2017河北中考数学3.3一次函数的实际应用教材知识梳理

第三节　一次函数的实际应用
河北8年中考命题规律)
年份
题号
考查点
考查内容
分值
总分
2016
24
一次函数实际应用
以某商店玩具降价促销为素材考查一次函数的建模和应用，并与平均数相结合考查
10
10
2014
26探究(1)
一次函数实际应用
以某景区1号、2号两游览车的行驶路线为背景，探究(1)求一次函数的关系式，并求两车相距400
m时的时间
3
3
2012
24(1)
一次函数实际应用
以薄板为背景，(1)求出厂价与边长之间满足的一次函数关系式
2
2
2011
24(1)(2)
一次函数实际应用
以经销商每天用汽车和火车运货为背景，结合折线统计图，(1)求汽车和火车的速度；(2)求一次函数的关系式
5
5
2010
26(1)(4)
一次函数实际应用
以销售新型节能产品为背景：(1)由已知函数解析式求值；(4)求利润最大时的方案
6
6
2009
25
一次函数实际应用
以装修需要的板材为背景，(1)求表格中字母的值；(2)求满足关系的一次函数解析式；(3)求满足关系的一次函数解析式及不等式组的应用求最小值
12
12
命题规律
一次函数的实际应用在中考中一般设置一道题，分值为2—12分，均在解答题中考查，综合性较强，常考查型有：(1)一次函数解析式的实际应用，考查5次；(2)一次函数图象的实际应用，考查1次.
命题预测
预计2017年中考，一次函数的实际应用仍然为中考重点内容，题型多为解答题，主要训练掌握从实际问题中寻找等量关系的方法.
,河北8年中考真题及模拟)
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　一次函数的实际应用(5次)
1．(2016唐山九中模拟)甲、乙两人沿相同的路线由A到B匀速行进，A，B两地间的路程为16
km，他们行进的路程s(km)与甲出发后的时间t(h)之间的函数图象如图所示，则下列判断错误的是(　C　)
A．乙比甲晚出发1
h
B．甲比乙晚到B地2
h
C．乙的速度是8
km/h
D．甲的速度是4
km/h
(第1题图)
　　　(第2题图)
2．(2016定州一模)如图是某工程队在“村村通”工程中，修建的公路长度y(m)与时间x(天)之间的关系图象．根据图象提供的信息，可知该公路的长度是__504__m.
3．(2016河北24题10分)某商店能通过调低价格的方式促销n个不同的玩具，调整后的单价y(元)与调整前的单价x(元)满足一次函数关系，如下表：
第1个
第2个
第3个
第4个
…
第n个
调整前单价x(元)
x1
x2＝6
x3＝72
x4
…
xn
调整后单价y(元)
y1
y2＝4
y3＝59
y4
…
yn
已知这n个玩具调整后的单价都大于2元．
(1)求y与x的函数关系式，并确定x的取值范围；
(2)某个玩具调整前单价是108元，顾客购买这个玩具省了多少钱？
(3)这n个玩具调整前、后的平均单价分别为x，y，猜想y与x的关系式，并写出推导过程．
解：(1)设y＝kx＋b，
依题意，得x＝6时，y＝4；x＝72时，y＝59.
∴解得∴y＝x－1.
依题意，得x－1>2.解得x>，即为x的取值范围；
(2)将x＝108代入y＝x－1，得y＝×108－1＝89.
108－89＝19.∴省了19元；
(3)y＝x－1.
推导过程：
由(1)y1＝x1－1，y2＝x2－1，…，yn＝xn－1.
∴y＝(y1＋y2＋…＋yn)＝[＋＋…＋]
＝＝×－1＝x－1.
