2017河北中考数学4.3等腰三角形与直角三角形教材知识梳理

第三节　等腰三角形与直角三角形
,河北8年中考命题规律)
年份
题号
考查点
考查内容
分值
总分
2016
16
等边三角形判定
已知特殊角平分线上一定点，在角两边或符合条件的总度数与定点构成等边三角形
2
2
2015
20
等腰三角形性质
以等腰三角形为背景，求角度
3
3
2013
13
等边三角形的性质
以两个等边三角形与正方形结合为背景，考查平行线性质及三角形内角和性质求两角度之和
3
3
2012
14
直角三角形的性质
以直角三角形为背景，结合余角的性质求角度
3
3
2011
9
直角三角形的性质
以直角三角形为背景，将三角形折叠，求折痕长
3
3
2009
17
等边三角形的性质
以等边三角形为背景，将三角形折叠，求阴影部分图形的周长
3
3
2014、2010年未考查
命题规律
对于本课时内容中考中一般设置1道题，分值为3分，题型为选择、填空题．分析近8年河北中考试题可以看出，本课时的常考类型有：(1)等边三角形的相关计算(在选择题中考查1次，在填空题中考查1次)；(2)直角三角形的相关计算(在填空题中考查3次)；(3)找符合条件的等边三角形(考查1次)．
命题预测
纵观河北8年中考，2017年本节重点考查内容为直角三角形的相关计算，题型以填空题为主.
,河北8年中考真题及模拟)
INCLUDEPICTURE"命点1.TIF"INCLUDEPICTURE
"../../../../../../中考王——河北数学/中考王%20%20河北数学Word/命点1.TIF"
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　等边三角形判定和的相关计算
1．(2016河北16题2分)如图，∠AOB＝120°，OP平分∠AOB，且OP＝2.若点M，N分别在OA，OB上，且△PMN为等边三角形，则满足上述条件的△PMN有(　D　)
A．1个　　　　　B．2个
C．3个
D．3个以上
2．(2013河北13题3分)一个正方形和两个等边三角形的位置如图所示，若∠3＝50°，则∠1＋∠2＝(　B　)
　
　　　　　
　　　　　
　　　　
A．90°
B．100°
C．130°
D．180°
(第2题图)
　　　　　(第3题图)
3．(2009河北17题3分)如图，等边△ABC的边长为1
cm，D，E分别是AB，AC上的点，将△ABC沿直线DE折叠，点A落在点A′处，且点A′在△ABC外部，则阴影部分图形的周长为__3__cm.
4．(2015河北20题3分)如图，∠BOC＝9°，点A在OB上，且OA＝1，按下列要求画图：
以A为圆心，1为半径向右画弧交OC于点A1，得第1条线段AA1；
再以A1为圆心，1为半径向右画弧交OB于点A2，得第2条线段A1A2；
再以A2为圆心，1为半径向右画弧交OC于点A3，得第3条线段A2A3；
……
这样画下去，直到得第n条线段，之后就不能再画出符合要求的线段了，则n＝__9__．
INCLUDEPICTURE"命点2.TIF"INCLUDEPICTURE
"../../../../../../中考王——河北数学/中考王%20%20河北数学Word/命点2.TIF"
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　直角三角形的相关计算
5．(2011河北9题3分)如图，在△ABC中，∠C＝90°，BC＝6，D，E分别在AB，AC上，将△ABC沿DE折叠，使点A落在点A′处，若A′为CE的中点，则折痕DE的长为(　B　)
A.
B．2
C．3
D．4
(第5题图)
　　(第6题图)
6．(2016邢台金华中学一模)如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为点E，DE＝1，则BC的长是(　C　)
A.
B．2
C．3
D.＋2
7．(2016廊坊二模)下列四组线段中，可以构成直角三角形的是(　B　)
A．4，5，6
B．1.5，2，2.5
C．2，3，4
D．1，，3
8．(2016秦皇岛二模)如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝120°，BC＝6
cm，AB的垂直平分线交BC于点M，交AB于点E，AC的垂直平分线交BC于点N，交AC于点F，则MN的长为(　C　)
A．4
cm
B．3
cm
C．2
cm
D．1
cm
(第8题图)
　　　(第12题图)
9．(2016河北唐山五十四中一模)若等腰三角形的顶角为80°，则它的底角度数为(　B　)
A．80°
B．50°
C．40°
D．20°
10．(2016河北唐山友谊中学一模)已知等腰三角形ABC的两边长分别为2和3，则等腰三角形ABC的周长为(　D　)
A．7
B．8
C．6或8
D．7或8
11．(2016保定育德中学二模)一直角三角形的两边长分别为3和4，则第三边的长为(　D　)
A．5
B.
