2017河北中考数学5.1图形的相似与位似教材知识梳理

第五章　图形的相似与解直角三角形
第一节　图形的相似与位似
,河北8年中考命题规律)
年份
题号
考查点
考查内容
分值
总分
2016
15
相似三角形判定
从一个三角形纸片剪下一个三角形判定与原三角形相似条件
2
2
2014
13
相似三角形相似多边形的判定
根据已知方式变换后得到新图形，判定两个图形是否相似
3
3
2013
11
相似三角形的判定及性质
以菱形为背景，利用菱形的性质及相似三角形的判定及性质求线段长度
3
3
2012
23②
位似图形
涉及作位似图形及相关计算
3
3
2011
9
相似三角形的判定及性质
以三角形中的折叠为背景，利用相似三角形的判定及性质求线段比值
3
20
位似图形
(1)作与已知图形位似的三角形；(2)求四边形周长
8
11
2010
24③
相似三角形判定及性质
利用相似三角形的判定及性质求线段比值
3
3
命题规律
纵观河北8年中考，本考点共考查了7次，题型有选择题、解答题，分值2～11分，难度中偏下，基础题为主，其中相似三角形的判定和性质考查了3次，相似多边形考查了1次(选择题)，位似图形考查了2次．
命题预测
预计2017年河北中考对本节内容仍会做重点考查，故在复习中多加训练.
河北8年中考真题及模拟)
INCLUDEPICTURE"命点1.TIF"INCLUDEPICTURE
"../../../../../../中考王——河北数学/中考王%20%20河北数学Word/命点1.TIF"
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　图形相似的判定及性质(5次)
1．(2016河北15题2分)如图，△ABC中，∠A＝78°，AB＝4，AC＝6.将△ABC沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是(　C　)
,A)　,B)　,C)　　　,D)
2．(2011河北9题3分)如图，在△ABC中，∠C＝90°，BC＝6，D、E分别在AB、AC上，将△ABC沿DE折叠，使点A落在点A′处，若A′为CE的中点，则折痕DE的长为(　B　)
A.　　　　
B．2　　　
C．3　　　
D．4
3．(2014河北13题3分)在研究相似问题时，甲、乙同学的观点如下：
甲：将边长为3，4，5的三角形按图①的方式向外扩张，得到新三角形，它们的对应边间距均为1，则新三角形与原三角形相似.
乙：将邻边为3和5的矩形按图②的方式向外扩张，得到新矩形，它们的对应边间距均为1，则新矩形与原矩形不相似．
对于两人的观点，下列说法正确的是(　A　)
A．两人都对
B．两人都不对
C．甲对，乙不对
D．甲不对，乙对
INCLUDEPICTURE"命点2.TIF"INCLUDEPICTURE
"../../../../../../中考王——河北数学/中考王%20%20河北数学Word/命点2.TIF"
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　图形的位似(2次)
4．(2016河北23题9分)如图(1)，E是线段BC的中点，分别以B，C为直角顶点的△EAB和△EDC均是等腰直角三角形，且在BC的同侧．
(1)AE和ED的数量关系为__AE＝ED__；
AE和ED的位置关系为__AE⊥ED__；
(2)在图(1)中，以点E为位似中心，作△EGF与△EAB位似，H是BC所在直线上的一点，连接GH，HD，分别和到图(2)和图(3)．
①在图(2)中，点F在BE上，△EGF与△EAB的相似比是1∶2，H是EC的中点，求证：GH＝HD，GH⊥HD.
②在图(3)中，点F在BE的延长线上，△EGF与△EAB的相似比是k∶1，若BC＝2，请直接写出CH的长为多少时，恰好使得GH＝HD且GH⊥HD.(用含k的代数式表示)
解：(2)①由题意，得∠B＝∠C＝90°，AB＝BE＝EC＝DC.
∵△EGF与△EAB的相似比为1∶2，
∴∠GFE＝∠B＝90°，GF＝AB，EF＝EB，
∴∠GFE＝∠C，
∴EH＝HC＝EC，
∴GF＝HC，FH＝FE＋EH＝EB＋EC＝BC＝EC＝CD，
∴△HGF≌△DHC.
