2017河北中考数学5.2锐角三角函数及解直角三角形的应用教材知识梳理

第二节　锐角三角函数及解直角三角形的应用
,河北8年中考命题规律)
年份
题号
考查点
考查内容
分值
总分
2015
9
认识方位角
考查方式依题意画出方位角
3
3
2014
22(3)
解直角三角形的应用
以三个垃圾存放点为背景，(3)通过解直角三角形求垃圾运送费用
4
4
2013
8
解直角三角形的应用
以航行、方向角为背景，利用解直角三角形求距离
3
3
2009
8
解直角三角形的应用
以手扶电梯为背景，利用解直角三角形求高度
2
2
2010、2011、2012、2016四年未考查
命题规律
纵观河北8年中考，锐角三角函数及解直角三角形，在中考中只出一题，题型多为选择和解答题，分值2～9分，难度中等，主要考查解直角三角形的应用的选择题和解答题形式各考查了2次，2015年考查了对方位角的认识，其中2010～2012年都未考查，2016年也没独立考查．
命题预测
预计2017年河北中考，仍然会考此知识点，命选择题可能性较大，也有可能出解答题，应强化训练不留死角
,河北8年中考真题及模拟)
INCLUDEPICTURE"命点.TIF"INCLUDEPICTURE
"../../../../../../中考王——河北数学/中考王%20%20河北数学Word/命点.TIF"
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MERGEFORMAT
　解直角三角形的应用(3次)
1．(2015河北9题3分)已知：岛P位于岛Q的正西方，由岛P，Q分别测得船R位于南偏东30°和南偏西45°方向上，符合条件的示意图是(　D　)
　
　　　　　
　　　　　
　　　　
,A)
,B)
,C)
,D)
2．(2009河北8题2分)如图是某商场一楼与二楼之间的手扶电梯示意图，其中AB、CD分别表示一楼、二楼地面的水平线，∠ABC＝150°，BC的长是8
m，则乘电梯从点B到点C上升的高度h是(　B　)
A.
m
B．4
m
C．4
m
D．8
m
(第2题图)
　　　(第3题图)
3．(2013河北8题3分)如图，一艘海轮位于灯塔P的南偏东70°方向的M处，它以每小时40海里速度向正北方向航行，2小时后到达位于灯塔P的北偏东40°的N处，则N处与灯塔P的距离为(　D　)
A．40海里
B．60海里
C．70海里
D．80海里
4．(2016石家庄四十三中一模)已知sin6°＝a，sin36°＝b，则sin26°＝(　A　)
A．a2
B．2a
C．b2
D．b
5．(2016定州模拟)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，BC＝12.则下列三角函数表示正确的是(　A　)
A．sinA＝
B．cosA＝
C．tanA＝
D．tanB＝
(第5题图)
　　　(第6题图)
6．(2016唐山二模)如图，△ABC的顶点都在正方形网格的格点上，则cosC的值为(　B　)
A.
B.
C.
D.
(第7题图)
　　　(第8题图)
7．(2016张家口一模)河堤横断面如图所示，堤高BC＝5米，迎水坡AB的坡比是1∶(坡比是坡面的铅直高度BC与水平宽度AC之比)，则AC的长是(　A　)
A．5
m
B．10
m
C．15
m
D．10
m
8．(2016保定十三中二模)如图，港口A在观测站O的正东方向，OA＝4.某船从港口A出发，沿北偏东15°方向航行一段距离后到达B处，此时从观测站O处测得该船位于北偏东60°的方向，则该船航行的距离(即AB的长)为__2__．
9．(2016张家口九中二模)芜湖长江大桥是中国跨度最大的公路和铁路两用桥梁，大桥采用低塔斜拉桥桥型(如甲图)，图乙是从图甲引伸出的平面图，假设你站在桥上测得拉索AB与水平桥面的夹角是30°，拉索CD与水平桥面的夹角是60°，两拉索顶端的距离BC为2
m，两拉索底端距离AD为20
m，请求出立柱BH的长．(结果精确到0.1
m，≈1.732)
解：设DH＝x
m，
∵∠CDH＝60°，∠H＝90°，
∴CH＝DH·sin60°＝x，
∴BH＝BC＋CH＝2＋x，
∵∠A＝30°，
∴AH＝BH＝2＋3x，
∵AH＝AD＋DH，
∴2＋3x＝20＋x，
解得x＝10－，
∴BH＝2＋(10－)＝10－1≈16.3(m)．
答：立柱BH的长约为16.3
m.