C.
D．5或
12．(2012河北14题3分)如图，AB，CD相交于点O，AC⊥CD于点C，若∠BOD＝38°，∠A等于__52°__．
13．(2016唐山路北区二模)如图，在等边三角形ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，且DE∥AB，过点E作EF⊥DE，交BC的延长线于点F.
(1)求∠F的度数；
(2)若CD＝2，求DF的长．
解：(1)∵△ABC是等边三角形，
∴∠B＝60°，∵DE∥AB，
∴∠EDC＝∠B＝60°.
∵EF⊥DE，
∴∠DEF＝90°，
∴∠F＝90°－∠EDC＝30°；
(2)∵∠ACB＝60°，∠EDC＝60°，
∴△EDC是等边三角形，∴ED＝DC＝2.
∵∠DEF＝90°，∠F＝30°，∴DF＝2DE＝4.
,中考考点清单)
INCLUDEPICTURE"考点1.TIF"INCLUDEPICTURE
"../../../../../../中考王——河北数学/中考王%20%20河北数学Word/考点1.TIF"
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MERGEFORMAT
　等腰三角形的性质与判定
1．等腰三角形
定义
有两边相等的三角形是等腰三角形，相等的两边叫腰，第三边为底
性质
(1)等腰三角形两腰相等(即AB＝AC)；(2)等腰三角形的两底角__相等__(即∠B＝__∠C__)；(3)等腰三角形是轴对称图形，有一条对称轴；(4)等腰三角形顶角的平分线、底边上的高和底边的中线互相重合；(5)面积：
S△ABC＝BC·AD
判定
如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形，其中，两个相等的角所对的边相等(简称“__等角对等边__”)
　　2.等边三角形
定义
三边相等的三角形是等边三角形
性质
(1)等边三角形三边相等(即AB＝BC＝AC)；(2)等边三角形三角相等，且每一个角都等于__60°__(即∠A＝∠B＝∠C＝__60°__)；(3)等边三角形内、外心重合；(4)等边三角形是轴对称图形，有三条对称轴；(5)面积：S△ABC＝BC·AD
判定
(1)三边都相等的三角形是等边三角形；(2)三个角相等的三角形是等边三角形；(3)有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形
INCLUDEPICTURE"考点2.TIF"INCLUDEPICTURE
"../../../../../../中考王——河北数学/中考王%20%20河北数学Word/考点2.TIF"
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　直角三角形的性质与判定(高频考点)
直角三角形的性质与判定近8年考查3次，题型均为填空题，设问方式为：1.求角度；2.求线段长度；3.求周长．结合的背景有：1.与三角形折叠结合；2.以赵爽弦图为背景；3.利用三角形余角的性质求角度．
3．直角三角形
定义
有一个角等于90°的三角形叫做直角三角形
性质
(1)直角三角形的两个锐角之和等于__90°__；(2)直角三角形斜边上的__中线__等于斜边的一半(即BD＝AC)；(3)直角三角形中__30°__角所对应的直角边等于斜边的一半(即AB＝AC)；(4)勾股定理：如果直角三角形两直角边分别为a，b，斜边为c，那么a2＋b2＝c2；(5)在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°
判定
(1)有一个角为90°的三角形是直角三角形；(2)一条边的中线等于这条边的一半的三角形是直角三角形；(3)有两个角互余的三角形是直角三角形
4.等腰直角三角形
定义
顶角为90°的等腰三角形是等腰直角三角形
性质
等腰直角三角形的顶角是直角，两底角为45°
判定
(1)用定义判定；(2)有两个角为45°的三角形
,中考重难点突破)
INCLUDEPICTURE"类型1.TIF"INCLUDEPICTURE
"../../../../../../中考王——河北数学/中考王%20%20河北数学Word/类型1.TIF"
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　等腰三角形的相关计算
【例1】在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线与AC所在直线相交所得的锐角为50°，则底角∠B＝________.
