2017河北中考数学4.5多边形与平行四边形教材知识梳理

第五节　多边形与平行四边形
,河北8年中考命题规律)
年份
题号
考查点
考查内容
分值
总分
2016
13
平行四边形性质
将平行四边形按某方式折叠求某角度数
2
2
2015
19
正多边形的性质
以正三角形，正四边形、正五边形、正六边形为背景，求角的度数
3
22
平行四边形的判定
利用三角形全等让两组对边分别相等，得平行四边形
10
13
2014
15
正六边形的性质
以正六边形为背景，涉及两个含60°角的直角三角形，求阴影部分与空白部分的面积比
3
3
2012
9
平行四边形的性质
以平行四边形的折叠为背景，利用平行四边形的性质，求角度
3
18
正多边形的性质
通过正八边形拼接，利用正八边形的内角和公式求多边形的个数
3
22(1)
平行四边形的性质
平行四边形与反比例函数、一次函数结合，根据平行四边形的性质，求反比例函数的解析式
4
10
2011
23(3)
平行四边形的性质
以正方形为背景，猜想四边形为平行四边形，并且予以证明
3
3
2010
10
正六边形的性质
两个正六边形部分重叠，求图形外轮廓线的周长
2
2
2013、2009年未考查
命题规律
平行四边形与多边形在河北中考中最多设置3道题，分值为2～10分．分析近8年河北中考试题可以看出，本课时常考类型有：(1)平行四边形判定及性质的相关计算(在选择题中考查1次，在解答题中考查2次)；(2)多边形性质的相关计算(在选择题中考查2次，在填空题中考查2次)．
命题预测
预计2017年中考，仍会以平行四边形相关知识为主，也会与其他知识结合.
,河北8年中考真题及模拟)
INCLUDEPICTURE"命点1.TIF"INCLUDEPICTURE
"../../../../../../中考王——河北数学/中考王%20%20河北数学Word/命点1.TIF"
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MERGEFORMAT
　平行四边形的判定及性质的相关计算
1．(2016河北13题2分)如图，将 ABCD沿对角线AC折叠，使点B落在点B′处，若∠1＝∠2＝44°，则∠B为(　C　)
A．66°　　　B．104°
C．114°
D．124°
2．(2012河北9题3分)如图，在 ABCD中，∠A＝70°，将 ABCD折叠，使点D，C分别落在点F，E处(点F，E都在AB所在的直线上)．折痕为MN，则∠AMF等于(　B　)
A．70°
B．40°
C．30°
D．20°
3．(2015河北22题10分)嘉淇同学要证明命题“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”是正确的，她先用尺规作出了如图所示的四边形ABCD，并写出了如下不完整的已知和求证．
已知：如图所示，在四边形ABCD中，BC＝AD，AB＝__CD__．
求证：四边形ABCD是__平行__四边形．
(1)在方框中填空，以补全已知和求证；
(2)按嘉淇的想法写出证明；
证明：连接BD.在△ABD和△CDB中．∵AB＝CD，AD＝CB，BD＝DB，∴△ABD≌△CDB.∴∠ABD＝∠CDB，∠ADB＝∠CBD.∴AB∥CD，AD∥CB.∴四边形ABCD是平行四边形；
(3)用文字叙述所证命题的逆命题为__平行四边形的对边相等__．
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"../../../../../../中考王——河北数学/中考王%20%20河北数学Word/命点2.TIF"
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MERGEFORMAT
　多边形性质的相关计算
4．(2014河北15题3分)如图，边长为a的正六边形内有两个三角形(数据如图)，则等于(　C　)
A．3　　　　B．4　　　　C．5　　　　D．6
(第4题图)
　　　(第5题图)
5．(2010河北10题2分)如图，两个正六边形的边长均为1，其中一个正六边形的一边恰在另一个正六边形的对角线上，则这个图形(阴影部分)外轮廓线的周长是(　B　)
A．7
B．8
C．9
D．10
6．(2015河北19题3分)平面上，将边长相等的正三角形、正方形、正五边形、正六边形的一
边重合并叠在一起，如图，则∠3＋∠1－∠2＝__24__°.