10．(2016邯郸二十五中模拟)保护视力要求人写字时眼睛和笔端的距离应超过30
cm.
图(1)是一位同学的坐姿，把他的眼睛B，肘关节C和笔端A的位置关系抽象成图(2)的△ABC.
已知BC＝30
cm，AC＝22
cm，∠ACB＝53°，他的这种坐姿符合保护视力的要求吗？请说明理由.
(参考数据：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6，tan53°≈1.3)
解：他的这种坐姿不符合保护视力的要求，
理由：如图(2)所示：过点B作BD⊥AC于点D，
∵BC＝30
cm，∠ACB＝53°，
∴sin53°＝＝≈0.8，
解得：BD＝24，
cos53°＝≈0.6，
解得DC＝18,
∴AD＝22－18＝4(cm)，
∴AB＝＝＝<，
∴他的这种坐姿不符合保护视力的要求．
,中考考点清单)
INCLUDEPICTURE"考点1.TIF"INCLUDEPICTURE
"../../../../../../中考王——河北数学/中考王%20%20河北数学Word/考点1.TIF"
\
MERGEFORMAT
　锐角三角函数的概念
在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝c，BC＝a，AC＝b，则∠A的
正弦
sinA＝＝①
余弦
cosA＝＝②
正切
tanA＝＝③
INCLUDEPICTURE"考点2.TIF"INCLUDEPICTURE
"../../../../../../中考王——河北数学/中考王%20%20河北数学Word/考点2.TIF"
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MERGEFORMAT
　特殊角的三角函数值
三角函数
30°
45°
60°
sinα
④____
cosα
⑤____
tanα
⑥____
1
INCLUDEPICTURE"考点3.TIF"INCLUDEPICTURE
"../../../../../../中考王——河北数学/中考王%20%20河北数学Word/考点3.TIF"
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MERGEFORMAT
　解直角三角形
解直角三角形常用的关系：在Rt△ABC中，∠C＝90°，则
三边关系
⑦__a2＋b2＝c2__
两锐角关系
⑧∠A＋∠B＝90°
边角关系
sinA＝cosB＝cosA＝sinB＝tanA＝
INCLUDEPICTURE"考点4.TIF"INCLUDEPICTURE
"../../../../../../中考王——河北数学/中考王%20%20河北数学Word/考点4.TIF"
\
MERGEFORMAT
　解直角三角形的应用
仰角、俯角
在视线与水平线所成的锐角中，视线在水平线上方的角叫⑨__仰角__，视线在水平线下方的角叫⑩__俯角__．如图①
坡度(坡比)、坡角
坡面的铅直高度h和 __水平宽度__l的比叫坡度(坡比)，用字母i表示；坡面与水平线的夹角α叫坡角．i＝tanα＝ ____.如图②
方位角
指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角，叫做 __方位角__，如图③，A点位于O点的北偏东30°方向，B点位于O点的南偏东60°方向，C点位于O点的北偏西45°方向(或西北方向)
【规律总结】解直角三角形的方法：(1)解直角三角形，当所求元素不在直角三角形中时，应作辅助线构造直角三角形，或寻找已知直角三角形中的边角替代所要求的元素；(2)解实际问题的关键是构造几何模型，大多数问题都需要添加适当的辅助线，将问题转化为直角三角形中的边角计算问题．
,中考重难点突破)
INCLUDEPICTURE"类型1.TIF"INCLUDEPICTURE
"../../../../../../中考王——河北数学/中考王%20%20河北数学Word/类型1.TIF"
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MERGEFORMAT
　锐角三角函数及特殊角三角函数值
【例1】(2016攀枝花中考)在△ABC中，如果∠A，∠B满足|tanA－1|＋＝0，那么∠C＝________.
【解析】先根据非负性，得tanA＝1，cosB＝，求出∠A及∠B的度数，进而可得出结论．
∵在△ABC中，tanA＝1，cosB＝，
∴∠A＝45°，∠B＝60°，
∴∠C＝180°－∠A－∠B＝75°.
