90°，∴AB⊥BC.又∵点B在圆上，∴AB是圆的切线；
(2)在Rt△AEB中，tan∠AEB＝，
∴＝，即AB＝BE＝×4＝，
在Rt△ABC中，＝，∴BC＝AB＝×＝10,
∴圆的直径为10.
INCLUDEPICTURE"能力提升.TIF"INCLUDEPICTURE
"../../../../../../中考王——河北数学/中考王%20%20河北数学Word/能力提升.TIF"
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MERGEFORMAT
10．(2016台州中考)如图，在△ABC中，AB＝10，AC＝8，BC＝6，以边AB的中点O为圆心，作半圆与AC相切，点P，Q分别是边BC和半圆上的动点，连接PQ，则PQ长的最大值与最小值的和是(　C　)
A．6
B．2＋1
C．9
D．32
,(第10题图))　　　,(第11题图))
11．(2016攀枝花中考)如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，AB＝5，D为BC边的中点，以AD上一点O为圆心的⊙O和AB、BC均相切，则⊙O的半径为____．
12．(2016衡阳中考)如图，AB是⊙O的直径，点C、D为半圆O的三等分点，过点C作CE⊥AD，交AD的延长线于点E.
(1)求证：CE为⊙O的切线；
(2)判断四边形AOCD是否为菱形？并说明理由．
解：(1)连接OD，∵点C、D为半圆O的三等分点，∴∠BOC＝∠BOD，又∠BAD＝∠BOD，∴∠BOC＝∠BAD，∴AE∥OC.∵AD⊥EC，∴OC⊥EC，∴CE为⊙O的切线；(2)四边形AOCD是菱形；理由如下：∵点C、D为半圆O的三等分点，∴∠AOD＝∠COD＝60°.∵OA＝OD＝OC，∴△AOD和△COD都是等边三角形，∴OA＝AD＝DC＝OC＝OD，∴四边形AOCD是菱形．
13．(2016天津中考)在⊙O中，AB为直径，C为⊙O上一点．
(1)如图①，过点C作⊙O的切线，与AB的延长线相交于点P，若∠CAB＝27°，求∠P的大小；
(2)如图②，D为上一点，且OD经过AC的中点E，连接DC并延长，与AB的延长线相交于点P，若∠CAB＝10°，求∠P的大小．
解：(1)如图，连接OC.∵⊙O与PC相切于点C，∴OC⊥PC，即∠OCP＝90°.∵∠CAB＝27°，∴∠COB＝2∠CAB＝54°，在Rt△OCP中，∠P＋∠COP＝90°，∴∠P＝90°－∠COP＝36°；(2)∵E为AC的中点，∴OD⊥AC，即∠AEO＝90°.在Rt△AOE中，由∠EAO＝10°，得∠AOE＝90°－∠EAO＝80°，∴∠ACD＝∠AOD＝40°.∵∠ACD是△ACP的一个外角，∴∠P＝∠ACD－∠CAP＝30°.
14．(2016泰州中考)如图，△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB上一点，以CD为直径的⊙O交BC于点E，连接AE交CD于点P，交⊙O于点F，连接DF，∠CAE＝∠ADF.
(1)判断AB与⊙O的位置关系，并说明理由；
(2)若PF：PC＝1：2，AF＝5，求CP的长．
解：(1)AB是⊙O切线.
理由：连接DE、CF.
∵CD是直径，
∴∠DEC＝∠DFC＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠DEC＋∠ACE＝180°，
∴DE∥AC,
∴∠DEA＝∠EAC＝∠DCF,
∵∠DFC＝90°，
∴∠FCD＋∠CDF＝90°，
∵∠ADF＝∠EAC＝∠DCF,
∴∠ADF＋∠CDF＝90°，
∴∠ADC＝90°，
∴CD⊥AD,
∴AB是⊙O切线；(2)由(1)可知，∠CPF＝∠CPA，∠FCP＝∠CAP，∴△PCF∽△PAC,
∴＝，
∴PC2＝PF·PA，设PF＝a.则PC＝2a,
∴4a2＝a(a＋5),
∴a＝，
∴PC＝2a＝.
15．(2016原创)如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以AB为直径作半圆⊙O交AC于点D，点E为BC的中点，连接DE.
(1)求证：DE是半圆⊙O的切线；
(2)若∠BAC＝30°，DE＝2，求AD的长．
解：(1)连接OD，OE，BD.∵AB为圆O的直径，∴∠ADB＝∠BDC＝90°，在Rt△BDC中，E为斜边BC的中点，∴DE＝BE，在△OBE和△ODE中，∴△OBE≌△ODE(SSS)，∴∠ODE＝∠ABC＝90°，则DE为圆O的切线；(2)在Rt△ABC中，∠BAC＝30°，∴BC＝AC，∵BC＝2DE＝4，∴AC＝8，又∵∠C＝60°，DE＝DC，∴△DEC为等边三角形，即DC＝DE＝2，则AD＝AC－DC＝6.
16．(2016张家界模拟)如图，AB是⊙O的直径，D为⊙O上一点，AT平分∠BAD交⊙O于点T，过T作AD的垂线交AD的延长线于点C.
(1)求证：CT为⊙O的切线；
(2)若⊙O半径为2，CT＝，求AD的长．
解：(1)连接OT.∵OA＝OT，∴∠OAT＝∠OTA.又∵AT平分∠BAD,
∴∠DAT＝∠OAT,
∴∠DAT＝∠OTA,
∴OT∥AC.又∵CT⊥AC，∴CT⊥OT，∴CT为⊙O的切线；(2)过O作OE⊥AD于E，则E为AD中点，又∵CT⊥AC，∴OE∥CT，∴四边形OTCE为矩形，∵CT＝，∴OE＝，
又∵OA＝2,
∴AE＝＝＝1，∴AD＝2AE＝2.