2017河北中考数学6.2平移与旋转教材知识梳理

第二节　平移与旋转
,河北8年中考命题规律)
年份
题号
考查点
考查内容
分值
总分
2015
26
图形旋转的探究
以矩形和半圆为背景，(1)点的位置；(2)两点间的最小值
14
14
2014
23
图形旋转的相关计算
以三角形旋转为背景，(1)证明全等；(2)求角度；(3)证明菱形
11
11
2013
24(1)
图形旋转的相关证明
以圆为背景，涉及线段旋转，(1)证明两条线段相等
5
5
2011
17
图形平移的相关计算
已知两个等边三角形，将其中一个平移后，求阴影部分的周长
3
25
图形旋转的相关计算
涉及半圆纸片的旋转，求线段长度及角度
10
13
2010
20
点的旋转及相关计算
以网格图及程序框图为背景，(1)画出点旋转的路径；(2)求路径总长
8
24(2)
线段旋转的相关计算
以直线和线段相交为背景，(2)涉及用线段旋转的性质证明线段数量及位置关系，与几何证明相结合考查线段旋转的性质
3
11
2009
24(2)
线段的旋转
以正方形为背景，(2)涉及用线段的旋转的性质，证明三角形为等腰直角三角形
3
3
命题规律
图形的平移与旋转在河北中考中每年最多设置2道题，所占分值为2～14分，题型以解答题为主，选择、填空题中也有所涉及，综合性较强．分析近8年河北中考试题可以看出，本课时的常考类型有：(1)图形平移的相关计算(在填空题中考查1次)．(2)图形旋转的相关计算(在选择题中考查1次，在解答题中考查7次)．但2016年河北中考没单独在此考点命题．
命题规律
预计2017年中考有可能以图形旋转屡主要考查点，特别是图形旋转的性质
,河北8年中考真题及模拟)
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　图形平移的相关计算(1次)
1．(2011河北17题3分)如图①，两个等边△ABD，△CBD的边长均为1，将△ABD沿AC方向向右平移到△A′B′D′的位置，得到图②，则阴影部分的周长为__2__．
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"../../../../../../中考王——河北数学/中考王%20%20河北数学Word/命点2.TIF"
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　图形旋转的相关计算(2次)
2．(2016河北唐山五十四中一模)如图，将周长为8的△ABC沿BC方向平移1个单位长度得到△DEF，则四边形ABFD的周长为(　C　)
A．6　　　B．8　　　C．10　　　D．12
,(第2题图))　　　,(第3题图))
3．(2016河北沧州十三中一模)如图，将Rt△ABC绕直角顶点C顺时针旋转90°，得到△A′B′C，连接AA′，若∠1＝20°，则∠B的度数是(　B　)
A．70°
B．65°
C．60°
D．55°
4．(2016保定一模)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝30°，AB＝8，将△ABC沿CB向右平移得到△DEF，若四边形ABED的面积等于8，则平移距离等于(　A　)
A．2　　　B．4　　　C．8　　　D．16
5．(2016张家口模拟)如图，线段OA垂直射线OB于点O，OA＝4，⊙A的半径是2.将OB绕点O沿顺时针方向旋转，当OB与⊙A相切时，OB旋转的角度为__60°或120°__．
,(第5题图))　　　,(第6题图))
6．(2016邯郸模拟)如图，在正方形ABCD中，AD＝1，将△ABD绕点B顺时针旋转45°得到△A′BD′，此时A′D′与CD交于点E，则DE的长度为__2－__．
7．(2016河北保定十七中一模)如图，将边长为12的正方形ABCD沿其对角线AC剪开，再把△ABC沿着AD方向平移，得到△A′B′C′，当两个三角形重叠部分的面积为32时，它移动的距离AA′等于__4或8__.
8．(2014河北23题11分)如图，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝40°，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转100°得到△ADE，连接BD，CE交于点F.