【学生解答】75°
【点拨】熟记各特殊角度的三角函数值是解答此题的关键．
INCLUDEPICTURE"针对.TIF"INCLUDEPICTURE
"../../../../../../中考王——河北数学/中考王%20%20河北数学Word/针对.TIF"
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MERGEFORMAT
1．(2016唐山九中一模)在△ABC中，若＋＝0，则∠C的度数是(　D　)
　
　　　　　
　　　　　
　　　　
A．30°
B．45°
C．60°
D．90°
2．(2016温州中考)如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，则cosA的值是(　D　)
A.
B.
C.
D.
3．(2016无锡中考)sin30°的值为(　A　)
A.
B.
C.
D.
4．(2016孝感中考)式子2cos30°－tan45°－的值是(　B　)
A．2－2
B．0
C．2
D．2
INCLUDEPICTURE"类型2.TIF"INCLUDEPICTURE
"../../../../../../中考王——河北数学/中考王%20%20河北数学Word/类型2.TIF"
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MERGEFORMAT
　解直角三角形的实际应用
【例2】(2016钦州中考)如图，在电线杆CD上的C处引拉线CE，CF固定电线杆，拉线CE和地面所成的角∠CED＝60°，在离电线杆6
m的B处安置高为1.5
m的测角仪AB，在A处测得电线杆上C处的仰角为30°，求拉线CE的长．(结果保留小数点后一位，参考数据：≈1.41，≈1.73)
【解析】由题意可先过点A作AH⊥CD于点H，在Rt△ACH中，可求出CH，进而CD＝CH＋HD＝CH＋AB，再在Rt△CED中，求出CE的长．
【学生解答】解：如图，过点A作AH⊥CD，垂足为H，
由题意，可知四边形ABDH为矩形，∠CAH＝30°，
∴AB＝DH＝1.5，BD＝AH＝6.
在Rt△ACH中，tan∠CAH＝，
∴CH＝AH·tan∠CAH＝6tan30°＝6×＝2(m)．
∵DH＝1.5，∴CD＝2＋1.5，
在Rt△CDE中，∠CED＝60°，sin∠CED＝，
∴CE＝＝4＋≈5.7(m)，
∴拉线CE的长约为5.7
m.
【方法总结】解此类题的一般方法：(1)作出辅助线，构造直角三角形；(2)利用锐角三角函数将各边之间的关系表示出来；(3)根据已知条件求值．
INCLUDEPICTURE"针对.TIF"INCLUDEPICTURE
"../../../../../../中考王——河北数学/中考王%20%20河北数学Word/针对.TIF"
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MERGEFORMAT
5．(2016石家庄十一中二模)如图，某公园入口处原有三级台阶，每级台阶高为18
cm，宽为30
cm，为方便残疾人士，拟将台阶改为斜坡，设台阶的起点为A，斜坡的起始点为C，现设计斜坡BC的坡度i＝1∶5，则AC的长度是__210__cm.
(第5题图)
　　　(第6题图)
6．(2016河北石家庄二十八中一模)如图，一渔船由西往东航行，在A点测得海岛C位于北偏东60°的方向，前进20
n
mile到达B点，此时，测得海岛C位于北偏东30°的方向，则海岛C到航线AB的距离CD等于__10__n
mile.
7．(2016保定十七中二模)如图，将45°的∠AOB按下面的方式放置在一把刻度尺上：顶点O与尺下沿的端点重合，OA与尺下沿重合，OB与尺上沿的交点B在尺上的读数恰为2
cm.若按相同的方式将37°的∠AOC放置在该刻度尺上，则OC与尺上沿的交点C在尺上的读数约为__2.7__cm.(结果精确到0.1
cm，参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75)
8．(2016邢台中学二模)如图，在一笔直的海岸线l上有A，B两个观测站，A在B的正东方向，AB＝2km.有一艘小船在点P处，从A处测得小船的北偏西60°的方向，从B处测得小船的北偏东45°的方向．
(1)求点P到海岸线l的距离；
(2)小船从点P处沿射线AP的方向航行一段时间后，到达点C处．此时，从B处测得小船在北偏西15°的方向，求点C与点B这间的距离．(上述2小题的结果都保留根号)
解：(1)如图，过点P作PD⊥AB于点D.设PD＝x
km.在Rt△PBD中，∠BDP＝90°，∠PBD＝90°－45°＝45°，∴BD＝PD＝x.在Rt△PAD中，∠ADP＝90°，∠PAD＝90°－60°＝30°，∴AD＝PD＝x.