∴GH＝HD，∠GHF＝∠HDC.
∵∠HDC＋∠DHC＝90°，
∴∠GHF＋∠DHC＝90°.
∴∠GHD＝90°，∴GH⊥HD.
②∵当GH＝HD，GH⊥HD时，
∴∠FHG＋∠DHC＝90°，
∵∠FHG＋∠FGH＝90°，∴∠FGH＝∠DHC，
∴
∴△GFH≌△HCD.∴FG＝CH.
∵EF＝FG，∴EF＝CH.
∵△EGF与△EAB的相似比是k∶1，BC＝2，
∴BE＝EC＝1，
∴EF＝k，∴CH的长为k.
5．(2011河北20题8分)如图，在6×8网格图中，每个小正方形边长均为1，点O和△ABC的顶点均为小正方形的顶点．
(1)以O为位似中心，在网格图中作△A′B′C′，使△A′B′C′和△ABC位似，且位似比为1∶2；
(2)连接(1)中的AA′，求四边形AA′C′C的周长．(结果保留根号)
解：(1)略；(2)4＋6.
6．(2016沧州八中一模)如图，在△ABC中，D，E，F分别是边AB，AC，BC上的点，DE∥BC，EF∥AB，且AD∶DB＝3∶5，那么CF∶CB等于(　A　)
A．5∶8
B．3∶8
C．3∶5
D．2∶5
7．(2016河北石家庄二十八中一模)如图，在 ABCD中，AB＝6，AD＝9，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F，BG⊥AE于点G，BG＝4，则△EFC的周长为(　D　)
A．11
B．10
C．9
D．8
8．(2016保定博野模拟)在直角坐标系中，已知点A(－2，0)，B(0，4)，C(0，3)，过C作直线交x轴于D，使以D、O、C为顶点的三角形与△AOB相似．这样的直线最多可以作(　C　)
A．2条
B．3条
C．4条
D．6条
9．(2016邯郸涉县一模)如图，在正方形ABCD中，E为AB的中点，G，F分别为AD，BC边上的点，若AG＝1，BF＝2，∠GEF＝90°，则GF的长为(　D　)
A．4
B．2
C．5
D．3
10．(2016河北保定十七中一模)下列四组图形中，一定相似的是(　D　)
A．正方形与矩形
B．正方形与菱形
C．菱形与菱形
D．正五边形与正五边形
11．(2016河北唐山十二中二模)如图，△ABO缩小后变为△A′B′O，其中A，B的对应点分别为点A′，B′，点A，B，A′，B′均在图中的格点上．若线段AB上有一点P(m，n)，则点P在A′B′上的对应点P′的坐标为(　D　)
A.
B．(m，n)
C.
D.
12．(2016河北唐山五十四中二模)如图，在 ABCD中，点E在AB上，CE，BD交于点F，若AE∶BE＝4∶3，且BF＝2，则DF＝____．
13．(2016河北唐山友谊中学一模)如图，正方形OABC与正方形ODEF是位似图形，点O为位似中心，相似比为1∶，点A的坐标为(0，1)，则点E的坐标是__(，)__．
14．(2016河北石家庄二十八中一模)如图，点B在线段AC上，点D，C在AC同侧，∠A＝∠C＝90°，BD⊥BE，AD＝BC.
(1)求证：AC＝AD＋CE；
(2)若AD＝3，CE＝5，点P为线段AB上的动点，连接DP，作PQ⊥DP，交直线BE于点Q.若点P与A，B两点不重合，求的值．
解：(1)∵∠A＝∠C＝90°，DB⊥BE，∴∠ADB＋∠ABD＝90°，∠ABD＋∠EBC＝90°.∴∠ADB＝∠EBC.又AD＝BC，∴△ADB≌△CBE(ASA)，∴AB＝CE.∴AC＝BC＋AB＝AD＋CE；
(2)过点Q作QH⊥BC于点H，则△ADP∽△HPQ，△BHQ∽△BCE，∴＝，＝.设AP＝x，QH＝y，则有＝，∴BH＝，PH＝＋5－x，∴＝，即(x－5)·(3y－5x)＝0.又点P不与A，B重合，∴x≠5，即x－5≠0.∴3y－5x＝0，即3y＝5x.∴＝＝.