7．(2016张家口九中二模)一个多边形截去一个角后，形成另一个多边形的内角和为720°，那么原多边形的边数为(　D　)
A．5
B．5或6
C．5或7
D．5或6或7
8．(2016河北保定八中一模)只用下列图形中的一种，能够进行平面镶嵌的是(　C　)
A．正十边形
B．正八边形
C．正六边形
D．正五边形
9．(2016河北唐山十二中二模)如图，E是 ABCD的边CD的中点，AD，BE的延长线相交于点F，DF＝3，DE＝2，则 ABCD的周长为(　D　)
A．5
B．7
C．10
D．14
(第9题图)
　　　(第10题图)
10．(2016河北石家庄四十一中一模)如图，在四边形ABCD中，∠A＝45°.直线l与边AB，AD分别相交于点M，N，则∠1＋∠2＝__225°__．
,中考考点清单)
INCLUDEPICTURE"考点1.TIF"INCLUDEPICTURE
"../../../../../../中考王——河北数学/中考王%20%20河北数学Word/考点1.TIF"
\
MERGEFORMAT
　多边形
1.
n边形(n≥3)
内角和定理
n边形的内角和为(n－2)·180°
外角和定理
n边形的外角和为__360°__
对角线
过n(n＞3)边形一个顶点可引(n－3)条对角线，n边形共有条对角线
正n边形n≥3
定义
在平面内，边相等，角也相等的多边形叫做正多边形
性质
(1)正n边形的每一个内角为____
(2)正(2n－1)边形是轴对称图形，对称轴有(2n－1)条；正2n边形既是轴对称图形，又是中心对称图形，对称轴有2n条
INCLUDEPICTURE"考点2.TIF"INCLUDEPICTURE
"../../../../../../中考王——河北数学/中考王%20%20河北数学Word/考点2.TIF"
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MERGEFORMAT
　平行四边形的性质与判定(高频考点)
图(1)
近8年平行四边形的性质考查3次，考查题型为选择题、解答题，考查类型有2种：①以折叠为背景利用平行四边形的性质求角度；②与函数结合利用平行四边形的性质求函数解析式．
2．定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形．如图(1)所示．
3．性质
文字描述
字母表示[参考图(1)]
(1)对边平行且相等
AB綊CD，AD綊BC
(2)对角相等
∠DAB＝∠DCB，∠ADC＝∠ABC
(3)对角线互相平分
OA＝OC，OB＝OD
(4)平行四边形是中心对称图形，对称中心是两条对角线的交点，O为对称中心
4.判定
文字描述
字母表示[参考图(1)]
(1)两组对边分别平行的四边形是平行四边形

(2)两组对边分别相等的四边形是平行四边形

(3)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形

(4)两组对角分别相等的四边形是平行四边形
四边形ABCD是平行四边形
(5)两条对角线互相平分的四边形是平行四边形

,中考重难点突破)
INCLUDEPICTURE"类型1.TIF"INCLUDEPICTURE
"../../../../../../中考王——河北数学/中考王%20%20河北数学Word/类型1.TIF"
\
MERGEFORMAT
　多边形的相关计算
【例1】(2016龙岩中考)一个多边形的内角和是它的外角和的2倍，则这个多边形是(　　)
A．四边形　　　　　　B．五边形
C．六边形
D．七边形
【学生解答】C
【点拨】n边形的内角和为(n－2)·180，与边数n有关；外角和为360°，与n无关．
INCLUDEPICTURE"针对.TIF"INCLUDEPICTURE
"../../../../../../中考王——河北数学/中考王%20%20河北数学Word/针对.TIF"
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MERGEFORMAT
1．(2016广安中考)若一个正n边形的每个内角都为144°，则这个正n边形的所有对角线的条数是(　C　)
　
　　　　　
　　　　　
　　　　
A．7
B．10
C．35
D．70
2．(2016莱芜中考)若一个正多边形的每个内角为156°，则这个正多边形的边数是(　C　)
A．13
B．14
C．15
D．16
3．(2016梅州中考)若凸多边形的内角和为1
260°，则该多边形的对角线有__27__条．
INCLUDEPICTURE"类型2.TIF"INCLUDEPICTURE
"../../../../../../中考王——河北数学/中考王%20%20河北数学Word/类型2.TIF"
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MERGEFORMAT
　平行四边形的相关计算
【例2】(2017中考预测)已知，如图，在 ABCD中，延长DA到点E，延长BC到点F，使得AE＝CF，连接EF，分别交AB，CD于点M，N，连接DM，BN.
(1)求证：△AEM≌△CFN；
(2)求证：四边形BMDN是平行四边形．
【解析】(1)利用ASA即可得证；(2)运用平行四边形的性质和判定解决．
【学生解答】证明：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠DAB＝∠BCD，∴∠EAM＝∠FCN.
又∵AD∥BC，∴∠E＝∠F.