∵BD＋AD＝AB，∴x＋x＝2，x＝－1.∴点P到海岸线l的距离为(－1)km；
(2)如图，过点B作BF⊥AC于点F.根据题意，得∠ABC＝105°，在Rt△ABF中，∠AFB＝90°，∠BAF＝30°，∴BF＝AB＝1.在△ABC中，∠C＝180°－∠BAC－∠ABC＝45°.在Rt△BCF中，∠BFC＝90°，∠C＝45°，∴BC＝BF＝，∴点C与点B之间的距离为
km.
,中考备考方略)
INCLUDEPICTURE"基础训练.TIF"INCLUDEPICTURE
"../../../../../../中考王——河北数学/中考王%20%20河北数学Word/基础训练.TIF"
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MERGEFORMAT
1．(2016山西中考)如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，则∠ABC的正切值是(　D　)
　
　　　　　
　　　　　
　　　　
A．2
B.
C.
D.
(第1题图)
　　　　(第2题图)
2．(2016济宁中考)如图，斜面AC的坡度(CD与AD的比)为1∶2，AC＝3
m，坡顶有旗杆BC，旗杆顶端B点与A点有一条彩带相连．若AB＝10
m，则旗杆BC的高度为(　A　)
A．5
m
B．6
m
C．8
m
D．(3＋)m
3．(2016乐山中考)如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，则下列结论不正确的是(　C　)
A．sinB＝
B．sinB＝
C．sinB＝
D．sinB＝
4．(2016永州中考)下列式子错误的是(　D　)
A．cos40°＝sin50°
B．tan15°·tan75°＝1
C．sin225°＋cos225°＝1
D．sin60°＝2sin30°
5．(2016福州中考)如图，以圆O为圆心，半径为1的弧交坐标轴于A，B两点，P是上一点(不与A，B重合)，连接OP，设∠POB＝α，则点P的坐标是(　C　)
A．(sinα，sinα)
B．(cosα，cosα)
C．(cosα，sinα)
D．(sinα，cosα)
6．(2016益阳中考)小明利用测角仪和旗杆的拉绳测量学校旗杆的高度．如图，旗杆PA的高度与拉绳PB的长度相等，小明将PB拉到PB′的位置，测得∠PB′C＝α(B′C为水平线)，测角仪B′D的高度为1
m，则旗杆PA的高度为(　A　)
A.
m
B.
m
C.
m
D.
m
(第6题图)
　　　　(第7题图)
7．(2016金华中考)一座楼梯的示意图如图所示，BC是铅垂线，CA是水平线，BA与CA的夹角为θ.现要在楼梯上铺一条地毯，已知CA＝4
m，楼梯宽度1
m，则地毯的面积至少需要(　D　)
A.
m2
B.
m2
C.m2
D．(4＋4tanθ)m2
8．(2016重庆中考)如图所示，某办公大楼正前方有一根高度是15
m的旗杆ED，从办公楼顶端A测得旗杆顶端E的俯角α是45°，旗杆底端D到大楼前梯坎底边的距离DC是20
m，梯坎坡长BC是12
m，梯坎坡度i＝1∶，则大楼AB的高度约为(精确到0.1
m，参考数据：≈1.41，≈1.73，≈2.45)(　D　)
A．30.6
m
B．32.1
m
C．37.9
m
D．39.4
m
(第8题图)
　　(第9题图)
9．(2016巴中中考)一个公共房门前的台阶高出地面1.2
m，台阶拆除后，换成供轮椅行走的斜坡，数据如图所示，则下列关系或说法正确的是(　B　)
A．斜坡AB的坡度是10°
B．斜坡AB的坡度是tan10°
C．AC＝1.2tan10°
m
D．AB＝
m
10．(2016绍兴中考)如图，从地面上的点A看一山坡上的电线杆PQ，测得杆顶端点P的仰角是45°，向前走6
m到达B点，测得杆顶端点P和杆底端点Q的仰角分别是60°和30°.