【学生解答】70°或20°
【点拨】在等腰三角形中，只要知道其中一个内角的度数，就能算出其他两个内角的度数，如果题中没有确定这个内角是顶角还是底角，必须分成两种情况来讨论．此题的两种情况如图所示：
INCLUDEPICTURE"针对.TIF"INCLUDEPICTURE
"../../../../../../中考王——河北数学/中考王%20%20河北数学Word/针对.TIF"
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1．(2016湘西中考)一个等腰三角形一边长为4
cm，另一边长为5
cm，那么这个等腰三角形的周长是(　C　)
　
　　　　　
　　　　　
　　　　
A．13
cm
B．14
cm
C．13
cm或14
cm
D．以上都不对
2．如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线MN交AC于点D，且∠DBC＝15°，则∠A＝__50°__．
INCLUDEPICTURE"类型2.TIF"INCLUDEPICTURE
"../../../../../../中考王——河北数学/中考王%20%20河北数学Word/类型2.TIF"
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　等腰三角形、等边三角形的判定与性质
【例2】如图，在△ABC中，AB＝AC，D，E是△ABC内的两点，AD平分∠BAC，∠EBC＝∠E＝60°，若BE＝6
cm，DE＝2
cm，则BC＝________cm.
【解析】如图，延长AD交BC于点M，由AB＝AC，AD是∠BAC的平分线可得AM⊥BC，BM＝MC＝BC，延长ED交BC于点N，则△BEN是等边三角形，从而求出DN的长，利用在直角三角形中，30°的角所对的直角边等于斜边的一半，求出MN的长，进而求BM，BC的值．
【学生解答】8
INCLUDEPICTURE"针对.TIF"INCLUDEPICTURE
"../../../../../../中考王——河北数学/中考王%20%20河北数学Word/针对.TIF"
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3．(2016沧州八中二模)如图，在△ABC中，∠A＝36°，AB＝AC，BD是△ABC的角平分线，若在边AB上截取BE＝BC，连接DE，则图中等腰三角形共有(　D　)
A．2个
B．3个
C．4个
D．5个
(第3题图)
　　　(第4题图)
4．(2016漳州中考)如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，D是线段BC上的动点(不含端点B，C)，若线段AD长为正整数，则点D的个数共有(　C　)
A．5个
B．4个
C．3个
D．2个
INCLUDEPICTURE"类型3.TIF"INCLUDEPICTURE
"../../../../../../中考王——河北数学/中考王%20%20河北数学Word/类型3.TIF"
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　直角三角形的性质判定和勾股定理
【例3】如图，在Rt△ABC中，AB＝AC，∠A＝90°，D为BC上任意一点，DF⊥AB于点F，DE⊥AC于点E，M为BC的中点，连接EM，FM，给出以下五个结论：①AF＝CE；②AE＝BF；③△EFM是等腰直角三角形；④S四边形AEMF＝S△ABC；⑤EF＝BM＝MC.当点D在BC上运动时(点D不与B，C重合)，上述结论中始终正确的有(　　)
A．2个
B．3个
C．4个
D．5个
【解析】连接AM，易证AE＝DF＝BF，AF＝DE＝CE，△AME≌△BMF，∴ME＝MF，∠AME＝∠BMF，∴△EMF是等腰直角三角形．S四边形AEMF＝S△AFM＋S△AEM＝S△AFM＋S△BFM＝S△ABM＝S△ABC，但是EF与BM不一定相等，只有四边形AFME为矩形时，EF＝BM.