,中考考点清单)
INCLUDEPICTURE"考点1.TIF"INCLUDEPICTURE
"../../../../../../中考王——河北数学/中考王%20%20河北数学Word/考点1.TIF"
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　比例的相关概念及性质
1．线段的比：两条线段的比是两条线段的__长度__之比．
2．比例中项：如果＝，即b2＝__ac__，我们就把b叫做a、c的比例中项．
3．比例的性质
性质1
＝ __ad__＝bc(a、b、c、d≠0)．
性质2
如果＝，那么＝.
性质3
如果＝＝…＝(b＋d＋…＋n≠0)，则＝__(不唯一)__.
　　4.黄金分割：如果点C把线段AB分成两条线段，使＝____，那么点C叫做线段AC的__黄金分割点__，AC是BC与AB的比例中项，AC与AB的比叫做__黄金比__．
INCLUDEPICTURE"考点2.TIF"INCLUDEPICTURE
"../../../../../../中考王——河北数学/中考王%20%20河北数学Word/考点2.TIF"
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　相似三角形的判定及性质
相似三角形的判定及性质为河北近7年的必考点，考查题型为选择题、解答题，仅2014年单纯考查相似三角形与相似四边形的判定，其余均为与几何图形结合，解答过程中利用三角形相似的判定及性质求线段长度．主要设问方式为证明三角形相似，再利用相似求线段长度及判断图形相似等．
5．定义：对应角__相等__，对应边__成比例__的两个三角形叫做相似三角形，相似三角形对应边的比叫做相似比．
6．性质：
(1)相似三角形的__对应角__相等；
(2)相似三角形的对应线段(边、高、中线、角平分线)成比例；
(3)相似三角形的周长比等于__相似比__，面积比等于__相似比的平方__．
7．判定：
(1)__有两角__对应相等，两三角形相似；
(2)两边对应成比例且__夹角__相等，两三角形相似；
(3)三边__对应成比例__，两三角形相似；
(4)两直角三角形的斜边和一条直角边__对应成比例__，两直角三角形相似．
【方法技巧】判定三角形相似的几条思路：
(1)条件中若有平行线，可采用相似三角形的判定(1)．
(2)条件中若有一对等角，可再找一对等角[用判定(1)]或再找夹边成比例[用判定(2)]．
(3)条件中若有两边对应成比例，可找夹角相等．
(4)条件中若有一对直角，可考虑再找一对等角或证明斜边、直角边对应成比例．
(5)条件中若有等腰条件，可找顶角相等，可找一个底角相等，也可找底和腰对应成比例．
【易错警示】应注意相似三角形的对应边成比例，若已知△ABC∽△DEF，列比例关系式时，对应字母的位置一定要写正确，才能得到正确的答案．
如：＝，此式正确．那么想一想，哪种情况是错误的呢？请举例说明．
INCLUDEPICTURE"考点3.TIF"INCLUDEPICTURE
"../../../../../../中考王——河北数学/中考王%20%20河北数学Word/考点3.TIF"
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　相似多边形
8．定义：对应角__相等__，对应边__成比例__的两个多边形叫做相似多边形，相似多边形对应边的比叫做它们的相似比．
9．性质：
(1)相似多边形的对应边__成比例__；
(2)相似多边形的对应角__相等__；
(3)相似多边形周长的比__等于__相似比，相似多边形面积的比等于__相似比的平方__．
INCLUDEPICTURE"考点4.TIF"INCLUDEPICTURE
"../../../../../../中考王——河北数学/中考王%20%20河北数学Word/考点4.TIF"
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　位似图形
10．定义：如果两个图形不仅是相似图形而且每组对应点所在的直线都经过同一个点，那么这样的两个图形叫做__位似图形__，这个点叫做__位似中心__，相似比叫做位似比．
11．性质：
(1)在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于__k或－k__；