4．(2009河北25题12分)某公司装修需用A型板材240块、B型板材180块，A型板材规格是60
cm×30
cm，B型板材规格是40
cm×30
cm.现只能购得规格是150
cm×30
cm的标准板材．一张标准板材尽可能多地裁出A型、B型板材，共有下列三种裁法：(如图是裁法一的裁剪示意图)
裁法一
裁法二
裁法三
A型板材块数
1
2
0
B型板材块数
2
m
n
设所购的标准板材全部裁完，其中按裁法一裁x张、按裁法二裁y张、按裁法三裁z张，且所裁出的A，B两种型号的板材刚好够用．
(1)上表中，m＝__0__，n＝__3__；
(2)分别求出y与x和z与x的函数关系式；
(3)若用Q表示所购标准板材的张数，求Q与x的函数关系式，并指出当x取何值时Q最小，此时按三种裁法各裁标准板材多少张？
解：(2)y＝120－x；z＝60－x；
(3)Q＝180－x，当x＝90时，Q最小．裁法一：90张；裁法二：75张；裁法三：0张．
,中考考点清单)
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MERGEFORMAT
　一次函数的实际应用
一次函数的实际应用近8年考查5次，题型都为解答题，多与以下知识结合：(1)方程、不等式；(2)二次函数；(3)统计图的相关知识．涉及到的设问方式有：求相应的一次函数解析式、结合一次函数图象求相关量、求最值等．
1．用一次函数解决实际问题的一般步骤为：
(1)设定实际问题中的自变量与因变量；
(2)通过列方程(组)与待定系数法求一次函数关系式；
(3)确定自变量的取值范围；
(4)利用函数性质解决问题；
(5)检验所求解是否符合实际意义；
(6)答．
2．方案最值问题
对于求方案问题，通常涉及两个相关量，解题方法为根据题中所要满足的关系式，通过列不等式，求解出某一个事物的取值范围，再根据另一个事物所要满足的条件，即可确定出有多少种方案；
【方法技巧】求最值的本质为求最优方案，解法有两种：
①可将所有求得的方案的值计算出来，再进行比较；
②直接利用所求值与其变量之间满足的一次函数关系式求解，由一次函数的增减性可直接确定最优方案及最值；若为分段函数，则应分类讨论，先计算出每个分段函数的取值，再进行比较．显然，第②种方法更简单快捷．
中考重难点突破)
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"../../../../../../中考王——河北数学/中考王%20%20河北数学Word/类型.TIF"
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MERGEFORMAT
　一次函数的实际应用
【例】(2016邢台金华中学模拟)为保障我国海外维和部队官兵的生活，现需通过A港口、B港口分别运送100吨和50吨生活物资．已知该物资在甲仓库存有80吨，乙仓库存有70吨，若从甲、乙两仓库运送物资到港口的费用(元/吨)如表所示：
港口
费用(元/吨)
甲库
乙库
A港
14
20
B港
10
8
　　(1)设从甲仓库运送到A港口的物资为x吨，求总费用y(元)与x(吨)之间的函数关系式，并写出x的取值范围；
(2)求出最低费用，并说明总费用最低时的调配方案．
【学生解答】解：(1)由题意可知：
仓库港口　　　
甲库(80吨)
乙库(70吨)
A港口(100吨)
x
100－x
B港口(50吨)
80－x
x－30
根据题意得：y＝14x＋20(100－x)＋10(80－x)＋8(x－30)．
∴y＝－8x＋2
560(30≤x≤80)；
(2)当x取最大值，y的值最小．
∴当x＝80时，y＝－8×80＋2
560＝1
920.
∴从甲仓库运80吨物资到A港口；乙仓库运20吨物资到A港口，运50吨物资到B港口时，总费用最低．
INCLUDEPICTURE"针对.TIF"INCLUDEPICTURE
"../../../../../../中考王——河北数学/中考王%20%20河北数学Word/针对.TIF"
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MERGEFORMAT
1．(2016孝感中考)孝感市在创建国家级园林城市中，绿化档次不断提升．某校计划购进A，B两种树木共100棵进行校园绿化升级．经市场调查：购买A种树木2棵，B种树木5棵，共需600元；购买A种树木3棵，B种树木1棵，共需380元．
(1)求A种，B种树木每棵各多少元？
(2)因布局需要，购买A种树木的数量不少于B种树木数量的3倍．学校与中标公司签订的合同中规定：在市场价格不变的情况下(不考虑其他因素)，实际付款总金额按市场价九折优惠．请设计一种购买树木的方案，使实际所花费用最省，并求出最省的费用．
解：(1)A种，B种树木每棵分别为100元，80元；
(2)设购买A种树木为x棵，则购买B种树木为(100－x)棵，
则x≥3(100－x)，∴x≥75.
设实际付款总金额为y元，则y＝0.9[100x＋80(100－x)]，
y＝18x＋7
200.