(1)求证：△ABD≌△ACE；
(2)求∠ACE的度数；
(3)求证：四边形ABFE是菱形．
解：(1)利用“SAS”证；(2)∠ACE＝40°；(3)∵∠BAC＝∠ACE＝40°，∴BA∥CE.由(1)知∠ABD＝∠ACE＝40°，∠BAE＝∠BAC＋∠CAE＝140°，∴∠BAE＋∠ABD＝180°，∴AE∥BD.∴四边形ABFE是平行四边形．又∵AB＝AE，∴平行四边形ABFE是菱形．
9．(2016河北石家庄四十三中二模)如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的三个顶点分别是A(－3，2)，B(0，4)，C(0，2)．
(1)将△ABC以点C为旋转中心旋转180°画出旋转后对应的△A1B1C1；平移△ABC，若点A的对应点A2的坐标为(0，－4)，画出平移后对应的△A2B2C2；
(2)若将△A1B1C1绕某一点旋转可以得到△A2B2C2，请直接写出旋转中心的坐标；
(3)在x轴上有一点P，使得PA＋PB的值最小，请直接写出点P的坐标．
解：(1)如图所示；
(2)如图所示，旋转中心的坐标为；
(3)点B关于x轴对称的点为A2.∵PO∥AC，∴＝，∴＝，∴OP＝2，∴点P的坐标为(－2，0)．
中考考点清单)
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　图形的平移
1．定义：在平面内，一个图形由一个位置沿某个方向移动到另一个位置，这样的图形运动叫做平移．平移不改变图形的形状和大小．
2．三大要素：一是平移的起点，二是平移的方向，三是平移的距离．
3．性质：
(1)平移前后，对应线段__平行且相等__、对应角相等；
(2)各对应点所连接的线段平行(或在同一条直线上)且相等；
(3)平移前后的图形全等．
4．作图步骤：
(1)根据题意，确定平移的方向和平移距离；
(2)找出原图形的关键点；
(3)按平移方向和平移距离、平移各个关键点，得到各关键点的对应点；
(4)按原图形依次连接对应点，得到平移后的图形．
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　图形的旋转(高频考点)
近8年图形的旋转考查6次，题型以解答题为主，2009～2015年均在解答题中考查，主要以线段旋转、点旋转、图形旋转为背景，结合三角形、正方形、圆等相关知识考查；设问方式主要有证明三角形全等、求角度、线段长度、证明线段的数量关系及位置关系．
5．定义：在平面内，一个图形绕一个定点沿某个方向(顺时针或逆时针)转过一个角度，这样的图形运动叫旋转．这个定点叫做旋转中心，转过的这个角叫做旋转角．
6．三大要素：旋转中心、旋转方向和__旋转角度__．
7．性质：
(1)对应点到旋转中心的距离相等；
(2)每对对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；
(3)旋转前后的图形全等．
8．作图步骤：
(1)根据题意，确定旋转中心、旋转方向及旋转角；
(2)找出原图形的关键点；
(3)连接关键点与旋转中心，按旋转方向与旋转角将它们旋转，得到各关键点的对应点；
(4)按原图形依次连接对应点，得到旋转后的图形．
【方法技巧】坐标系中的旋转问题：
1．关于原点对称的点的坐标的应用．其基础知识为：点P(x，y)关于原点对称点的坐标为(－x，－y)，在具体问题中一般根据坐标特点构建方程组来求解，常用到的关系式：点P(a，b)，P1(m，n)关于原点对称，则有
2．坐标系内的旋转作图问题．与一般的旋转作图类似，其不同点在于若是作关于原点的中心对称图形，可以根据点的坐标规律，直接在坐标系内找到对应点的坐标，描点后连线．
,中考重难点突破)
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"../../../../../../中考王——河北数学/中考王%20%20河北数学Word/类型1.TIF"
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　图形平移的相关计算
【例1】如图，已知△ABC的面积为3，且AB＝AC，现将△ABC沿CA方向平移CA长度得到△EFA.
(1)求四边形CEFB的面积；
(2)试判断AF与BE的位置关系，并说明理由；
(3)若∠BEC＝15°，求AC的长．
【学生解答】解：(1)由平移的性质得：AF∥BC且AF＝BC，△EFA≌△ABC，∴四边形AFBC为平行四边形．∴S△EFA＝S△BAF＝S△ABC＝3.∴四边形CEFB的面积为9；(2)BE⊥AF.理由如下：由(1)知四边形AFBC为平行四边形，∴BF∥AC且BF＝CA.又∵AE＝CA，∴BF∥AE且BF＝AE.∴四边形EFBA为平行四边形．又∵AB＝AC，∴AB＝AE.∴ EFBA为菱形，∴BE⊥AF；(3)过点B作BD⊥AC于点D，∠BAC＝∠ABE＋∠AEB＝15°×2＝30°.在Rt△ABD中，sin30°＝＝，故AB＝2BD＝AC.S△ABC＝AC·BD＝AC·AB＝AC2＝3，∴AC＝2.