(2)位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于__位似比或相似比__．
12．找位似中心的方法：将两个图形的各组对应点连接起来，若它们的直线或延长线相交于一点，则该点即是__位似中心__．
13．画位似图形的步骤：
(1)确定__位似中心__；
(2)确定原图形的关键点；
(3)确定位似比，即要将图形放大或缩小的倍数；
(4)作出原图形中各关键点的对应点；
(5)按原图形的连接顺序连接所作的各个对应点．
,中考重难点突破)
INCLUDEPICTURE"类型1.TIF"INCLUDEPICTURE
"../../../../../../中考王——河北数学/中考王%20%20河北数学Word/类型1.TIF"
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　比例的性质
【例1】已知＝＝，且3a－2b＋c＝20，则2a－4b＋c的值为____．
【学生解答】－6
【点拨】设＝＝＝k(k≠0)，用含k的式子表示a、b、c，代入等式3a－2b＋c＝20求出k值，再求出a、b、c值代入可求．
INCLUDEPICTURE"针对.TIF"INCLUDEPICTURE
"../../../../../../中考王——河北数学/中考王%20%20河北数学Word/针对.TIF"
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1．(2015河北沧州十三中一模)若x∶y＝1∶3，2y＝3z，则的值是(　A　)
　
　　　　　
　　　　　
　　　　
A．－5
B．－
C.
D．5
INCLUDEPICTURE"类型2.TIF"INCLUDEPICTURE
"../../../../../../中考王——河北数学/中考王%20%20河北数学Word/类型2.TIF"
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MERGEFORMAT
　相似三角形的判定与性质(重难点)
【例2】(2015茂名中考)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6
cm，BC＝8
cm，动点M从点B出发，在BA边上以每秒3
cm的速度向点A运动，同时动点N从点C出发，在CB边上以每秒2
cm的速度向点B运动，运动时间为t
s，连接MN.
(1)如图①，若△BMN与△ABC相似，求t的值；
(2)如图②，连接AN，CM，若AN⊥CM，求t的值．
【解析】(1)△BMN与△ABC相似，分两种情况：△BMN∽△BAC和△BMN∽△BCA，得对应线段成比例，求得t的值；(2)过点M作MD⊥BC于点D，把BM，DM，BD，CN用t表示后，CD就可用t表示，证得△CAN∽△DCM，得对应线段成比例，得关于t的方程，求出t的值．
【学生解答】解：(1)由题意知BA＝＝10(cm)，BM＝3t
cm，CN＝2t
cm，∴BN＝(8－2t)cm.当△BMN∽△BAC时，有＝，∴＝，解得t＝；当△BMN∽△BCA时，有＝，∴＝，解得t＝，∴当△BMN与△ABC相似时，t的值为或；
(2)如图②，过点M作MD⊥CB于点D，由题意得BM＝3t
cm，CN＝2t
cm，DM＝BM·sinB＝3t·＝t(cm)，BD＝BM·cosB＝3t·＝t(cm)，∴CD＝cm.∵AN⊥CM，∠ACB＝90°，∴∠CAN＋∠ACM＝90°，∠MCD＋∠ACM＝90°，∴∠CAN＝∠MCD.∵MD⊥CB，∴∠MDC＝∠ACB＝90°，∴△CAN∽△DCM.∴＝，∴＝，解得t＝.
INCLUDEPICTURE"针对.TIF"INCLUDEPICTURE
"../../../../../../中考王——河北数学/中考王%20%20河北数学Word/针对.TIF"
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2．(2016宁波中考)如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝∠ACD＝90°，AB＝2，DC＝3，则△ABC与△DCA的面积比为(　C　)
A．2∶3　
　B．2∶5　
　C．4∶9　
　D.∶
3．(2016自贡中考)如图，在△ABC中，D、E分别为AB、AC边的中点，求证：DE綊BC.