【学生解答】C
INCLUDEPICTURE"针对.TIF"INCLUDEPICTURE
"../../../../../../中考王——河北数学/中考王%20%20河北数学Word/针对.TIF"
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5．(2016株洲中考)如图，以直角三角形a、b、c为边，向外作等边三角形，半圆，等腰直角三角形和正方形，上述四各情况的面积关系满足S1＋S2＝S3图形个数有(　D　)
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
6．(2016苏州中考)如图，长4
m的楼梯AB的倾斜角∠ABD为60°，为了改善楼梯的安全性能，准备重新建造楼梯，使其倾斜角∠ACD为45°，则调整后的楼梯AC的长为(　B　)
A．2
m
B．2
m
C．(2－2)m
D．(2－2)m
7．如图，在四边形ABCD中，AB⊥BC，AB＝5，BC＝12，AD＝9，CD＝5，求四边形ABCD的面积．
解：连接AC，∵AB⊥BC，∴∠B＝90°，∴AC＝＝＝13，
∵在△ACD中，AC2＋AD2＝132＋92＝169＋81＝250，CD2＝(5)2＝250，
∴AC2＋AD2＝CD2，∴∠DAC＝90°，
∴S四边形ABCD＝S△ABC＋S△ACD
＝BC·AB＋AD·AC
＝×12×5＋×9×13
＝.
中考备考方略)
INCLUDEPICTURE"基础训练.TIF"INCLUDEPICTURE
"../../../../../../中考王——河北数学/中考王%20%20河北数学Word/基础训练.TIF"
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MERGEFORMAT
1．(2016秦皇岛二模)若实数x，y满足|x－4|＋＝0，则以x，y的值为两边长的等腰三角形的周长是(　D　)
　
　　　　　
　　　　　
　　　　
A．12　　　B．16　　　C．16或20　　　D．20
2．(2016益阳中考)小明利用测角仪和旗杆的拉绳测量学校旗杆的高度．如图，旗杆PA的高度与拉绳PB的长度相等．小明将PB拉到PB′的位置，测得∠PB′C＝α(B′C为水平线)，测角仪B′D的高度为1
m，则旗杆PA的高度为(　A　)
A.
m
B.
m
C.
m
D.
m
3．(2016泰安中考)如图，在△PAB中，PA＝PB，M，N，K分别是边PA，PB，AB上的点，且AM＝BK，BN＝AK，若∠MKN＝44°，则∠P的度数为(　D　)
A．44°
B．66°
C．88°
D．92°
(第3题图)
　　　(第4题图)
4．(2016沧州八中模拟)如图，在锐角三角形ABC中，AD，CE分别是边BC，AB上的高，垂足分别是D，E，AD，CE相交于点O，若∠B＝60°，则∠AOE的度数是(　A　)
A．60°
B．50°
C．70°
D．80°
5．(2016保定十七中模拟)在△ABC中，若AC＝15，BC＝13，AB边上的高CD＝12，则△ABC的周长为(　D　)
A．32
B．42
C．40或42
D．32或42
6．(2016宜昌中考)任意一条线段EF，其垂直平分线的尺规作图痕迹如图所示，若连接EH，HF，FG，GE，则下列结论中，不一定正确的是(　B　)
A．△EGH为等腰三角形
B．△EGF为等边三角形
C．四边形EGFH为菱形
D．△EHF为等腰三角形
7．具备下列条件的△ABC中，不是直角三角形的是(　D　)
A．∠A＋∠B＝∠C
B．∠A－∠B＝∠C
C．∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3
D．∠A＝∠B＝3∠C
8．(2016深圳中考)如图，已知a∥b，直角三角板的直角顶点在直线b上，若∠1＝60°，则下列结论错误的是(　D　)
A．∠2＝60°
B．∠3＝60°
C．∠4＝120°
D．∠5＝40°
9．(2016杭州中考)已知直角三角形纸片的两条直角边分别为m和n(mA．m2＋2mn＋n2＝0
B．m2－2mn＋n2＝0
C．m2＋2mn－n2＝0
D．m2－2mn－n2＝0
10．(2016东营中考)在△ABC中，AB＝10，AC＝2，BC边上的高AD＝6，则另一边BC等于(　C　)
A．10
B．8
C．6或10
D．8或10
11．(2016齐齐哈尔中考)有一面积为5的等腰三角形，它的一个内角是30°，则以它的腰长为边的正方形的面积为__20或20__．
12．在等边△ABC中，点E是AB上的动点，点E与点A，B不重合，点D在CB的延长线上，且EC＝ED.
(1)当BE＝AE时，求证：BD＝AE；
(2)当BE≠AE时，“BD＝AE”还成立吗？若你认为不成立，请直接写出BD与AE数量关系式，若你认为成立，请给予证明．
证明：(1)如图(1)，在等边△ABC中，
∠ABC＝∠ACB＝60°.