∵AE＝CF，∴△AEM≌△CFN；
(2)由(1)得AM＝CN，又∵四边形ABCD是平行四边形．∴AB綊CD，∴BM綊DN，
∴四边形BMDN是平行四边形．
INCLUDEPICTURE"针对.TIF"INCLUDEPICTURE
"../../../../../../中考王——河北数学/中考王%20%20河北数学Word/针对.TIF"
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MERGEFORMAT
4．(2016黔东南中考)如图，在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，不能判断四边形ABCD是平行四边形的是(　A　)
A．AB∥DC，AD＝BC
B．AB∥DC，AD∥BC
C．AB＝DC，AD＝BC
D．OA＝OC，OB＝OD
(第4题图)
　　　(第5题图)
5．(2016丽水中考)如图， ABCD的对角线AC，BD交于点O，已知AD＝8，BD＝12，AC＝6，则△OBC的周长为(　B　)
A．13
B．17
C．20
D．26
6．(2016益阳中考)如图，在 ABCD中，AE⊥BD于点E，CF⊥BD于点F，连接AF，CE.
求证：AF＝CE.
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，∠ADB＝∠CBD.
又∵AE⊥BD，CF⊥BD，
∴∠AED＝∠CFB，AE∥CF.
∴△AED≌△CFB.
∴AE＝CF.
∴四边形AECF是平行四边形，
∴AF＝CE.
,中考备考方略)
INCLUDEPICTURE"基础训练.TIF"INCLUDEPICTURE
"../../../../../../中考王——河北数学/中考王%20%20河北数学Word/基础训练.TIF"
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MERGEFORMAT
1．(2016临沂中考)一个正多边形内角和等于540°，则这个正多边形的每一个外角等于(　C　)
　
　　　　　
　　　　　
　　　　
A．108°
B．90°
C．72°
D．60°
2．(2016湘西中考)下列说法错误的是(　D　)
A．对角线互相平分的四边形是平行四边形
B．两组对边分别相等的四边形是平行四边形
C．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
D．一组对边相等，另一组对边平行的四边形是平行四边形
3．(2016舟山中考)已知一个正多边形的内角是140°，则这个正多边形的边数是(　D　)
A．6
B．7
C．8
D．9
4．(2016菏泽中考)在 ABCD中，AB＝3，BC＝4，当 ABCD的面积最大时，下列结论正确的有(　B　)
①AC＝5；②∠A＋∠C＝180°；③AC⊥BD；④AC＝BD.
A．①②③
B．①②④
C．②③④
D．①③④
5．(2016孝感中考)在 ABCD中，AD＝8，AE平分∠BAD交BC于点E，DF平分∠ADC交BC于点F，且EF＝2，则AB的长为(　D　)
A．3
B．5
C．2或3
D．3或5
6．(2016石家庄一模)平行四边形ABCD与等边△AEF如图放置，如果∠B＝45°，那么∠BAE的大小是(　A　)
A．75°
B．70°
C．65°
D．60°
7．(2016北京中考)如图是由射线AB，BC，CD，DE，EA组成的平面图形，则∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＝__360°__．
(第7题图)
　　　(第8题图)
8．(2016江西中考)如图所示，在 ABCD中，∠C＝40°，过点D作AD的垂线，交AB于点E，交CB的延长线于点F，则∠BEF的度数为__50°__．
9．(2016达州中考)如图，在△ABC中，BF平分∠ABC，AF⊥BF于点F，D为AB的中点，连接DF延长交AC于点E.若AB＝10，BC＝16，则线段EF的长为(　B　)
A．2
B．3
C．4
D．5
(第9题图)
　　　　(第10题图)
10．(2016河南中考)如图，在 ABCD中，BE⊥AB交对角线AC于点E，若∠1＝20°，则∠2的度数是__110°__．
11．(2016攀枝花中考)如果一个正多边形的每个外角都是30°，那么这个多边形的内角和为__1__800°__．
12．(2016邵阳中考)如图所示，点E，F是平行四边形ABCD对角线BD上的点，BF＝DE，求证：AE＝CF.
证明：∵四边形ABCD是平行四边形．
∴AD∥BC，AD＝BC.
∴∠EDA＝∠FBC.在△AED和△CFB中，
∴△AED≌△CFB(SAS)，∴AE＝CF.