∵18>0，y随x的增大而增大，∴x＝75时，y最小．
即x＝75，y最小值＝18×75＋7
200＝8
550(元)．
∴当购买A种树木75棵，B种树木25棵时，所需费用最少，最少费用为8
550元．
2．(2016原创)张家口市某学校开展“青少年科技创新比赛”活动，“喜洋洋”代表队设计了一个遥控车沿直线轨道AC做匀速直线运动的模型．甲、乙两车同时分别从A，B出发，沿轨道到达C处，B在AC上，甲的速度是乙的速度的1.5倍，设t
min后甲、乙两遥控车与B处的距离分别为d1，d2，则d1，d2与t的函数关系如图，试根据图象解决下列问题：
(1)填空：乙的速度v2＝__40__m/min；
(2)写出d1与t的函数关系式；
(3)若甲、乙两遥控车的距离超过10
m时信号不会产生相互干扰，试探求什么时间两遥控车的信号不会产生相互干扰？
解：(2)d1＝；(3)0≤t＜时，两遥控车的信号不会产生相互干扰．
,中考备考方略)
INCLUDEPICTURE"基础训练.TIF"INCLUDEPICTURE
"../../../../../../中考王——河北数学/中考王%20%20河北数学Word/基础训练.TIF"
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1．(2016临沂中考)甲、乙两辆摩托车同时从相距20
km的A，B两地出发，相向而行．图中l1，l2分别表示甲、乙两辆摩托车到A地的距离s(km)与行驶时间t(h)的函数关系，则下列说法错误的是(　C　)
A．乙摩托车的速度较快
B．经过0.3
h甲摩托车行驶到A，B两地的中点
C．经过0.25
h两摩托车相遇
D．当乙摩托车到达A地时，甲摩托车距离A地
km
2．(2016湖州中考)放学后，小明骑车回家，他经过的路程s(km)与所用时间t(min)的函数关系如图所示，则小明的骑车速度是__0.2__km/min.
(第2题图)
　　　(第3题图)
3．(2016绍兴中考)根据卫生防疫部门要求，游泳池必须定期换水、清洗．某游泳池周五早上8：00打开排水孔开始排水，排水孔的排水速度保持不变，期间因清洗游泳池需要暂停排水，游泳池的水在11：30全部排完．游泳池内的水量Q(m3)和开始排水后的时间t(h)之间的函数图象如图所示，根据图象解答下列问题：
(1)暂停排水需要多少时间？排水孔的排水速度是多少？
(2)当2≤t≤3.5时，求Q关于t的函数解析式．
解：(1)暂停排水时间为30
min(半小时)；
排水孔的排水速度为300
m3/h；
(2)设当2≤t≤3.5时，Q关于t的函数解析式为Q＝kt＋b，把(2，450)，(3.5，0)代入得解得
∴函数解析式为Q＝－300t＋1
050.
4．(2016天津中考)公司有330台机器需要一次性运送到某地，计划租用甲、乙两种货车共8辆．已知每辆甲种货车一次最多运送机器45台、租车费用为400元，每辆乙种货车一次最多运送机器30台、租车费用为280元．
(1)设租用甲种货车x辆(x为非负整数)，试填写下表．
表一：
租用甲种货车的数量/辆
3
7
x
租用的甲种货车最多运送机器的数量/台
135
租用的乙种货车最多运送机器的数量/台
150
表二：
租用甲种货车的数量/辆
3
7
x
租用甲种货车的费用/元
2
800
租用乙种货车的费用/元
280
(2)给出能完成此项运动任务的最节省费用的租车方案，并说明理由．
解：(1)表一：315，45x，30，－30x＋240；
表二：1
200，400x，1
400，－280x＋2
240；
(2)租用甲种货车x辆时，两种货车的总费用为y＝400x＋(－280x＋2
240)＝120x＋2
240，
其中45x＋(－30x＋240)≥330，解得x≥6.