证明：∵D是AB的中点，E是AC的中点，∴＝，＝，∴＝，又∵∠A＝∠A，∴△ADE∽△ABC，∴＝＝，∠ADE＝∠B，∴BC＝2DE，BC∥DE，即DE綊BC.
INCLUDEPICTURE"类型3.TIF"INCLUDEPICTURE
"../../../../../../中考王——河北数学/中考王%20%20河北数学Word/类型3.TIF"
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　位似图形
【例3】(2016承德二中模拟)如图，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点O在坐标原点，边OA在x轴上，OC在y轴上，如果矩形OA′B′C′与矩形OABC关于点O位似，且矩形OA′B′C′的面积等于矩形OABC的面积的，那么点B′的坐标是(　　)
A．(－2，3)
B．(2，－3)
C．(3，－2)或(－2，3)
D．(－2，3)或(2，－3)
【学生解答】D
【点拨】在第二象限与第四象限分别能画出符合条件的矩形OA′B′C′.
INCLUDEPICTURE"针对.TIF"INCLUDEPICTURE
"../../../../../../中考王——河北数学/中考王%20%20河北数学Word/针对.TIF"
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4．(2016沧州八中二模)如图，△OAB与△OCD是以点O为位似中心的位似图形，相似比为1∶2，
∠OCD＝90°，CO＝CD.若B(1，0)，则点C的坐标为(　B　)
A．(1，2)
B．(1，1)
C．(，)
D．(2，1)
,中考备考方略)
INCLUDEPICTURE"基础训练.TIF"INCLUDEPICTURE
"../../../../../../中考王——河北数学/中考王%20%20河北数学Word/基础训练.TIF"
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MERGEFORMAT
1．(2016东营中考)若＝，则的值为(　D　)
　
　　　　　
　　　　　
　　　　
A．1
B.
C.
D.
2．(2016兰州中考)如图，在△ABC中，DE∥BC，若＝，则＝(　C　)
A.
B.
C.
D.
(第2题图)
　　　(第3题图)
3．(2016荆州中考)如图，点P在△ABC的边AC上，要判断△ABP∽△ACB，添加一个条件不正确的是(　D　)
A．∠ABP＝∠C
B．∠APB＝∠ABC
C.＝
D.＝
4．(2016杭州中考)如图，已知直线a∥b∥c，直线m交直线a，b，c于点A，B，C，直线n交直线a，b，c于点D，E，F，若＝，则＝(　B　)
A.
B.
C.
D．1
5．(2016临夏中考)如果两个相似三角形的面积比是1∶4，那么它们的周长比是(　D　)
A．1∶16
B．1∶4
C．1∶6
D．1∶2
6．(2016重庆中考)△ABC与△DEF的相似比为1∶4，则△ABC与△DEF的周长比为(　C　)
A．1∶2
B．1∶3
C．1∶4
D．1∶16
7．(2016盐城中考)如图，点F在平行四边形ABCD的边AB上，射线CF交DA的延长线于点E，在不添加辅助线的情况下，与△AEF相似的三角形(　C　)
A．0个
B．1个
C．2个
D．3个
(第7题图)
　(第8题图)
8．(2016安徽中考)如图，△ABC中，AD是中线，BC＝8，∠B＝∠DAC，则线段AC的长为(　B　)
A．4
B．4
C．6
D．4
9．(2016东营中考)如图，在平面直角坐标系中，已知点A(－3，6)，B(－9，－3)，以原点O为位似中心，相似比为，把△ABO缩小，则点A的对应点A′的坐标是(　D　)
A．(－1，2)
B．(－9，18)
C．(－9，18)或(9，－18)
D．(－1，2)或(1，－2)
10．(2016宿迁中考)若两个相似三角形的面积比为1∶4，则这两个相似三角形的周长比是__1∶2__．
11．(2016衡阳中考)若△ABC与△DEF相似且面积之比为25∶16，则△ABC与△DEF的周长之比为__5∶4__．
12．(2016临夏中考)如图，已知EC∥AB，∠EDA＝∠ABF.