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1．(2016泉州中考)如图，△ABC沿着由点B到E的方向，平移到△DEF，已知BC＝5，EC＝3，那么平移的距离为(　A　)
A．2　　　　B．3　　　　C．5　　　　D．7
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　图形旋转的相关计算
【例2】如图①，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，D、E分别是AB、AC边的中点．将△ABC绕点A顺时针旋转α角(0°＜α＜180°)，得到△AB′C′(如图②)．
(1)探究DB′与EC′的数量关系，并给予证明；
(2)当DB′∥AE时，试求旋转角α的度数．
【解析】(1)由于AB＝AC，∠BAC＝90°，D、E分别是AB、AC边的中点，则AD＝AE＝AB，再根据旋转的性质得到∠B′AD＝∠C′AE＝α，AB′＝AB，AC′＝AC，则AB′＝AC′，根据三角形全等的判定方法可得到△B′AD≌△C′AE(SAS)，则有DB′＝EC′；(2)由于DB′∥AE，根据平行线的性质得到∠B′DA＝∠DAE＝90°，又因为AD＝AB＝AB′，根据含30°的直角三角形三边的关系得到∠AB′D＝30°，利用互余即可得到旋转角∠B′AD的度数．
【学生解答】解：(1)DB′＝EC′.证明如下：∵AB＝AC，∠BAC＝90°，D、E分别是AB、AC边的中点，∴AD＝AE＝AB，∵△ABC绕点A顺时针旋转α角(0°<α<180°)得到△AB′C′，∴∠B′AD＝∠C′AE＝α，AB′＝AB，AC′＝AC，∴AB′＝AC′，在△B′AD和△C′AE中，
∴△B′AD≌△C′AE(SAS)，∴DB′＝EC′；(2)∵DB′∥AE，∴∠B′DA＝∠DAE＝90°，在Rt△B′DA中，∵AD＝AB′，∴∠AB′D＝30°，∴∠B′AD＝90°－30°＝60°，即旋转角α的度数为60°.
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2．(2016石家庄四十二中三模)如图，在边长为1的正方形组成的网格中，△ABC的顶点均在格点上，点A，B，C的坐标分别是A(－2，3)，B(－1，2)，C(－3，1)，△ABC绕点O顺时针旋转90°后得到△A1B1C1.
(1)在正方形网格中作出△A1B1C1；
(2)在旋转过程中，点A经过的路径的长度为________；
(3)在y轴上找一点D，使DB＋DB1的值最小，并求出D点的坐标．
解：(1)如图所示；
(2)在旋转过程中，点A经过的路径的长度为＝π；
(3)∵点B，B1在y轴两旁，连接BB1交y轴于点D，设D′为y轴上异于D的点，显然D′B＋D′B1>DB＋DB1，∴当点D是BB1与y轴交点时，DB＋DB1最小．设直线BB1的解析式为y＝kx＋b，依据题意，得解得
∴y＝－x＋，∴D.
,中考备考方略)
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1．(2016保定中考)某数学兴趣小组开展动手操作活动，设计了如图所示的三种图形，现计划用铁丝按照图形制作相应的造型，则所用铁丝的长度关系是(　D　)
A．甲种方案所用铁丝最长
B．乙种方案所用铁丝最长
C．丙种方案所用铁丝最长
D．三种方案所用铁丝一样长
2．(2016石家庄四十中模拟)在平面直角坐标系中，把点P(－3，2)绕原点O顺时针旋转180°，所得到的对应点P′的坐标为(　D　)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A．(3，2)
B．(2，－3)
C．(－3，－2)
D．(3，－2)
3．(2016遵义中考)如图，已知△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝，将△ABC绕点A顺时针方向旋转60°到△AB′C′的位置．连接C′B，则C′B的长为(　C　)
A．2－
B.