(1)求∠BPQ的度数；
(2)求该电线杆PQ的高度．(结果精确到1m，备用数据：≈1.7，≈1.4)
解：延长PQ交直线AB于点E.(1)∠BPQ＝90°－60°＝30°；(2)设PE＝x
m．在直角△APE中，∠A＝45°，则AE＝PE＝x
m；∵∠PBE＝60°，∴∠BPE＝30°；在直角△BPE中，BE＝PE＝x
m，∵AB＝AE－BE＝6
m，则x－x＝6，解得x＝9＋3.则BE＝(3＋3)m，在直角△BEQ中，QE＝BE＝(3＋3)＝(3＋)m.∴PQ＝PE，QE＝9＋3－(3＋)＝6＋2≈9(m)．答：电线杆PQ的高度约为9
m.
INCLUDEPICTURE"能力提升.TIF"INCLUDEPICTURE
"../../../../../../中考王——河北数学/中考王%20%20河北数学Word/能力提升.TIF"
\
MERGEFORMAT
11．(2016长沙中考)如图，热气球的探测器显示，从热气球A处看一栋楼顶部B处的仰角为30°，看这栋楼底部C处的俯角为60°，热气球A处与楼的水平距离为120
m，则这栋楼的高度为(　A　)
A．160
m
B．120
m
C．300
m
D．160
m
(第11题图)
　(第12题图)
12．(2016廊坊二模)如图，轮船沿正南方向以30海里/时的速度匀速航行，在M处观测到灯塔P在西偏南68°方向上，航行2小时后到达N处，观测灯塔P在西偏南46°方向上，若该船继续向南航行至离灯塔最近位置，则此时轮船离灯塔的距离约为(由科学计算器得到sin68°≈0.927
2，sin46°≈0.719
3，sin22°≈0.374
6，sin44°≈0.694
7)(　B　)
A．22.48海里
B．41.68海里
C．43.16海里
D．55.63海里
13．(2016十堰中考)在综合实践课上，小聪所在小组要测量一条河的宽度，如图，河岸EF∥MN，小聪在河岸MN上点A处用测角仪测得河对岸小树C位地东北方向，在后沿河岸走了30
m，到达B处，测得河对岸电线杆D位于北偏东30°方向，此时，其他同学测得CD＝10
m．请根据这些数据求出河的宽度为__(30＋10)__m．(结果保留根号)
14．(2016潍坊中考)如图，直立于地面上的电线杆AB，在阳光下落在水平地面和坡面上的影子分别是BC、CD，测得BC＝6
m，CD＝4
m，∠BCD＝150°，在D处测得电线杆顶端A的仰角为30°，试求电线杆的高度．(结果保留根号)
解：延长AD交BC的延长线于E，作DF⊥BE于F，
∵∠BCD＝150°，∴∠DCF＝30°，又CD＝4，
∴DF＝2，CF＝＝2，
由题意得∠E＝30°，∴EF＝＝2，
∴BE＝BC＋CF＋EF＝6＋4，
∴AB＝BE×tanE＝(6＋4)×＝(2＋4)m.
答：电线杆的高度为(2＋4)m.
15．(2016广安中考)如图，某城市市民广场一入口处有五级高度相等的小台阶．已知台阶总高1.5
m，为了安全现要作一个不锈钢扶手AB及两根与FG垂直且长为1
m的不锈钢架杆AD和BC(杆子的底端分别为D、C)，且∠DAB＝66.5°.(参考数据：cos66.5°≈0.40，sin66.5°≈0.92)
(1)求点D与点C的高度DH；
(2)求所有不锈钢材料的总长度．(即AD＋AB＋BC的长，结果精确到0.1
m)
解：(1)DH＝1.5×＝1.2
m；
(2)过B作BM⊥AD于M，
在矩形BCHM中，MH＝BC＝1
m，
AM＝AD＋DH－MH＝1
m＋1.2
m－1
m＝1.2
(m)，
在Rt△AMB中，AB＝≈3.0
m，
所以有不锈钢材料的总长度为1
m＋3.0
m＋1
m＝5.0
(m)．