求证：(1)四边形ABCD是平行四边形；
(2)OA2＝OE·OF.
证明：(1)∵EC∥AB，∴∠EDA＝∠DAB，
∵∠EDA＝∠ABF，∴∠DAB＝∠ABF，
∴AD∥BC，
∵DC∥AB，∴四边形ABCD为平行四边形；
(2)∵EC∥AB，∴△OAB∽△OED，
∴＝，
∵AD∥BC，∴△OBF∽△ODA，
∴＝，∴＝，∴OA2＝OE·OF.
INCLUDEPICTURE"能力提升.TIF"INCLUDEPICTURE
"../../../../../../中考王——河北数学/中考王%20%20河北数学Word/能力提升.TIF"
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MERGEFORMAT
13．(2016咸宁中考)如图，在△ABC中，中线BE，CD相交于点O，连接DE，下列结论：①＝；②＝；③＝；④＝.
其中正确的个数有(　B　)
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
(第13题图)
　　　(第14题图)
14．(2016沧州九中模拟)如图，在△ABC中，BF平分∠ABC，AF⊥BF于点F，D为AB的中点，连接DF延长交AC于点E.若AB＝10，BC＝16，则线段EF的长为(　B　)
A．2
B．3
C．4
D．5
15．(2016泰安中考)如图，△ABC内接⊙O，AB是⊙O的直径，∠B＝30°，CE平分∠ACB交⊙O于E，交AB于点D，连接AE，则S△ADE∶S△CDB的值等于(　D　)
A．1∶
B．1∶
C．1∶2
D．2∶3
(第15题图)
　　　(第16题图)
16．(2016十堰中考)如图，以点O为位似中心，将△ABC缩小后得到△A′B′C′，已知OB＝3OB′，则△A′B′C′与△ABC的面积比为(　D　)
A．1∶3
B．1∶4
C．1∶5
D．1∶9
17．(2016舟山中考)如图，已知△ABC和△DEC的面积相等，点E在BC边上，DE∥AB交AC于点F，AB＝12，EF＝9，则DF的长是多少？
解：∵△ABC与△DEC的面积相等，
∴△CDF与四边形AFEB的面积相等，
∵AB∥DE，∴△CEF∽△CBA，
∵EF＝9，AB＝12，∴EF∶AB＝9∶12＝3∶4，
∴△CEF和△CBA的面积比＝9∶16，
设△CEF的面积为9k，则四边形AFEB的面积为7k，
∵△CDF与四边形AFEB的面积相等，
∴S△CDF＝7k，
∵△CDF与△CEF是同高不同底的三角形，
∴面积比等于底之比，∴DF∶EF＝7k∶9k，
∴DF＝7.
18．(2016石家庄四十一中二模)如图，已知四边形ABCD内接⊙O，A是的中点，AE⊥AC于A，与⊙O及CB的延长线交于点F、E，且＝.
(1)求证：△ADC∽△EBA；
(2)如果AB＝8，CD＝5，求tan∠CAD的值．
解：(1)∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠CDA＝∠ABE.
∵＝，∴∠DCA＝∠BAE.
∴△ADC∽△EBA；
(2)∵A是的中点，∴＝，
∴AB＝AC＝8，
∵△ADC∽△EBA，
∴∠CAD＝∠AEC，＝，
即＝，∴AE＝，
∴tan∠CAD＝tan∠AEC＝＝＝.
19．(2016杭州中考)如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，∠AED＝∠B，射线AG分别交线段DE，BC于点F，G，且＝.
(1)求证：△ADF∽△ACG；
(2)若＝，求的值．
解：(1)∵∠AED＝∠B，∠DAE＝∠DAE，
∴∠ADF＝∠C，∵＝，∴△ADF∽△ACG；
(2)∵△ADF∽△ACG，∴＝，
又∵＝，∴＝，∴＝1.