∵BE＝AE，∴∠ACE＝∠ECB＝30°.
又∵CE＝DE，∴∠D＝∠ECD＝30°.
∴∠DEB＝30°，∴BE＝BD，∴BD＝AE；
(2)BD＝AE还成立．
理由如下：如图(2)，过点E作EF∥AC交BC于点F.易证△EFB为等边三角形．
∴EF＝FB＝BE.∴∠EFB＝∠EBF.
∴∠CFE＝∠EBD.
∵CE＝DE，∴∠ECD＝∠D.∴△EBD≌△EFC(AAS)，∴CF＝BD.∵AB＝BC，∴AB－BE＝BF－CF，即AE＝CF，∴BD＝AE.
INCLUDEPICTURE"能力提升.TIF"INCLUDEPICTURE
"../../../../../../中考王——河北数学/中考王%20%20河北数学Word/能力提升.TIF"
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MERGEFORMAT
13．(2016威海中考)如图，已知AB＝AC＝AD，∠CBD＝2∠BDC，∠BAC＝44°，则∠CAD的度数为(　B　)
A．68°
B．88°
C．90°
D．112°
,(第13题图))　　,(第15题图))
14．(2016内江中考)已知等边三角形的边长为3，点P为等边三角形内任意一点，则点P到三边的距离之和为(　B　)
A.
B.
C.
D．不能确定
15．(2016连云港中考)如图①，分别以直角三角形三边为边向外作等边三角形，面积分别为S1、S2、S3；如图②，分别以直角三角形三个顶点为圆心，三边长为半径向外作圆心角相等的扇形，面积分别为S4、S5、S6.其中S1＝16，S2＝45，S5＝11，S6＝14，则S3＋S4＝(　C　)
A．86
B．64
C．54
D．48
16．(2016随州中考)如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，M，N分别是AB，AC的中点，延长BC至点D，使CD＝BD，连接DM，DN，MN.若AB＝6，则DN＝__3__．
(第16题图)
　　　　(第18题图)
17．(2016潍坊中考)已知∠AOB＝60°，点P是∠AOB的平分线OC上的动点，点M在边OA上，且OM＝4，则点P到点M与到边OA的距离之和的最小值是__2__．
18．(2016武汉中考)如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，CD＝10，DA＝5，则BD的长为__2__．
19．(2016邯郸十一中一模)如图，∠ABC＝90°，D，E分别在BC，AC上，AD⊥DE，且AD＝DE，点F是AE的中点，FD与AB相交于点M.
(1)求证：∠FMC＝∠FCM；
(2)AD与MC垂直吗？并说明理由．
证明：(1)∵△ADE是等腰直角三角形，F是AE中点，
∴DF⊥AE，DF＝AF＝EF.
又∵∠ABC＝90°，
∴∠DCF，∠AMF都与∠MAC互余，
∴∠DCF＝∠AMF，
又∵∠DFC＝∠AFM＝90°，
∴△DFC≌△AFM，∴CF＝MF.
∴∠FMC＝∠FCM；
(2)AD⊥MC.理由：
由(1)知∠MFC＝90°，FD＝FE，FM＝FC.
∴∠FDE＝∠FMC＝45°.
∴DE∥CM，由题意得AD⊥DE，∴AD⊥MC.
20．(2016北京中考)如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，AC＝AD，M，N分别为AC，CD的中点，连接BM，MN，BN.
(1)求证：BM＝MN；
(2)若∠BAD＝60°，AC平分∠BAD，AC＝2，求BN的长．
解：(1)在△ACD中，∵M，N分别是AC，CD的中点，∴MN∥AD且MN＝AD.
在Rt△ABC中，∵M是AC的中点．
∴BM＝AC.又∵AC＝AD，∴MN＝BM；
(2)∵∠BAD＝60°且AC平分∠BAD.
∴∠BAC＝∠DAC＝30°.
由(1)知，BM＝AC＝AM＝MC.
∴∠BMC＝∠BAM＋∠ABM＝2∠BAM＝60°.
∵MN∥AD，∴∠NMC＝∠DAC＝30°.
∴∠BMN＝∠BMC＋∠NMC＝90°.
∴BN2＝BM2＋MN2.而由(1)知，
MN＝BM＝AC＝×2＝1，BN＝.