C.－1
D．1
,(第3题图))　　　,(第4题图))
4．(2016德州中考)如图，在△ABC中，∠CAB＝65°，将△ABC在平面内绕点A旋转到△AB′C′的位置，使CC′∥AB，则旋转角的度数为(　C　)
A．35°
B．40°
C．50°
D．65°
5．(2016四川成都外国语学校三模)如图，将面积为5的△ABC沿BC方向平移至△DEF的位置，平移的距离是边BC长的两倍，那么图中的四边形ACED的面积为__15__．
,(第5题图))　　　,(第6题图))
6．(2016福州中考)如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝，将△ABC绕点C逆时针旋转60°，得到△MNC，连接BM，则BM的长是__＋1__．
7．(2016上海中考)已知在△ABC中，AB＝AC＝8，∠BAC＝30°.将△ABC绕点A旋转，使点B落在原△ABC的点C处，此时点C落在点D处．延长线段AD，交原△ABC的边BC的延长线于点E，那么线段DE的长等于__4－4__．
INCLUDEPICTURE"能力提升.TIF"INCLUDEPICTURE
"../../../../../../中考王——河北数学/中考王%20%20河北数学Word/能力提升.TIF"
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MERGEFORMAT
8．(2016菏泽中考)如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝x经过点A，作AB⊥x轴于点B，将△ABO绕点B逆时针旋转60°得到△CBD，若点B的坐标为(2，0)，则点C的坐标为(　A　)
A．(－1，)
B．(－2，)
C．(－，1)
D．(－，2)
,(第8题图))　,(第9题图))
9．(2016青岛中考)如图，平面直角坐标系的原点O是正方形ABCD的中心，顶点A、B的坐标分别为(1，1)，(－1，1)，把正方形ABCD绕原点O逆时针方向旋转45°得正方形A′B′C′D′，则正方形ABCD与正方形A′B′C′D′重叠部分所形成的正八边形的边长为__2－2__.
10．(2016山西晋江季延初级中学二模)如图，在方格纸中(小正方形的边长为1)，△ABC的三个顶点均为格点，将△ABC沿x轴向左平移5个单位长度，根据所给的平面直角坐标系(O是坐标原点)，解答下列问题：
(1)画出平移后的△A′B′C′，并直接写出点A′，B′，C′的坐标；
(2)求出在整个平移过程中，△ABC扫过的面积．
解：(1)平移后的△A′B′C′如图所示．点A′，B′，C′的坐标分别为(－1，5)，(－4，0)，(－1，0)；
(2)由平移的性质，可知四边形AA′B′B是平行四边形，∴△ABC扫过的面积＝S AA′B′B＋S△ABC＝B′B·AC＋BC·AC＝5×5＋×3×5＝25＋＝.
11．(2016日照中考)如图，已知，在△ABC中，CA＝CB，∠ACB＝90°，E，F分别是CA，CB边的三等分点．将△ECF绕点C逆时针旋转α角(0°<α<90°)，得到△MCN，连接AM，BN.
(1)求证：AM＝BN；
(2)当MA∥CN时，试求旋转角α的余弦值．
解：(1)由旋转知，CM＝CN，∠ACM＝∠BCN＝α，CA＝CB，∴△AMC≌△BNC，∴AM＝BN；
(2)∵AM∥CN，∴∠AMC＋∠MCN＝180°.∵∠MCN＝∠ACB＝90°，∴∠AMC＝90°.设CM的长为a，则AC的长为3a，∴在Rt△AMC中，cosα＝cos∠ACM＝＝＝.
12．(2016潍坊中考)如图1，点O是正方形ABCD两对角线的交点，分别延长OD到点G，OC到点E，使OG＝2OD，OE＝2OC，然后以OG、OE为邻边作正方形OEFG，连接AG，DE.
(1)求证：DE⊥AG；
(2)正方形ABCD固定，将正方形OEFG绕点O逆时针旋转α角(0°＜α＜360°)得到正方形OE′F′G′，如图2.
①在旋转过程中，当∠OAG′是直角时，求α的度数；
②若正方形ABCD的边长为1，在旋转过程中，求AF′长的最大值和此时α的度数，直接写出结果不必说明理由．
解：(1)如图，延长ED交AG于点H.∵O为正方形ABCD对角线的交点．∴OA＝OD，OA⊥OD，∵OG＝OE，∴Rt△AOG≌Rt△DOE，∴∠AGO＝∠DEO，∵∠AGO＋∠GAO＝90°，∴∠DEO＋∠GAO＝90°，∠AHE＝90°，即DE⊥AG；(2)①在旋转过程中，∠OAG′成为直角有以下两种情况：(ⅰ)α由0°增大到90°过程中，当∠OAG′为直角时，∵OA＝OD＝OG＝OG′，∴在Rt△OAG′中，sin∠AG′O＝＝，∴∠AG′O＝30°，∵OA⊥OD，OA⊥AG′，∴OD∥AG′，∴∠DOG′＝∠AG′O＝30°.即α＝30°.(ⅱ)α由90°增大到180°过程中，当∠OAG′为直角时，同理可求∠BOG′＝30°，∴α＝180°－30°＝150°，综上，当∠OAG′为直角时，α＝30°或150°；②AF′长的最大值是2＋，此时α＝315°.