∵120>0，∴y随x的增大而增大．
∴当x＝6时，y取得最小值．
答：能完成此项运送任务的最节省费用的租车方案为甲种货车6辆，乙种货车2辆．
INCLUDEPICTURE"能力提升.TIF"INCLUDEPICTURE
"../../../../../../中考王——河北数学/中考王%20%20河北数学Word/能力提升.TIF"
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MERGEFORMAT
5．(2016济宁中考)小明到服装店参加社会实践活动，服装店经理让小明帮助解决以下问题：
服装店准备购进甲乙两种服装，甲种每件进价80元，售价120元；乙种每件进价60元，售价90元，计划购进两种服装共100件，其中甲种服装不少于65件．
(1)若购进这100件服装的费用不得超过7
500，则甲种服装最多购进多少件？
(2)在(1)条件下，该服装店在6月21日父亲节当天对甲种服装以每件优惠a(0解：(1)设购进甲种服装x件，由题意得80x＋60(100－x)≤7
500.解得x≤75.
答：甲种服装最多购进75件；
(2)设总利润为w元，因为甲种服装不少于65件，所以65≤x≤75.
则w＝(40－a)x＋30(100－x)＝(10－a)x＋3
000.
当00，w随x的增大而增大，
所以当x＝75时，w有最大值，则购进甲种服装75件，乙种服装25件；
当a＝10时，所有方案获利相同，所以按哪种方案进货都可以(甲种服装进货量在65～75件之间)；
当10所以当x＝65时，w有最大值，则购进甲种服装65件，乙种服装35件．
6．(2016丽水中考)2016年3月27日“丽水半程马拉松竞赛”在莲都举行，某运动员从起点万地广场西门出发，途径紫金大桥，沿比赛路线跑回终点万地广场西门．设该运动员离开起点的路程s(km)与跑步时间t(min)之间的函数关系如图所示．其中从起点到紫金大桥的平均速度是0.3
km/min.用时35
min，根据图象提供的信息，解答下列问题：
(1)求图中a的值；
(2)组委会在距离起点2.1
km处设立一个拍摄点C，该运动员从第一次过点C到第二次过点C所用的时间为68
min.
①求AB所在直线的函数解析式；
②该运动员跑完赛程用时多少分钟？
解：(1)∵从起点到紫金大桥的平均速度是0.3
km/min，用时35
min.
∴a＝0.3×35＝10.5(km)；
(2)①∵线段OA经过点O(0，0)，A(35，10.5)，∴OA的函数解析式是s＝0.3t(0≤t≤35)．
∴当s＝2.1时，0.3t＝2.1，解得t＝7.
∴该运动员从第一次过C点到第二次过C点所用的时间为68
min.
∴该运动员从起点到第二次过C点共用的时间是7＋68＝75(min)．
∴AB经过(35，10.5)，(75，2.1)两点．
设AB所在直线的函数解析式是s＝kt＋b.
∴解得
∴AB所在直线的函数解析式是s＝－0.21t＋17.85；
②∵该运动员跑完赛程所用的时间即为直线AB与x轴交点横坐标的值．
∴当s＝0时，－0.21t＋17.85＝0，解得t＝85.
∴该运动员跑完赛程用时85
min.
7．(2016包头中考)我市某养殖场计划购买甲、乙两种鱼苗共700尾，甲种鱼苗每尾3元，乙种鱼苗每尾5元，相关资料表明：甲、乙两种鱼苗的成活率分别为85%和90%.
(1)若购买这两种鱼苗共用去2
500元，则甲、乙两种鱼苗各购买多少尾？
(2)若要使这批鱼苗的总成活率不低于88%，则甲种鱼苗至多购买多少尾？
(3)在(2)的条件下，应如何选购鱼苗，使购买鱼苗的费用最低？并求出最低费用．
解：(1)设购买甲种鱼苗x尾，乙种鱼苗y尾，根据题意可得：解得
答：购买甲种鱼苗500尾，乙种鱼苗200尾；
(2)设购买甲种鱼苗z尾，乙种鱼苗(700－z)尾，列不等式得：85%z＋90%(700－z)≥700×88%，解得z≤280.
答：甲种鱼苗至多购买280尾；
(3)设甲种鱼苗购买m尾，购买鱼苗的费用为w元，则w＝3m＋5(700－m)＝－2m＋3
500，
∵－2<0，∴w随m的增大而减小．
∵0500－2×280＝2
940(元)．
∴700－m＝420.
答：当选购甲种鱼苗280尾，乙种鱼苗420尾时，总费用最低，最低费用为2
940元．