INCLUDEPICTURE"能力提升.TIF"INCLUDEPICTURE
"../../../../../../中考王——河北数学/中考王%20%20河北数学Word/能力提升.TIF"
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MERGEFORMAT
13．(2015唐山二模)如图， ABCD中，点E在边AD上，以BE为折痕，将△ABE向上折叠，使点A正好与CD上的F点重合，若△FDE的周长为16，三角形FCB的周长为28，则FC的长为(　C　)
A．4
B．5
C．6
D．7
(第13题图)
　　　(第14题图)
14．(2015石家中四十三中模拟)如图，在 ABCD中，延长AB到点E，使BE＝AB，连接DE交BC于点F，则下列结论不一定成立的是(　D　)
A．∠E＝∠CDF
B．EF＝DF
C．AD＝2BF
D．BE＝2CF
15．(2016南充中考)如图，正五边形的边长为2，连接对角线AD，BE，CE，线段AD分别与BE和CE相交于点M，N，给出下列结论：
①∠AME＝108°；②AN2＝AM·AD；③MN＝3－；④S△EBC＝2－1.其中正确结论的个数是(　C　)
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
16．(2016白银中考)如图，已知EC∥AB，∠EDA＝∠ABF.
求证：(1)四边形ABCD为平行四边形；
(2)OA2＝OE·OF.
证明：(1)∵EC∥AB，∴∠C＝∠ABF，
又∵∠EDA＝∠ABF，∴∠C＝∠EDA.
∴AD∥BC.∴四边形ABCD为平行四边形；
(2)∵EC∥AB，∴＝.
又∵AD∥BC，∴＝，∴＝，
∴OA2＝OE·OF.
17．(2016长沙中考)如图，AC是 ABCD的对角线，∠BAC＝∠DAC.
(1)求证：AB＝BC；
(2)若AB＝2，AC＝2，求 ABCD的面积．
解：(1)∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB＝DC.
∴∠DAC＝∠BCA.
又∵∠BAC＝∠DAC，∴∠BAC＝∠BCA.
∴△ABC为等腰三角形，∴AB＝BC；
(2)连接BD交AC于点O，
∵AB＝BC，且四边形ABCD为平行四边形．
∴四边形ABCD为菱形，∴AC⊥BD.
∵BO2＋＝AB2，
∴BO2＋＝22.
∴BO＝1且BD＝2BO＝2.
∴S ABCD＝BD·AC＝×2×2＝2.
18．(2016邯郸十一中二模)如图(1)，在△OAB中，∠OAB＝90°，∠AOB＝30°，OB＝8，以OB为边，在△OAB外作等边△OBC，D是OB的中点，连接AD并延长交OC于点E.
(1)求证：四边形ABCE是平行四边形；
(2)如图(2)，将图(1)中的四边形ABCO折叠，使点C与点A重合，折痕为FG，求OG的长．
解：(1)∵在Rt△OAB中，D为OB的中点，∴AD＝OB，OD＝BD＝OB，DO＝DA，∴∠DAO＝∠DOA＝30°，∴∠EOA＝∠DOC＋∠DOA＝90°，∴∠AEO＝60°，又∵△OBC为等边三角形，
∴∠BCO＝∠AEO＝60°，∴BC∥AE，
∵∠BAO＝∠COA＝90°，∴CO∥AB，
∴四边形ABCE是平行四边形；
(2)OG＝1.
19．(2016石家庄四十二中)已知M，N分别为△ABC的边AC，BC的中点，AN，BM交于点O，E为OB的中点．
(1)如图(1)，若F为OA的中点，求证：MF綊NE；
(2)如图(2)，若AB＝BC，AM＝6，NE＝，求AB的长．
解：(1)连接OC.
∵点M是AC的中点，
∴点F是AO的中点．
∴MF是△AOC的中位线，
∴MF綊OC，
同理可证．
NE綊OC.
∴MF綊NE；
(2)易证NE＝OC，∴OC＝2.
利用三线合一，易求CM＝AM＝6.
∴OM＝4.
取OA的中点F，
易证四边形MFEN为平行四边形．
∴OM＝OE＝4，
∵E为OB的中点，∴BE＝4，
∴BM＝12，∴AB＝6.
20．如图，在平行四边形ABCD中，∠C＝60°，M，N分别是AD，BC的中点，BC＝2CD.
求证：(1)四边形MNCD是平行四边形；
(2)BD＝MN.
证明：(1)∵ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，AD∥BC，∵M，N分别是AD，BC的中点，∴MD＝NC，MD∥NC，∴MNCD是平行四边形；(2)如图，连接ND，∵MNCD是平行四边形，∴MN＝DC.∵N是BC的中点，∴BN＝CN，∵BC＝2CD，∠C＝60°，∴△NCD是等边三角形．∴ND＝NC，∠DNC＝60°.∵∠DNC是△BND的外角，∴∠NBD＋∠NDB＝∠DNC，∵DN＝NC＝NB，∴∠DBN＝∠BDN＝∠DNC＝30°，∴∠BDC＝90°.∵tan∠DBC＝＝，∴DB＝DC＝MN.